Oändligheten och evigheten

[Cosmic philosopher]

Nu till lite kul matematik. Har du svårt för att greppa eller förstå oändligheten eller evigheten?

Tänk dig talet en googol som är en etta följt med 100 nollor. Ett ännu mycket större tal är en googolplex(det största tal med namn) som är en etta följt med en googol nollor efter!!! Och ändå - är detta tal lika långt från oändligheten som talet 1 är det!!!

En vetenskapsman, Carl Sagan som tänkt på detta:

http://www.youtube.com/watch?v=gh4F5BQ8hgw

Frågan är alltså har du svårt för att förstå oändligheten/evigheten? Hisnande? Tänk ett tal med en googolplex nollor efter ettan! Och så fortsätter vi på detta sätt en googolplex gånger - och ändå - skulle detta sistnämnda tal vara lika långt från oändligheten som talet 1!!!Återigen!

[Marksa]

Och allting blev så mycket enklare...........

[freddemalte]

Nu till lite kul matematik. Har du svårt för att greppa eller förstå oändligheten eller evigheten?

Tänk dig talet en googol som är en etta följt med 100 nollor. Ett ännu mycket större tal är en googolplex(det största tal med namn) som är en etta följt med en googol nollor efter!!! Och ändå - är detta tal lika långt från oändligheten som talet 1 är det!!!

En vetenskapsman, Carl Sagan som tänkt på detta:

http://www.youtube.com/watch?v=gh4F5BQ8hgw

Frågan är alltså har du svårt för att förstå oändligheten/evigheten? Hisnande? Tänk ett tal med en googolplex nollor efter ettan! Och så fortsätter vi på detta sätt en googolplex gånger - och ändå - skulle detta sistnämnda tal vara lika långt från oändligheten som talet 1!!!Återigen!

Egentligen är väl oändligheten (objekt och rum, tal etc) samt evigheten (tiden) i sig inte speciellt svårare att föreställa sig än extremt höga tal, dels då det enbart kräver att man tänker sig att det valda fenomenet aldrig tar slut och aldrig börjar eller att det går att subtrahera en viss mängd från det utan att det minskar i värde eller mängd, dels därför att det nästan är svårare att tänka sig det motsatta, dvs att det skulle ta slut - hur i alla friden skulle det se ut? Om den positiva heltalsserien, tiden eller det fysiska universum helt plötsligt skulle ta slut (det är ganska svårt att tänka sig). Men visst förstår jag din frågeställning, självklart är det enklare att tänka sig 5 bilar i ett garage en ett oändligt antal bilar i ett oändligt stort garage, men å andra sidan vet jag inte om det är speciellt mycket lättare att tänka sig 79835.006.088.000.070 bilar i ett garage lika stort som det synliga universum? Så det jag vill ha sagt är att det för min del inte är abstraktionen av oändligheten och evigheten i sig som är problematiskt, utan helt enkelt abstraktionen av enormt stora tal oavsett om de tar slut eller inte. Nä hisnande är de nog inte av den enkla anledningen att det som jag sa är svårt att sätta sig in i oändligheten som sådan, men dock greppbart. För mig är jordnära fenomen mer hisnande, så som t.ex. tanken på att jag just nu sitter på en plats som är ca 100 mil ovanför manteln och över 600 mil in till jordens kärna! Det är på något sätt både skrämmande och hisnande. Jag vet inte om du har sett filmen 2012? Men där finns det snyggt animerade scener när hela Los Angeles bokstavligen faller ner i jordens övre lager (jordskorpan) och dessa bilder visar med all önskvärd tydlighet det jag försker förmedla.

Vänligen

Fredrik

PS. Väldigt intressant och trevlig fråga! DS.

[archaxe]

"Större än" (och "mindre än") är kvantitativa relationer. Skillnaden mellan de naturliga talen och "oändligheten" är inte kvantitativ utan kvalitativ, varför din analogi haltar avsevärt. Det är ett felslut att tänka sig "oändligheten" som "jättejättejättejättemycket". Tusen är inte "närmare" oändligheten än vad 1 eller 2 är, och vi kommer inte närmare en förståelse av "oändligheten" för att vi tänker oss jättestora rum fyllda med jättemycket saker, och sen tänker oss ännu lite mer. Oändlighet förstås inte bättre i termer av otroligt stora tal, som vissa siffror följt av ett väldigt stort antal andra siffror. Summan av en ändlig mängd tal är själv en ändlig mängd, den kan aldrig bli oändlig.

