Oändligheten gånger noll?

[Justin Case]

I det fall vi med oändligheten avser något oändligt kardinaltal r, så är 0*r vanligtvis odefinierat, men inte de övriga, det vill säga 5*r och 2000*r.

Oändliga tal kan ju skrivas antingen som kardinaltal eller som ordinaltal. Varför utgå från att det ska vara kardinaltal som gäller, när man får frågan "vad är oändligheten gånger noll"? Det minsta oändliga talet, behandlat som ordinaltal, är omega, eller w. För w gäller att w+1>w, att w+w>w, osv, att jämföra med att det för kardinaltalens motsvarighet till w, som är alef0, gäller att alef0+1=alef0, alef0+alef0=alef0, osv. Medan man inte behandlar alef0 som man behandlar ändliga tal, behandlar man alltså w som man brukar behandla ändliga tal. Med tanke på det, vad blir w*0? (Jag har förstått att ordningsföljden är viktig när man hanterar ordinaltal, så jag är noga med att skriva w*0 och inte 0*w).

[Justin Case]

"0/0" skulle kunna vara ett kortfattat sätt att skriva "om det inte hade funnits något universum, hade inte vi kunnat finnas", eller med andra ord: "noll människor per noll universum". Därför tycks mig kvoten av 0/0 inte kunna vara något annat än noll.

Jag förstår argumenten för att "0 gånger oändligheten" och "0/0" är "odefinierade", men jag håller inte med om dem.

Jag håller inte riktigt med dig här. Om vi inte har något universum att undersöka hur många människor det finns i så är det fel att säga att det är 0 människor per universum. Är det inte vettigt att säga att det inte går att definiera hur många människor det finns per universum då vi inte har något universum att undersöka.

Vem har sagt att jag utgick från ett sådant scenario där det finns något universum att undersöka? Jag utgick från att det skulle ha kunnat vara så att det inte finns något universum att undersöka. Då hade det funnits 0 människor per 0 universum. Om man vill kan man tillägga: "...men nu finns det (minst) ett universum, så det är en hypotetisk fråga". Men här på filosofiforum sysslar vi ju ofta med hypotetiska frågor.

[sydman]

"0/0" skulle kunna vara ett kortfattat sätt att skriva "om det inte hade funnits något universum, hade inte vi kunnat finnas", eller med andra ord: "noll människor per noll universum". Därför tycks mig kvoten av 0/0 inte kunna vara något annat än noll.

Jag förstår argumenten för att "0 gånger oändligheten" och "0/0" är "odefinierade", men jag håller inte med om dem.

Jag håller inte riktigt med dig här. Om vi inte har något universum att undersöka hur många människor det finns i så är det fel att säga att det är 0 människor per universum. Är det inte vettigt att säga att det inte går att definiera hur många människor det finns per universum då vi inte har något universum att undersöka.

Vem har sagt att jag utgick från ett sådant scenario där det finns något universum att undersöka? Jag utgick från att det skulle ha kunnat vara så att det inte finns något universum att undersöka. Då hade det funnits 0 människor per 0 universum. Om man vill kan man tillägga: "...men nu finns det (minst) ett universum, så det är en hypotetisk fråga". Men här på filosofiforum sysslar vi ju ofta med hypotetiska frågor.

Du sa också att kvoten 0/0 inte kunde bli något annat än 0, det var där jag opponerade mig. Om det är korgar och äpplen eller människor och universum har ingen betydelse. 0/0 skulle kunna stå för 0 människor i 0 universum, men om du utför divisionen och säger att det blir 0, dvs 0/0=0 så läses det som att om det finns 0 människor i 0 universum så finns det 0 människor per universum. Det jag menar är att det inte går att uttala sig om hur många människor det finns per universum om antalet universum är 0.

[Algotezza]

Jag antar att det inom matematiken finns ett eller kanske flera (om de lärda tvistar) svar på frågan vad oändligheten gånger noll är?

Är det ett odefinierat tal?

Är det 0,5?

Är det 0?

Om du vet svaret på detta så berätta gärna hur man tänker i frågan!

Vänligen

Fredrik

PS. På denna sida finns t.ex. en uppställning som ger vid handen att svaret är "ett odefinierat tal": http://www.philforhumanity.com/Zero_Times_Infinity.html . DS.

Intressantare är väl vad kvadraten på oändligheten är... eller vad oändligheten multiplicerat med sig själv oändligt många gånger blir. Noll?

