Finns en absolut sanning?

[Vertumnus]

Ett annat exempel på en slutsats a priori är Euklides starkt kritiserade parallellaxiom. Två parallella linjer möts aldrig. Slutsatsen finns i definitionen.

Med andra axiom får vi en annan geometri. Med olika axiom får vi alltså olika "absoluta sanningar", oavsett om det gäller geometri eller något annat område.

Euklides, Femte postulatet framstår som en syntetisk sats, alltså vars sanning eller falskhet inte är bestämd redan. Kan denna sats avgöras intuitivt? Eller måste vi avgöra axiomets sanning genom genom att kontrollera den mot ett sinnesintryck? I så fall en syntetisk sats. Litet krånglig, men ingen tycks ha kommit på något bättre?

När en rät linje skär två räta linjer, och de båda inre vinklarna på samma sida om den skärande räta linjen är mindre än två räta vinklar, så kommer de båda räta linjerna, om de förlängas obegränsat, att skära varandra på den sida om den skärande räta linjen som de två inre vinklarna ligger.

Analytiskt a priori då motsatsen, att parallella linjer korsar varandra, leder till en självmotsägelse. Däremot används axiomet syntetiskt a priori då man förutsätter att parallella linjer existerar. Ingen har kunnat följa två linjer oändligt långt och på så vis erfarenhetsmässigt kunna fastställa att de saknar skärningspunkt.
Citatet måste gälla ickeparallaella linjer.

[Vertumnus]

Ett annat exempel på en slutsats a priori är Euklides starkt kritiserade parallellaxiom. Två parallella linjer möts aldrig. Slutsatsen finns i definitionen.

Med andra axiom får vi en annan geometri. Med olika axiom får vi alltså olika "absoluta sanningar", oavsett om det gäller geometri eller något annat område.

Absolut sannt inom euklidisk geometri, absolut sannt i ett givet logiskt system. Absolut sant inom system analytiskt slutna i sig själva. Sanning avgörs inte alltid med motsägelsefrihet.

[Pilatus]

Euklides, Femte postulatet framstår som en syntetisk sats, alltså vars sanning eller falskhet inte är bestämd redan. Kan denna sats avgöras intuitivt? Eller måste vi avgöra axiomets sanning genom genom att kontrollera den mot ett sinnesintryck? I så fall en syntetisk sats. Litet krånglig, men ingen tycks ha kommit på något bättre?

När en rät linje skär två räta linjer, och de båda inre vinklarna på samma sida om den skärande räta linjen är mindre än två räta vinklar, så kommer de båda räta linjerna, om de förlängas obegränsat, att skära varandra på den sida om den skärande räta linjen som de två inre vinklarna ligger.

Analytiskt a priori då motsatsen, att parallella linjer korsar varandra, leder till en självmotsägelse. Däremot används axiomet syntetetiskt a priori då man förutsätter att parallella linjer existerar. Ingen har kunnat följa två linjer oändligt långt och på så vis erfarenhetsmässigt kunna fastställa att de saknar skärningspunkt.
Citatet måste gälla ickeparallaella linjer.

Euklides femte postulat är det jag citerade ovan och faktiskt detsamma som parallellpostulatet.

[Pilatus]

Det finns ett tydligare postulat av Playfair, som säger att: In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point. It is equivalent to Euclid's parallel postulate in the context of Euclidean geometry and was named after the Scottish mathematician John Playfair.

[Vertumnus]

Det finns ett tydligare postulat av Playfair, som säger att: In a plane, given a line and a point not on it, at most one line parallel to the given line can be drawn through the point. It is equivalent to Euclid's parallel postulate in the context of Euclidean geometry and was named after the Scottish mathematician John Playfair.

Det där var tydligare. Det första var inte helt lätt att hänga med i, jag fick intrycket av att han utgick från att linjerna skulle korsas.

[hakkapeliitta]

Observera att punkten utanför linjen och den tänkbara parallella linjen ska vara vinkelrät mot den existerande linjen.
Om så gäller Euklides i tvådimensionellt rum problem blir det i högre dimensioner där parallellaxiomet inte längre gäller med Euklides givna förutsättningar, i tredimensionellt rum kan en vinkelrät linje skifta avstånd till den tänka linjen men korsar den aldrig. Därför är Euklides påstående att det endast finns en enda linje parallell fel i högre dimension än planet.

[Vertumnus]

Observera att punkten utanför linjen och den tänkbara parallella linjen ska vara vinkelrät mot den existerande linjen.
Om så gäller Euklides i tvådimensionellt rum problem blir det i högre dimensioner där parallellaxiomet inte längre gäller med Euklides givna förutsättningar, i tredimensionellt rum kan en vinkelrät linje skifta avstånd till den tänka linjen men korsar den aldrig. Därför är Euklides påstående att det endast finns en enda linje parallell fel i högre dimension än planet.

Det här får du nog förklara närmare. Hur skulle två parallella linjer kunna vara vinkelräta mot varandra? Två parallella linjer kan alltid fångas i ett plan.

