Korpen flyger!

[meanman]

"mjukgord" hårdvara...

Anta att vi är i den ornitologiska avd av ett Zoo och får för oss att formlera hypotesen 'alla korpar är svarta', efter att ha iakttagit fåglarna ett tag i deras gigantiska utrymme.

Vi vill bekräfta detta och anger några kriteria angående bekräftelsen:

(i) Hypotesen bekräftas av föremål som är en korp och som är svart.
Och motsägs av föremål som är en korp och inte är svart.

(ii) Hypotesen berörs ej av föremål som inte är en korp.

(iii) Hypotesen kan utryckas med bibehållen innebörd i logiskt
ekvivalenta satser.

Vi har alltså om 'x' står för föremål följande:

(1) 'Det gäller för alla x(om x är en korp så är x svart)'

För att få med kriteriet (iii) tar vi som vårt andra uttryck för vår hypotes den logiskt ekvivalenta, kontrapositionella varianten av (1), nämligen:

(2) 'Det gäller för alla x(om x inte är svart så är x inte en korp)'

Vid vår observation i den väldiga fågelhägnaden får vi nu fyra olika slag av utfall, här presenterat med följande exempel (a,b,c,d):

(a) x är en korp som är vit(hovnarrens?), alltså x är en korp och x är inte svart.

(b) x är en svart plånbok(som en korp snott?), alltså x är svart och x är inte en korp.

(c) x är en röd boll(som någon kastat in?), alltså x är inte svart och x är inte en korp.

(d) x är en svart korp(äntligen!), alltså x är svart och x är en korp.

Vi finner då att vår hypotes uttryckt antingen enl (1) eller enl (2) motsägs av utfallet (a), samt att vår hypotes uttryckt antingen enl (1) eller enl (2) ej berörs av utfallet (b).

Så långt, så väl(korpen sitter kvar).

Men se vad som händer vid utfallet (c)! Enligt (1) berörs, som väntat, ej vår hypotes. Men enligt (2) bekräftas(!) vår hypotes.

Och lika underligt vid utfallet (d). Enligt (1) bekräftas, som väntat, vår hypotes. Men enligt (2) berörs ej(!) vår hypotes.

(korpen flyger igen)

Vi får alltså i två fall olika (grader av) stöd för vår hypotes, beroende på vilket av två logiskt ekvivalenta uttryck vi väljer!

Alltså måste ett av våra 3 kriteria (i), (ii), och (iii) ges upp.
Men vilket? Och varför?

[kringlan]

strök hela grejen, den har antagligen ingenting med saken att göra endå .. hör mer till filosofi

[Tore]

Alltså måste ett av våra 3 kriteria (i), (ii), och (iii) ges upp.
Men vilket? Och varför?

Du verkar mena att en sats på formen "Om P så Q" uttrycker en hypotes som "bekräftas" om och endast om P och Q båda är sanna. I så fall uttrycker ju inte (1) och (2) samma hypotes och det är förstås (iii) som inte stämmer.

[meanman]

Alltså måste ett av våra 3 kriteria (i), (ii), och (iii) ges upp.
Men vilket? Och varför?

Du verkar mena att en sats på formen "Om P så Q" uttrycker en hypotes som "bekräftas" om och endast om P och Q båda är sanna. I så fall uttrycker ju inte (1) och (2) samma hypotes och det är förstås (iii) som inte stämmer.

Tore/
Paradoxen rör innebörden av hypotesen. Det är vad den hypotetiska lagen säger, som skall bekräftas, motsägas eller ej beröras av varje i exemplet observerat föremål.

Det (iii) säger är att då ett föremål 'confirms', 'disconfirms' eller är 'neutral with' den lag som uttrycks i en av två logiskt ekvivalenta
noteringar, så skall föremålet ge samma utfall även i den andra med den första logiskt ekvivalenta noteringen. Alltså:

'Alla korpar är svarta' är logiskt ekvivalent med uttrycket 'alla icke-svarta föremål är icke-korpar'.