Felet är att över huvud taget tänka sig oändligheter som faktiskt existerande, alltså att modellera dem på något så bekant och vardagligt som bilar i garage, eller naturliga tal. För att parafrasera Doron Zeilberger; "Infinite mathematics is meaningless because it is abstract nonsense".

[Justin Case]

"Större än" (och "mindre än") är kvantitativa relationer. Skillnaden mellan de naturliga talen och "oändligheten" är inte kvantitativ utan kvalitativ, varför din analogi haltar avsevärt. Det är ett felslut att tänka sig "oändligheten" som "jättejättejättejättemycket". Tusen är inte "närmare" oändligheten än vad 1 eller 2 är, och vi kommer inte närmare en förståelse av "oändligheten" för att vi tänker oss jättestora rum fyllda med jättemycket saker, och sen tänker oss ännu lite mer. Oändlighet förstås inte bättre i termer av otroligt stora tal, som vissa siffror följt av ett väldigt stort antal andra siffror. Summan av en ändlig mängd tal är själv en ändlig mängd, den kan aldrig bli oändlig.

Felet är att över huvud taget tänka sig oändligheter som faktiskt existerande, alltså att modellera dem på något så bekant och vardagligt som bilar i garage, eller naturliga tal. För att parafrasera Doron Zeilberger; "Infinite mathematics is meaningless because it is abstract nonsense".

Jag påstår att oändligheten delat med 1 faktiskt är mer än oändligheten delat med en googol. Detta av följande anledning.

Anta att du hade evigt liv, och att du hade att välja mellan dessa (och endast dessa) två sorters evigt liv:
(1) Att vara lycklig en dag var googolte dag, men lida resten av tiden.
(2) Att lida en dag var googolte dag, men vara lycklig resten av tiden.

Skulle du då tycka att du lika gärna kunde välja (1) som (2)?

(Anta att lyckointensiteten per sekund av lycka i (1) = lyckointensiteten per sekund av lycka i (2) = lidandeintensiteten per sekund av lidande i (1) = lidandeintensiteten per sekund av lidande i (2).)

Enligt den matematik som säger att oändligheten förhåller sig till en googol som oändligheten förhåller sig till talet 1, borde det logiskt sett inte spela någon roll vilket av alternativ (1) och (2) du väljer; du får ju oändligt mycket lycka och oändligt mycket lidande om du väljer (1), och likaså om du väljer (2), och det är matematiskt sett fråga om fyra exakt lika stora oändliga mängder. Men nog googollan skulle det väl spela en googollans roll vilket av (1) och (2) man fick? Någon som säger emot? Någon som verkligen lika gärna skulle välja att leva liv (1) som liv (2)?

[Justin Case]

På tal om stora ändliga tal finns den s.k. Busy Beaver-funktionen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver

...som tydligen bevisats växa snabbare än någon beräkningsbar (computable) funktion, d.v.s. att funktionen är icke beräkningsbar (noncomputable). Betyder "noncomputable" underförstått "icke beräkningsbar ens teoretiskt, hur mycket tid man än hade på sig", eller betyder det bara "icke beräkningsbar inom ändlig tid"? Om man menar det förstnämnda, kan någon då förklara för mig hur en funktion som bara producerar ändliga tal kan vara icke beräkningsbar? Jag menar, om man hade en evighet på sig, borde man då inte kunna beräkna vilken funktion som helst som bara producerar ändliga tal? Om inte, känns det för mig som att man påstår att Busy Beaver-funktioner kan överbrygga gapet mellan vilket ändligt tal som helst och oändligheten utan att någonstans på vägen behöva introducera något oändligt eller använda någon sorts evig upprepning eller något sådant. Det tycks mig paradoxalt. Tänker jag fel där? Kan någon peka ut felet i så fall?

