Frågor om Cantors teorem

[Dura M]

Anta att vi har den oändliga mängden w+1.

Vad är w+1 för en mängd?

[Justin Case]

Anta att vi har den oändliga mängden w+1.

Vad är w+1 för en mängd?

Det som står ca tio rader ned i denna artikel:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

och på rad 6 i denna:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Ordinaltal

"Enligt infinitetsaxiomet kan vi fortsätta på samma sätt även med oändliga mängder, genom att bilda successorn av dessa. Då får vi alla oändliga ordinaltal. Det minsta oändliga ordinaltalet är ω. Successorn till detta är ω+1. [...] "

Längre ned i sistnämnda artikel, under rubriken "Egenskaper", står det:

"Detta ordinaltal beskriver emellertid väl-ordningen mer än själva mängden. Det faktum att en given mängd kan väl-ordnas på många sätt, gör att en given mängd kan motsvaras av mer än ett ordinaltal. Det är därför inte lämpligt att använda sig av ordinaltal då man är intresserad av att jämföra storleken av en mängd med den hos en annan."

Vad jag bestrider är alltså att det inte skulle vara "lämpligt att använda sig av ordinaltal då man är intresserad av att jämföra storleken av en mängd med den hos en annan". Anta att man vill jämföra mängden w med mängden w+1. Om det då inte är "lämpligt" att använda sig av ordinaltal, förlorar man den där 1:an. Än sen då, kanske du undrar. Men anta att man vill jämföra mängden w med mängden w-1. Och med mängden w-2. Och med mängden w-3, och så vidare nedåt. Om man inte kan anses på detta sätt kunna - ens teoretiskt - räkna sig ned till talet 0, finns det inget fog för att hävda att w är uppräkneligt. Att w är uppräkneligt innebär alltså att vi kommer ned till talet 0. Men om varje steg i den processen är förbisebart, är ju hela processen förbisebar. Därmed får man att w=0. Och det går ju inte.

[Rorschach]

"Detta ordinaltal beskriver emellertid väl-ordningen mer än själva mängden. Det faktum att en given mängd kan väl-ordnas på många sätt, gör att en given mängd kan motsvaras av mer än ett ordinaltal. Det är därför inte lämpligt att använda sig av ordinaltal då man är intresserad av att jämföra storleken av en mängd med den hos en annan."

Vad jag bestrider är alltså att det inte skulle vara "lämpligt att använda sig av ordinaltal då man är intresserad av att jämföra storleken av en mängd med den hos en annan". Anta att man vill jämföra mängden w med mängden w+1. Om det då inte är "lämpligt" att använda sig av ordinaltal, förlorar man den där 1:an. Än sen då, kanske du undrar. Men anta att man vill jämföra mängden w med mängden w-1. Och med mängden w-2. Och med mängden w-3, och så vidare nedåt. Om man inte kan anses på detta sätt kunna - ens teoretiskt - räkna sig ned till talet 0, finns det inget fog för att hävda att w är uppräkneligt. Att w är uppräkneligt innebär alltså att vi kommer ned till talet 0. Men om varje steg i den processen är förbisebart, är ju hela processen förbisebar. Därmed får man att w=0. Och det går ju inte.

Vad är w-1 för mängd?

Skälet till varför det inte är lämpligt att använda sig av ordinaltal framgår av det citerade stycket. Beroende på hur man räknar upp exempelvis mängden N av naturliga tal så kommer man fram till olika ordinaltal, exempelvis w, w+6 eller w+234525. Det får då som resultat att N inte är lika stor som N.

[Dura M]

Anta att man vill jämföra mängden w med mängden w+1.

Men w och w+1 betecknar inte olika mängder. De betecknar olika ordinaltal. En och samma oändlig mängd kan välordnas på en massa olika sätt som svarar mot olika ordinaltal, t.ex. w och w+1. Vill du använda ordinaltal som mått på mängders storlek måste du alltså acceptera att en och samma mängd kan ha olika storlek beroende på hur elementen ordnas.

[Rorschach]

Anta att man vill jämföra mängden w med mängden w+1.

Men w och w+1 betecknar inte olika mängder. De betecknar olika ordinaltal. En och samma oändlig mängd kan välordnas på en massa olika sätt som svarar mot olika ordinaltal, t.ex. w och w+1. Vill du använda ordinaltal som mått på mängders storlek måste du alltså acceptera att en och samma mängd kan ha olika storlek beroende på hur elementen ordnas.

Det beror på hur vi definierar ordinaltal. De kan precis som nästan alla matematiska objekt representeras som mängder. (Exempelvis kan vi ju som du tidigare skrev representera de naturliga talen som {}, {{}}, {{},{{}}},...)

[freddemalte]

Anta att man vill jämföra mängden w med mängden w+1.

