Hur är det?

[SigurdV]

Att säga som det är ... är sanning menar Aristoteles.
http://www.3ammagazine.com/3am/on-the-nature-of-truth/

Volker Halbach: Usually declarative sentences are about objects. Some sentences – such as the preceding sentence – are about sentences; and one of the sentences may be that sentence itself. Some sentences are only about themselves. The best-known sentences of this kind are liar sentences. For instance, [the sentence in square brackets is not true] is about itself, and it says about itself that it is not true.

Sentences in arithmetic are about numbers. We can assign to each sentence of arithmetic a number, for instance, by listing all sentence in alphabetical order and then numbering them. Then there is a first sentence, a second sentence, and so on. If a sentence of arithmetic is about the number 12122, then it is about the 12122th sentence. Gödel showed how to construct a sentence of arithmetic that is about itself in this indirect way and that says about itself that it is not provable. There are many other sentences in arithmetic that make claims about themselves. The Henkin sentence, for instance, says about itself that it is provable.

That’s the idea at least. However, it’s not very clear what it means for a sentence to be about something. Linguists, philosophers of language, and logicians have struggled with the notion of aboutness. It is a very elusive notion. Consequently it is not very clear what self-reference is, not only in arithmetic. However, even if it’s difficult to come up with a general definition of self-reference, there are paradigmatic self-referential sentences.

What interests me is the following: For a given property there may be different sentences ascribing to themselves the property and these sentences may have very different properties. For instance, a sentence may say about itself that it is true and be true; another sentence may also say about itself that it is true, but be false. Hence the loose way of talking about *the* sentence ascribing to itself a certain property has to be used with caution. The properties of self-referential sentences can be very sensitive to the way these sentences are constructed.

Några invändningar eller synpunkter?

Hint:
For instance, [the sentence in square brackets is not true] is about itself,
and it says about itself that it is not true.

[Pilatus]

Att säga som det är ... är sanning menar Aristoteles.

Carl XVI Gustaf är Sveriges kung och statschef (sedan 15 september 1973). Det förutsätter antagligen en rad andra satser för att verkligen komma fram till att satsen är sann.

Problem med sanningsbegreppet uppstår vid SigurdV försök att lösa problemet med paradoxer. Se Tarskis paradox, P = satsen P är falsk.

[SigurdV]

Att säga som det är ... är sanning menar Aristoteles.

Carl XVI Gustaf är Sveriges kung och statschef (sedan 15 september 1973). Det förutsätter antagligen en rad andra satser för att verkligen komma fram till att satsen är sann.

Problem med sanningsbegreppet uppstår vid SigurdV försök att lösa problemet med paradoxer. Se Tarskis paradox, P = satsen P är falsk.

Jag vill gärna veta mer
om de problem du ser

Men låt oss nu titta på vad du kallar "Tarskis paradox"

Se Tarskis paradox, P = satsen P är falsk.

Om vi (som du säger) har att satsen P är identisk med satsen "P är falsk" så kan vi således anta att:

1) satsen P = "satsen P är falsk"

Eftersom båda leden i en identitets-utsaga har samma sanningsvärde så får vi att:

2) satsen P är sann OMM "satsen P är falsk" är sann

Men nu till-låter definitionen av sanning oss att förenkla höger led...

3) satsen P är sann OMM satsen P är falsk

En kontradiktion har (efter endast två enkla steg) uppstått så vi måste därför förneka antagandet:

Det finns alltså ingen sats P som är identisk med "sats P är falsk". VSB

Jag vill nog påstå att problemen snarare försvinner än uppstår när jag ägnar mig åt dem

[Pilatus]

Problem med sanningsbegreppet uppstår vid SigurdV försök att lösa problemet med paradoxer. Se Tarskis paradox, P = satsen P är falsk.

Jag vill gärna veta mer om de problem du ser

Alfred Tarski: P = Satsen P är falsk.

Det ger: satsen P är falsk om och endast om P. Nu säger varje sats att den är sann, så vi får: satsen P är falsk om och endast om P är sann. En motsägelse.

Tarskis lösning förutsätter att definitionen måste vara formellt korrekt,
det vill säga kunna formuleras på ett sätt som inte leder till motsägelser och

att man inför en hierarki av objektspråk,

samt regeln att sanning inte någonsin ska definieras inom ett språk.