Vart och ett av kriterierna (i), (ii) och (iii) är helt okej taget varför sig.
Paradoxen uppstår då vi tar med alla i vår 'confirmation'.

Förstår du vad jag menar, eller är det något i framställningen som är oklart?

[59977]

Hypotesen säger något om alla korpar. Att du observerat en svart korp bekräftar inte att alla korpar är svarta. Den enda av observationerna som säger något om hypotesens giltighet är således (a), som bekräftar att den är falsk.

[Tore]

Förstår du vad jag menar, eller är det något i framställningen som är oklart?

Oklarheten ligger i vad du menar med att något "bekräftas". Hur kommer du exempelvis fram till följande:

Men se vad som händer vid utfallet (c)! Enligt (1) berörs, som väntat, ej vår hypotes. Men enligt (2) bekräftas(!) vår hypotes.

Exakt hur menar du att hypotesen bekräftas "enligt (2)"?

[MrTambourineMan]

Hypotesen att alla korpar är svarta styrks vid varje ny observation av en svart korp, rent bayesiskt i varje fall. Ekvivalent med påståendet "Alla korpar är svarta" är "Allting icke-svart är icke-korp". I sann bayesisk anda styrks därför hypotesen "Alla korpar är svarta" varje gång vi observerar någonting som är icke-svart och icke-korp. Men eftersom mängden av alla icke-svarta icke-korpar är så otroligt mycket större än mängden av alla svarta korpar, är den här bayesiska korroberingen mycket svagare än den direkta varianten.

[meanman]

Förstår du vad jag menar, eller är det något i framställningen som är oklart?

Oklarheten ligger i vad du menar med att något "bekräftas". Hur kommer du exempelvis fram till följande:

Men se vad som händer vid utfallet (c)! Enligt (1) berörs, som väntat, ej vår hypotes. Men enligt (2) bekräftas(!) vår hypotes.

Exakt hur menar du att hypotesen bekräftas "enligt (2)"?

Tore/

(2) med den logiska noteringen, så pass som tangentbordet medger:

Vx(~Sx -> ~Kx)

Implikationen utläses: 'Det gäller för alla x(om x inte är svart så är x inte en korp)', eller 'Det gäller för alla x(om x är icke-svart så är x icke-korp)'

När vi sätter in värdet på x, enligt utfallet i (c), en röd boll, så är implikationen sann, och ger därmed stöd åt innehållet i vår hypotes uttryckt i den logiskt ekvivalenta satsen:

(1) Vx(Kx -> Sx)

Men här 'passar' ju inte den röda bollen....
och implikationen är då neutral i relation till vår hypotes.

[meanman]

Hypotesen att alla korpar är svarta styrks vid varje ny observation av en svart korp, rent bayesiskt i varje fall. Ekvivalent med påståendet "Alla korpar är svarta" är "Allting icke-svart är icke-korp". I sann bayesisk anda styrks därför hypotesen "Alla korpar är svarta" varje gång vi observerar någonting som är icke-svart och icke-korp. Men eftersom mängden av alla icke-svarta icke-korpar är så otroligt mycket större än mängden av alla svarta korpar, är den här bayesiska korroberingen mycket svagare än den direkta varianten.

Hej,

Du inser vad jag ville förmedla. Jag stängde in korparna i en inhägnad med andra fåglar. Det är ju inte hela världen att plocka i. Jag borde kanske i det här fallet ha förtydligat mig till påståendet: 'alla korpar i den här inhägnaden är svarta'.
Jag reagerade på att två logiskt ekvivalenta satser gav olika stöd för hypotesen....
Det aktualiserar frågan om vilka observationer som är relevanta vid prövandet av en hypotes...
Du kanske ser det främst i termer av sannolikhetsteorier...