Men w och w+1 betecknar inte olika mängder. De betecknar olika ordinaltal. En och samma oändlig mängd kan välordnas på en massa olika sätt som svarar mot olika ordinaltal, t.ex. w och w+1. Vill du använda ordinaltal som mått på mängders storlek måste du alltså acceptera att en och samma mängd kan ha olika storlek beroende på hur elementen ordnas.

Det beror på hur vi definierar ordinaltal. De kan precis som nästan alla matematiska objekt representeras som mängder. (Exempelvis kan vi ju som du tidigare skrev representera de naturliga talen som {}, {{}}, {{},{{}}},...)

Är allt detta som ni talar om ovan "översättbart" till så kallat vardagliga fenomen (t.ex. antalet bilar på en parkering etc.) eller är det enbart abstraktioner för att hantera matematiska fenomen så att de går att använda i olika former av ekvationer och teorier av mer komplicerad art? Jag hänger inte riktigt med på varken språkbruket eller matematiken, men är väldigt nyfiken på hur det ska förstås?

Vänligen

Fredrik

[Dura M]

Det beror på hur vi definierar ordinaltal. De kan precis som nästan alla matematiska objekt representeras som mängder.

Ja, jag bara väntade på att du skulle komma med den invändningen... Tror dock inte att ditt påpekande underlättar för JC eftersom han då måste hålla isär de mängder som representerar ordinaltalen w och w+1 från de (välordnade) mängder som har ordinalitet w och w+1. Och som sagt, ordinaltal behöver inte definieras i termer av mängder så för diskussionens skull är det nog enklare att vi skiljer på tal och mängder.

[Dura M]

Är allt detta som ni talar om ovan "översättbart" till så kallat vardagliga fenomen (t.ex. antalet bilar på en parkering etc.) eller är det enbart abstraktioner för att hantera matematiska fenomen så att de går att använda i olika former av ekvationer och teorier av mer komplicerad art? Jag hänger inte riktigt med på varken språkbruket eller matematiken, men är väldigt nyfiken på hur det ska förstås?

Vet inte riktigt vad det är du frågar efter men så länge det är en ändlig mängd bilar på parkeringen så gör det ingen skillnad om du betraktar bilarna som en oordnad eller en välordnad mängd, dvs det gör ingen skillnad om du räknar med kardinaltal eller ordinaltal.

[freddemalte]

Är allt detta som ni talar om ovan "översättbart" till så kallat vardagliga fenomen (t.ex. antalet bilar på en parkering etc.) eller är det enbart abstraktioner för att hantera matematiska fenomen så att de går att använda i olika former av ekvationer och teorier av mer komplicerad art? Jag hänger inte riktigt med på varken språkbruket eller matematiken, men är väldigt nyfiken på hur det ska förstås?

Vet inte riktigt vad det är du frågar efter men så länge det är en ändlig mängd bilar på parkeringen så gör det ingen skillnad om du betraktar bilarna som en oordnad eller en välordnad mängd, dvs det gör ingen skillnad om du räknar med kardinaltal eller ordinaltal.

Ok, tack!
Vad jag menar: Jo, den matematik som finns i grundkolans matematikböcker synes mig tämligen lätt att applicera på vardagliga ting (objekt och fenomen) så som t.ex. 7 päron minus 3 päron är lika med 4 päron (detta går då att exemplifiera med riktiga päron etc.) om vi talar om 1 miljard päron gånger 50. vilket blir 50 miljarder päron så gäller detsamma för detta, men är uppenbart svårare att fysiskt exemplifiera. Så i dessa två exempel går det att förstå att matematiken är direkt applicerbar på verkligheten men att de förstnämnda är betydligt lättare att visa praktiskt. Det jag undrade var om de saker ni pratar om (w, w+1, mängder, ordnaltal och kradinaltal etc) är sådana matematiska begrepp att de också är applicerbara på verkligheten eller enbart utgör "verktyg" för matematiken som sådan? Eller alternativt, att de är applcerbara men att de är lika svåra att praktiskt visa som 50 miljarder päron. Om du inte förstår vad jag menar nu så nöjer jag mig med ditt tidigare svar.

Vänligen

Fredrik

[Justin Case]

Anta att man vill jämföra mängden w med mängden w+1.

Men w och w+1 betecknar inte olika mängder. De betecknar olika ordinaltal. En och samma oändlig mängd kan välordnas på en massa olika sätt som svarar mot olika ordinaltal, t.ex. w och w+1. Vill du använda ordinaltal som mått på mängders storlek måste du alltså acceptera att en och samma mängd kan ha olika storlek beroende på hur elementen ordnas.

Tack för förklaringen!
Jag försöker förstå vad som menas med välordning. Att säga "det finns w pingisbollar i universum" säger väl inget om hur dessa pingisbollar är ordnade (i förhållande till varandra, eller i förhållande till något annat) i universum, t.ex. huruvida de är utspridda med jämna mellanrum eller oregelbundet, glest eller tätt, etc.? I vilken mening berättar uttrycket "w pingisbollar" något om pingisbollarnas välordning?