Oavsett vilken summa du tar och om du tar den noll ggr blir ju svaret noll. En annan sak är vad vi menar att noll står för. Matematiskt, filosofiskt, new age-mässigt...

/Algotezza

[freddemalte]

Jag antar att det inom matematiken finns ett eller kanske flera (om de lärda tvistar) svar på frågan vad oändligheten gånger noll är?

Är det ett odefinierat tal?

Är det 0,5?

Är det 0?

Om du vet svaret på detta så berätta gärna hur man tänker i frågan!

Vänligen

Fredrik

PS. På denna sida finns t.ex. en uppställning som ger vid handen att svaret är "ett odefinierat tal": http://www.philforhumanity.com/Zero_Times_Infinity.html . DS.

Intressantare är väl vad kvadraten på oändligheten är... eller vad oändligheten multiplicerat med sig själv oändligt många gånger blir. Noll?

Oavsett vilken summa du tar och om du tar den noll ggr blir ju svaret noll. En annan sak är vad vi menar att noll står för. Matematiskt, filosofiskt, new age-mässigt...

/Algotezza

Ja, se där! Genom denna fråga fick jag din syn på saken - vilket ingick i syftet med frågan! Tack för detta Algotezza!

Vänligen

Fredrik

[Dura M]

Man kan tolka den frågan som felställd, eftersom den syftar på skålar som inte finns, men om man måste svara med en siffra och inte får svara med något annat, tycks det mig åtminstone rimligare att svara 0 än att svara 19,2 eller något annat tal som inte är 0.

Men nu måste man inte svara med en siffra, eller ens med ett tal. Ibland gör man bättre i att låta bli.

På samma sätt tänker jag om 0/0. Om man svarar "odefinierat" eller säger att frågan inte kan besvaras, kan det framstå som om vilket tal som helst vore lika rimligt som svar på frågan.

Vilket alltså råkar vara en fullt rimlig ståndpunkt.

[Rorschach]

I det fall vi med oändligheten avser något oändligt kardinaltal r, så är 0*r vanligtvis odefinierat, men inte de övriga, det vill säga 5*r och 2000*r.

Oändliga tal kan ju skrivas antingen som kardinaltal eller som ordinaltal. Varför utgå från att det ska vara kardinaltal som gäller, när man får frågan "vad är oändligheten gånger noll"?

Det kan man fråga sig, och även vilken av alla de olika oändligheterna som avses.

Det minsta oändliga talet, behandlat som ordinaltal, är omega, eller w. För w gäller att w+1>w, att w+w>w, osv, att jämföra med att det för kardinaltalens motsvarighet till w, som är alef0, gäller att alef0+1=alef0, alef0+alef0=alef0, osv. Medan man inte behandlar alef0 som man behandlar ändliga tal, behandlar man alltså w som man brukar behandla ändliga tal.

Det är något vilseledande med "behandlar man alltså w som man brukar behandla ändliga tal". För att förtydliga, i resonemanget tolkar jag det som att w är det minsta oändliga ordinaltalet och att man behandlar det som man brukar behandla naturliga tal. Operationen addition för naturliga tal är kommutativ, vilket den inte är för w. På det viset behandlar man inte w på samma sätt som man behandlar naturliga tal.  

Med tanke på det, vad blir w*0? (Jag har förstått att ordningsföljden är viktig när man hanterar ordinaltal, så jag är noga med att skriva w*0 och inte 0*w).

0

[archaxe]

Med tanke på det, vad blir w*0? (Jag har förstått att ordningsföljden är viktig när man hanterar ordinaltal, så jag är noga med att skriva w*0 och inte 0*w).

Är inte multiplikation symetriskt för oändliga tal? Är alltså aXb ≠ bXa? I vilken mån är det isåfall multiplikation?

[Rorschach]

Med tanke på det, vad blir w*0? (Jag har förstått att ordningsföljden är viktig när man hanterar ordinaltal, så jag är noga med att skriva w*0 och inte 0*w).

Är inte multiplikation symetriskt för oändliga tal? Är alltså aXb ≠ bXa? I vilken mån är det isåfall multiplikation?

Lite beroende på vad du avser med oändliga tal, multiplikation av ordinaltal är inte kommutativ, multiplikation av kardinaltal är kommutativ. Det framgår rätt tydligt att Justin Case avser ordinaltal i det här fallet.