[Tore]

(2) med den logiska noteringen, så pass som tangentbordet medger:

Vx(~Sx -> ~Kx)

Implikationen utläses: 'Det gäller för alla x(om x inte är svart så är x inte en korp)', eller 'Det gäller för alla x(om x är icke-svart så är x icke-korp)'

När vi sätter in värdet på x, enligt utfallet i (c), en röd boll, så är implikationen sann, och ger därmed stöd åt innehållet i vår hypotes uttryckt i den logiskt ekvivalenta satsen:

(1) Vx(Kx -> Sx)

Men här 'passar' ju inte den röda bollen....
och implikationen är då neutral i relation till vår hypotes.

Vad du säger här är ju att satserna (1) och (2) inte är logiskt ekvivalenta, vilket strider mot ditt eget antagande. (Att två satser är logiskt ekvivalenta innebär ju att de alltid har samma sanningsvärde, men här tycks du mena att den ena implikationen sann men den andra inte.)

Enligt vanlig satslogik är implikationen (P→Q) sann så länge inte P är sann samtidigt som Q är falsk, dvs satsen "om x är en korp så är x svart" är satslogiskt sann i fallen (b), (c) och (d), och falsk i fallet (a). Detsamma gäller satsen "om x inte är svart så är x inte en korp". Satslogiskt är de alltså ekvivalenta. Vill du utgå från någon annan sorts logik så kan du förstås göra det, men då kan du inte ta ekvivalensen för given.

[meanman]

(2) med den logiska noteringen, så pass som tangentbordet medger:

Vx(~Sx -> ~Kx)

Implikationen utläses: 'Det gäller för alla x(om x inte är svart så är x inte en korp)', eller 'Det gäller för alla x(om x är icke-svart så är x icke-korp)'

När vi sätter in värdet på x, enligt utfallet i (c), en röd boll, så är implikationen sann, och ger därmed stöd åt innehållet i vår hypotes uttryckt i den logiskt ekvivalenta satsen:

(1) Vx(Kx -> Sx)

Men här 'passar' ju inte den röda bollen....
och implikationen är då neutral i relation till vår hypotes.

Vad du säger här är ju att satserna (1) och (2) inte är logiskt ekvivalenta, vilket strider mot ditt eget antagande. (Att två satser är logiskt ekvivalenta innebär ju att de alltid har samma sanningsvärde, men här tycks du mena att den ena implikationen sann men den andra inte.)

Enligt vanlig satslogik är implikationen (P→Q) sann så länge inte P är sann samtidigt som Q är falsk, dvs satsen "om x är en korp så är x svart" är satslogiskt sann i fallen (b), (c) och (d), och falsk i fallet (a). Detsamma gäller satsen "om x inte är svart så är x inte en korp". Satslogiskt är de alltså ekvivalenta. Vill du utgå från någon annan sorts logik så kan du förstås göra det, men då kan du inte ta ekvivalensen för given.

Tore/

1. I mitt exempel finns inget som visar att det ena uttrycket är sant och det andra falskt för något av utfallen (a-d). Däremot att det ena är sant(eller falskt) medan det andra är neutralt.

(1) och (2) är predikatlogiska satser. Och därmed antog jag att du kände till att sådana ofta varken är sanna eller falska. Man säger då (strikt talat) att de är predikatlogiskt kontingenta.

Vidare säger man predikatlogiskt falsk, men
predikatlogiskt satisfierbar(när satsen är sann i något individområde under någon värdering).

Det är iget fel på de predikatlogiska uttrycken, eller påståendet att de är logiskt ekvivalenta. Om du tänker dig in i exemplet enl. MrTamb.. sätt så kanske du förstår paradoxen, även om jag uttryckt mig lite knappt.

[Stefan]

Meanmann/

Rörigt första inlägg. Om det var det MrTambourine skrev om som du avsåg så tror jag att det var Hempel som tog upp detta problem.

Tore/

(1) och (2) är predikatlogiska satser. Och därmed antog jag att du kände till att sådana ofta varken är sanna eller falska. Man säger då (strikt talat) att de är predikatlogiskt kontingenta.