[hakkapeliitta]

Vinkelrät linje från en punkt utanför linjen. Den nya linjen är då parallell med den andra.

[Vertumnus]

Vinkelrät linje från en punkt utanför linjen. Den nya linjen är då parallell med den andra.

Ok!

[Vertumnus]

Vinkelrät linje från en punkt utanför linjen. Den nya linjen är då parallell med den andra.

Ok!

Det är ett sätt att fastslå att två linjer är parallella. Att parallella linjer existerar, eller är möjliga, förutsätts. Euklides femte postulat som Pilatus postade säger ungefär samma sak, men ger sammtidigt implicit en definition på parallellitet. I båda fallen vilar existensen av parallella linjer endast på definitionen.

[hakkapeliitta]

Parallella linjer existerar lika lite som den perfekta cirkeln. Dessa finns endast i Platons idévärld.
När vi kliver ner från den perfekta världen till verkligheten kan vi ha den som ledstjärna. Parallell linje är en abstraktion där vi från det ofullständiga har abstraherat det perfekta genom att utesluta det icke-perfekta.
Därför kan vi definiera den perfekta parallella linjen i teorin som den perfekta, som ett ideal som saknar verklighetens alla småfel.

[Vertumnus]

Parallella linjer existerar lika lite som den perfekta cirkeln. Dessa finns endast i Platons idévärld.
När vi kliver ner från den perfekta världen till verkligheten kan vi ha den som ledstjärna. Parallell linje är en abstraktion där vi från det ofullständiga har abstraherat det perfekta genom att utesluta det icke-perfekta.
Därför kan vi definiera den perfekta parallella linjen i teorin som den perfekta, som ett ideal som saknar verklighetens alla småfel.

Med Einsteins relativitetsteori bestäms rummets geometri av fördelningen av materia. Räta linjer är inte alltid räta, geometrin skiftar från punkt till punkt. Platons perfekta cirkel bestäms av rummets topologi.

[David H]

Parallella linjer existerar lika lite som den perfekta cirkeln. Dessa finns endast i Platons idévärld.
När vi kliver ner från den perfekta världen till verkligheten kan vi ha den som ledstjärna. Parallell linje är en abstraktion där vi från det ofullständiga har abstraherat det perfekta genom att utesluta det icke-perfekta.
Därför kan vi definiera den perfekta parallella linjen i teorin som den perfekta, som ett ideal som saknar verklighetens alla småfel.

Med Einsteins relativitetsteori bestäms rummets geometri av fördelningen av materia. Räta linjer är inte alltid räta, geometrin skiftar från punkt till punkt. Platons perfekta cirkel bestäms av rummets topologi.

Är det inte bestämt att idén om en perfekt cirkel är tvådimensionell? I idévärlden är rummets topologi underordnad idén?

[Vertumnus]

Parallella linjer existerar lika lite som den perfekta cirkeln. Dessa finns endast i Platons idévärld.
När vi kliver ner från den perfekta världen till verkligheten kan vi ha den som ledstjärna. Parallell linje är en abstraktion där vi från det ofullständiga har abstraherat det perfekta genom att utesluta det icke-perfekta.
Därför kan vi definiera den perfekta parallella linjen i teorin som den perfekta, som ett ideal som saknar verklighetens alla småfel.

Med Einsteins relativitetsteori bestäms rummets geometri av fördelningen av materia. Räta linjer är inte alltid räta, geometrin skiftar från punkt till punkt. Platons perfekta cirkel bestäms av rummets topologi.

Är det inte bestämt att idén om en perfekt cirkel är tvådimensionell? I idévärlden är rummets topologi underordnad idén?

I en perfekt cirkel är avståndet från varje punkt på cirkelns periferi till dess centrum lika med cirkelns radie. En cirkel i rörelse som i det lokala koordinatsystemet är cirkulär syns från en stillastående referensram som elliptisk. Liknande effekter fås då skillnader i gravitation påverkar rummets topologiska egenskaper. Inget av detta har något att göra med de svårigheter Platon såg med att framställa idèvärldens cirkel opåverkad av jordiska förhållanden i sinnevärlden.

[Hubert]

Ja, vi tagit oss förbi Platon och andra bronsålderstänkare.

Med Einsteins relativitetsteori bestäms rummets geometri av fördelningen av materia. Räta linjer är inte alltid räta, geometrin skiftar från punkt till punkt. Platons perfekta cirkel bestäms av rummets topologi.

Är det inte bestämt att idén om en perfekt cirkel är tvådimensionell? I idévärlden är rummets topologi underordnad idén?

I en perfekt cirkel är avståndet från varje punkt på cirkelns periferi till dess centrum lika med cirkelns radie. En cirkel i rörelse som i det lokala koordinatsystemet är cirkulär syns från en stillastående referensram som elliptisk. Liknande effekter fås då skillnader i gravitation påverkar rummets topologiska egenskaper. Inget av detta har något att göra med de svårigheter Platon såg med att framställa idèvärldens cirkel opåverkad av jordiska förhållanden i sinnevärlden.