[Algotezza]

Kardinaltal funkar så att säga i analogi med ljusets hastighet. Vanlig addition gör ingen skillnad. Liksom att två rymdskepp som rör  sig från varandra med ljusets hastighet inte rör sig dubbelt så fort från varandra som om det ena stod stilla.

/Algotezza

[Justin Case]

Det är något vilseledande med "behandlar man alltså w som man brukar behandla ändliga tal". För att förtydliga, i resonemanget tolkar jag det som att w är det minsta oändliga ordinaltalet och att man behandlar det som man brukar behandla naturliga tal. Operationen addition för naturliga tal är kommutativ, vilket den inte är för w. På det viset behandlar man inte w på samma sätt som man behandlar naturliga tal.

Det är så sant. Man behandlar w endast delvis som man behandlar naturliga tal: endast när man det naturliga tal som läggs till w läggs till till höger om w. Om kardinaltalet alef0 = mängden naturliga tal = ordinaltalet w, gäller alltså att:

alef0 + 7 = alef0
7 + alef0 = alef0
w + 7 > w
7 + w = w

Om det nu finns dessa två sätt att behandla oändliga mängder, kan man inte lika gärna införa två kompletterande sätt, så att om a = b = alef0 = w, gäller att:

a + 7 = a
7 + a > a
b + 7 > b
7 + b > b

Det skulle skapa symmetri, om ni ser vad jag menar. Jag ser inte varför man inte kan behandla oändliga mängder så som jag behandlar den oändliga mängden b ovan (d.v.s. som man behandlar de naturliga talen), med tanke på att man (vilket tycks mig minst lika godtyckligt) kan behandla oändliga mängder som man behandlar w (d.v.s. "delvis som man behandlar naturliga tal").

Eller, uttryckt lite annorlunda: om man inte får behandla en oändlig mängd som jag behandlar b ovan, varför får man då behandla en oändlig mängd som man behandlar w? Vad gör sättet på vilket man behandlar w rimligare än det sätt jag föreslår att b ska behandlas på?

[Dura M]

Jag ser inte varför man inte kan behandla oändliga mängder så som jag behandlar den oändliga mängden b ovan (d.v.s. som man behandlar de naturliga talen)

Det kan man naturligtvis göra om man vill, vilket jag påpekade för dig redan i den här diskussionen: http://www.filosofiforum.com/forum/vie ... 625#144625

[Justin Case]

Jag ser inte varför man inte kan behandla oändliga mängder så som jag behandlar den oändliga mängden b ovan (d.v.s. som man behandlar de naturliga talen)

Det kan man naturligtvis göra om man vill, vilket jag påpekade för dig redan i den här diskussionen: http://www.filosofiforum.com/forum/vie ... 625#144625

Jag vet, men jag förstod aldrig vad du menade där. I ena stunden säger du att en oändlig mängd A + samma oändliga mängd A är lika med A, och att det fel att påstå att A+A>A, men emellanåt säger du tvärtom att man, om man vill, kan behandla oändliga mängder på andra sätt, vad jag förstår alltså bland annat sätt som t.ex. ger att A+A>A, utan att det behöver vara fel. Hur ska du ha det, liksom?

[Justin Case]

Dura,
Ligger missförståndet i att vi tolkar ordet "kan" på olika sätt? När jag frågar "kan man behandla oändliga mängder på sättet x?" menar jag "är det matematiskt rimligt att behandla oändliga mängder på sättet x?". Självklart förstår jag ju att man kan behandla matematik precis hur man vill, om man vill. Man kan till exempel behandla mängden naturliga tal som om den vore det naturliga talet 7 och inget annat. Men jag kunde inte tänka mig att du skulle tro att jag underförstod ett sådant "kan". Det vore ju som att bemöta påståendet "man kan inte påstå att Lars Ohly är extremhöger" med ett "jo, alla kan påstå det, hör här: Lars Ohly är extremhöger! Jag kan! Du kan också! Alla kan det! Alltså kan man det! Yes we can!"

[freddemalte]

Jag antar att det inom matematiken finns ett eller kanske flera (om de lärda tvistar) svar på frågan vad oändligheten gånger noll är?

Kan detta tänkas vara ett matematiskt riktigt svar? http://www.math.oregonstate.edu/home/pr ... _zero.html

Vänligen

Fredrik