[SigurdV]

Problem med sanningsbegreppet uppstår vid SigurdV försök att lösa problemet med paradoxer. Se Tarskis paradox, P = satsen P är falsk.

Jag vill gärna veta mer om de problem du ser

Alfred Tarski: P = Satsen P är falsk.

Det ger: satsen P är falsk om och endast om P.
Nu säger varje sats att den är sann, så vi får:
satsen P är falsk om och endast om P är sann.
En motsägelse.

(Faktiskt ganska bra redovisat!)

Det är alltså så att

OM det är sant att (P = Satsen P är falsk.)
SÅ uppkommer en motsägelse!

Därmed är det ju bevisat att det inte kan vara sant att (P = Satsen P är falsk.)

Ett reductio ad absurdum-bevis ... Eller hur?

Och OM vi kan visa att det måste vara så att (P = Satsen P är falsk.)
SÅ har paradoxen uppkommit!

(Men det kan man inte

Tarskis lösning förutsätter att definitionen måste vara formellt korrekt,
det vill säga kunna formuleras på ett sätt som inte leder till motsägelser och

att man inför en hierarki av objektspråk,

samt regeln att sanning inte någonsin ska definieras inom ett språk.

Nja ... sanning får definieras för ANDRA språk än det egna språket!

Sanning för objektspråket får definieras i metaspråket.
____________________________________________________________

Du har bara gjort ett enda formellt fel:

I en identitet måste båda led vara NAMN på de föremål som är identiska!
Föremålen själva får ej vara där ...bara dess benämningar!

Du skulle ha skrivit: P = "Satsen P är falsk."

GOTT NYTT ÅR!

[SigurdV]

Kanske någon är intresserad av sanningen om sanningen?
Då är det lämpligt att läsa vad Tarski verkligen skrev; så här är en länk till hans uppsats:

http://www.ditext.com/tarski/tarski.html

I avsnitt 7 finns hans härledning av lögnarparadoxen.

7. THE ANTINOMY OF THE LIAR.
In order to discover some of the more specific conditions which must be satisfied by languages in which (or for which) the definition of truth is to be given, it will be advisable to begin with a discussion of that antinomy which directly involves the notion of truth, namely, the antinomy of the liar.
To obtain this antinomy in a perspicuous form, consider the following sentence:
The sentence printed in this paper on p. 347, l. 31, is not true.
For brevity we shall replace the sentence just stated by the letter 's.'
According to our convention concerning the adequate usage of the term "true," we assert the following equivalence of the form (T):
(1) 's' is true if, and only if, the sentence printed in this paper on p. 347, l. 31, is not true.
On the other hand, keeping in mind the meaning of the symbol 's,' we establish empirically the following fact:
(2) 's' is identical with the sentence printed in this paper on p. 347, l. 31.
Now, by a familiar law from the theory of identity (Leibniz's law), it follows from (2) that we may replace in (1) the expression "the sentence printed in this paper on p. 347, l. 31" by the symbol " 's.' " We thus obtain what follows:
(3) 's' is true if, and only if, 's' is not true.
In this way we have arrived at an obvious contradiction.

Och här är min förenkling:

1) sats 1 är inte sann
2) "sats 1 är inte sann" är sann OMM sats 1 är inte sann
3) "sats 1 är inte sann" = sats 1
4) sats 1 är sann OMM sats 1 är inte sann

Rad 1 innehåller lögnarsatsen.
Rad 2 applicerar Tarskis sanningsvillkor på lögnarsatsen.
Rad 3 måste vara sann om vi genom substitution ska komma till motsägelsen i rad 4 !

Vi antar därför att rad 3 är sann:

"sats 1 är inte sann" = sats 1

Då gäller enligt Leibniz lag att

"sats 1 är inte sann" är sann OMM sats 1 är sann

Förenkling av ekvivalensens vänstra led ger en motsägelse:

sats 1 är inte sann OMM sats 1 är sann

Därför är det inte sant att "sats 1 är inte sann" = sats 1

Så rad 4 följer ej ur föregående rader! VSB

EXAKT samma bevisföring kan utföras på Tarskis härledning...

Det blir lite oöverskådligt men det visar sig alltså att Tarskis härledning av lögnarparadoxen inte är giltig!

Det har allvarliga konsekvenser men tar lite för mycket utrymme för att diskuteras här.