Anta att ett universum A innehåller w (det minsta oändliga ordinaltalet) pingisbollar utspridda så att det finns exakt 100 pingisbollar i exakt varje kubikljusår.
Anta att ett universum B innehåller x pingisbollar utspridda så att det finns exakt 50 pingisbollar i exakt varje kubikljusår.
Anta att A och B innehåller exakt lika många kubikljusår var.
Vad är då x, uttryckt som ordinaltal? Är det =w? Eller är det =w/2? Om ingetdera, vad är det då?

[Dura M]

Jag försöker förstå vad som menas med välordning. Att säga "det finns w pingisbollar i universum" säger väl inget om hur dessa pingisbollar är ordnade (i förhållande till varandra, eller i förhållande till något annat) i universum, t.ex. huruvida de är utspridda med jämna mellanrum eller oregelbundet, glest eller tätt, etc.? I vilken mening berättar uttrycket "w pingisbollar" något om pingisbollarnas välordning?

Tillskriver du en mängd ett ordinaltal torde det vara underförstått att mängden är välordnad. I annat fall förstår jag inte vad det är du försöker säga om mängden.

Anta att ett universum A innehåller w (det minsta oändliga ordinaltalet) pingisbollar utspridda så att det finns exakt 100 pingisbollar i exakt varje kubikljusår.
Anta att ett universum B innehåller x pingisbollar utspridda så att det finns exakt 50 pingisbollar i exakt varje kubikljusår.
Anta att A och B innehåller exakt lika många kubikljusår var.
Vad är då x, uttryckt som ordinaltal? Är det =w? Eller är det =w/2? Om ingetdera, vad är det då?

Frågan ter sig alltså bara meningsfull om mängden är ordnad och svaret beror då på hur den är ordnad. (Kan alltså bli w, w+1, 2w, 2w+1, osv, dock aldrig mindre än w eftersom mängden är oändlig.)

[Rorschach]

Jag försöker förstå vad som menas med välordning. Att säga "det finns w pingisbollar i universum" säger väl inget om hur dessa pingisbollar är ordnade (i förhållande till varandra, eller i förhållande till något annat) i universum, t.ex. huruvida de är utspridda med jämna mellanrum eller oregelbundet, glest eller tätt, etc.? I vilken mening berättar uttrycket "w pingisbollar" något om pingisbollarnas välordning?

Tillskriver du en mängd ett ordinaltal torde det vara underförstått att mängden är välordnad. I annat fall förstår jag inte vad det är du försöker säga om mängden.

När man säger att en mängd är välordnad så avser man en mängd tillsammans med en relation vilken välordnar mängden; egentligen räcker det med bara relationen.

[Rorschach]

Varför 0,9999... skiljer sig från 1, de många niornas bedrägeri

De andra grejerna du skrev var orättvisa, men den här är jag helt med på. Matematikerna hävdar ju att det finns reella tal mellan varje decimaltal; därmed måste det ju finnas reella tal mellan decimaltalet 0,9999... och 1, eller hur? Alltså skiljer sig 0,9999... från 1. Inom matematiken räknar man ju ibland med något som heter infinitesimaltal, tal som är mindre än det minsta decimaltalet. Hur skulle infinitesimaltal kunna finnas, om talet 0,000...(oändligt många nollor)...0001 vore lika med 0 (eller inte existerade)?

Ah, men 0,999... och 1 är samma tal och det finns med andra ord inget tal mellan dem.

[lösdrivaren]

Justin skrev

Inom matematiken räknar man ju ibland med något som heter infinitesimaltal, tal som är mindre än det minsta decimaltalet. Hur skulle infinitesimaltal kunna finnas, om talet 0,000...(oändligt många nollor)...0001 vore lika med 0 (eller inte existerade)?

Du blandar ihop saker, infinitesimalkalkylen hör till gränsvärderbestämning, speciellt intregralkalkylen där gränsvärdesbestämning är av betydelse, därav just den infinitesimala enheten som i dagen matematik är dx, som är "död materia", alltså dx är ingeting bara en konvention.
Haha, rätt kul att snurra runt,

[Justin Case]

Ah, men 0,999... och 1 är samma tal och det finns med andra ord inget tal mellan dem.

Jag antar att du skulle säga att det inte är någon skillnad mellan "talet 0,999...(alef0 nior) "och "talet 0,999...(alef1 nior)"? Men att säga det, implicerar inte det att alef1 inte är större än alef0? Om alef1 är större än alef0, måste väl en alef1 nior lång rad nior vara längre än en alef0 nior lång rad nior (även om båda raderna är oändligt långa), så att den längre raden nior utgör ett större tal än den kortare? Hur skulle det annars kunna vara riktigt att säga att alef1 är större än alef0?