Vidare säger man predikatlogiskt falsk, men
predikatlogiskt satisfierbar(när satsen är sann i något individområde under någon värdering).

Det är iget fel på de predikatlogiska uttrycken, eller påståendet att de är logiskt ekvivalenta. Om du tänker dig in i exemplet enl. MrTamb.. sätt så kanske du förstår paradoxen, även om jag uttryckt mig lite knappt.

Predikatlogiska satser är antingen logiskt sanna, logiskt falska, eller kontingenta. De är alltid antingen sanna eller falska, om de är välformade. Men jag antar att du bara skrev fel.

[Tore]

1. I mitt exempel finns inget som visar att det ena uttrycket är sant och det andra falskt för något av utfallen (a-d). Däremot att det ena är sant(eller falskt) medan det andra är neutralt.

(1) och (2) är predikatlogiska satser. Och därmed antog jag att du kände till att sådana ofta varken är sanna eller falska. Man säger då (strikt talat) att de är predikatlogiskt kontingenta.

Nej, jag har aldrig hört talas om att predikatlogiken skulle använda sig av sanningsvärdet "neutralt", vid sidan av "sant och "falskt". Att en sats är kontingent betyder ju endast att dess sanningsvärde beror på någon variabel, i det här fallet x. När vi väl har bestämt x så blir satsen antingen sann eller falsk, aldrig "neutral".

[meanman]

Rörigt första inlägg...

.

"Rörigt", säger du? Om mitt försök att lätta upp en torr framställning utan att förvanska budskapet, så kan det ses som en välmenad popularisering för att intressera flera än typ dig och mig.....

(1) och (2) är predikatlogiska satser. Och därmed antog jag att du Tore kände till att sådana ofta varken är sanna eller falska. Man säger då (strikt talat) att de är predikatlogiskt kontingenta.

Vidare säger man predikatlogiskt falsk, men
predikatlogiskt satisfierbar(när satsen är sann i något individområde under någon värdering)..

Predikatlogiska satser är antingen logiskt sanna, logiskt falska, eller kontingenta. De är alltid antingen sanna eller falska, om de är välformade. Men jag antar att du bara skrev fel.

Jag skrev knappast fel, men kanske väl knapphändigt. De predikatlogiska formlerna (1) och (2) trodde jag inte behövde mer ordande från mig.
Men låt gå för mera definitioner:

En formel F är predikatlogiskt falsk om och endast om F är falsk i varje individområde I under varje värdering V i I.

En formel F är predikatlogiskt satisfierbar när den är sann i något individområde under någon värdering.

En formel F är predikatlogiskt kontingent om den är falsk i individområdet I under värderingen V1 men sann i individområdet I2 under värderingen V2.

En formel F är predikatlogiskt sann om och endast om F är sann i varje individområde I under varje värdering V i I av F.

-- 'predikatlogiskt sann' kallas också för 'allmängiltig'.
-- En 'predikatlogiskt sann' formel är sann redan i kraft av sin logiska form. Den är sann oberoende av hur verkligheten är och oberoende av betydelsen av de icke-logiska uttryck som finns i formeln.

Din kommentar ovan ang. 'välformulerad' kan missförstås, det är knappast predikatlogiskt sanna satser du avser, utan välformulerade med avseende på värdering i ett individområde?

Du minns rätt när du nämnde Hempel i sammanhanget. Men även Reichenbach, Goodman och Quine nämns. Även en Nicod nämns, ang. de två första kriterierna.

[Stefan]

OK, jag tror att du å ena sidan och jag och Tore talar förbi varandra här. Vad man måste skilja mellan är följande:

Satsen A: "alla korpar är svarta":s värde relativt ett visst individområde. I detta fall kan A ha två värden: sant eller falskt.

Satsen A:s värde om man inte relaterar den till ett visst individområde. Som du säger kan den då vara logiskt sann, logiskt falsk, kontingent, etc. Just satsen A är kontingent, men satsen "Alla korpar är antingen svarta eller inte svarta" är logiskt sann.