Om man å andra sidan, med "noncomputable", bara menar "icke beräkningsbar inom ändlig tid", underförstår man då inte att ingen kan ha evigt liv? I så fall, inte det förhastat? Nå, även om vi aldrig dör, är det även omöjligt att "leva i evighet" om man med "leva i evighet" menar att genomleva en evighet; en evighet tar ju aldrig slut, så man kommer aldrig att lyckas med att tillryggalägga all den där tiden som måste förflyta för att man ska lyckas genomleva en evighet (d.v.s. uppnå en ålder av oändligt många år, d.v.s. ha levt i en evighet). Men kan inte åtminstone antagandet, att det finns minst ett ändligt värde för x som gör påståendet "ingen människa kan leva i BB(x) år" sant, vara förhastat? (BB = Busy Beaver Number; se: http://www.scottaaronson.com/writings/bignumbers.html)

[Dura M]

Om man menar det förstnämnda, kan någon då förklara för mig hur en funktion som bara producerar ändliga tal kan vara icke beräkningsbar?

Hänger ihop med stopproblemet. Busy Beaver definieras i termer av Turingmaskiner som stannar - enkelt uttryckt den maskin av en viss klass som går längst innan den stannar. Det finns inget generellt sätt att avgöra huruvida en Turingmaskin stannar eller ej och därmed inget generellt sätt att avöra om en Turingmaskin är en Busy Beaver eller om den helt enkelt rullar på för evigt.

[freddemalte]

"Större än" (och "mindre än") är kvantitativa relationer. Skillnaden mellan de naturliga talen och "oändligheten" är inte kvantitativ utan kvalitativ, varför din analogi haltar avsevärt. Det är ett felslut att tänka sig "oändligheten" som "jättejättejättejättemycket". Tusen är inte "närmare" oändligheten än vad 1 eller 2 är, och vi kommer inte närmare en förståelse av "oändligheten" för att vi tänker oss jättestora rum fyllda med jättemycket saker, och sen tänker oss ännu lite mer. Oändlighet förstås inte bättre i termer av otroligt stora tal, som vissa siffror följt av ett väldigt stort antal andra siffror. Summan av en ändlig mängd tal är själv en ändlig mängd, den kan aldrig bli oändlig.

Felet är att över huvud taget tänka sig oändligheter som faktiskt existerande, alltså att modellera dem på något så bekant och vardagligt som bilar i garage, eller naturliga tal. För att parafrasera Doron Zeilberger; "Infinite mathematics is meaningless because it is abstract nonsense".

Jag påstår att oändligheten delat med 1 faktiskt är mer än oändligheten delat med en googol. Detta av följande anledning.

Anta att du hade evigt liv, och att du hade att välja mellan dessa (och endast dessa) två sorters evigt liv:
(1) Att vara lycklig en dag var googolte dag, men lida resten av tiden.
(2) Att lida en dag var googolte dag, men vara lycklig resten av tiden.

Skulle du då tycka att du lika gärna kunde välja (1) som (2)?

(Anta att lyckointensiteten per sekund av lycka i (1) = lyckointensiteten per sekund av lycka i (2) = lidandeintensiteten per sekund av lidande i (1) = lidandeintensiteten per sekund av lidande i (2).)

Enligt den matematik som säger att oändligheten förhåller sig till en googol som oändligheten förhåller sig till talet 1, borde det logiskt sett inte spela någon roll vilket av alternativ (1) och (2) du väljer; du får ju oändligt mycket lycka och oändligt mycket lidande om du väljer (1), och likaså om du väljer (2), och det är matematiskt sett fråga om fyra exakt lika stora oändliga mängder. Men nog googollan skulle det väl spela en googollans roll vilket av (1) och (2) man fick? Någon som säger emot? Någon som verkligen lika gärna skulle välja att leva liv (1) som liv (2)?

Hej igen Justin!
Jag kan tänka mig att du misstar dig i ditt tankeexperiment på så sätt att du faktiskt inte tänker på att det är ett oändligt liv utan start och utan stopp. Ty när det är utan start och utan stopp så blir "var googolte dag-dagrana" i summation en onädligt lång tid såväl som "dagarna mellan var googolte-dagarna-dagarna" i summation och tillsammans också en oändlighet. Så slutsatsen blir att en googol förhåller sig till oändligheten på samma sätt som 1.

Så denna rad av f "ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff" upprepat i oändlighet blir detsamma (lika lång, dvs oändligt lång) som denna rad av f "ff" upprepad i oändlighet oavsett om de står var för sig eller kommer efter varandra (alternerade) i en evig loop. Så om universum är oändligt stort (då avser jag inte en svär där man kommer tillbaks till sig själv) så att det de facto aldrig tar slut, ja då är Vintergatan och en elemntarpartikel exakt lika stora i relation till universum (förutsatt att elementarpartikeln har en utsträckning i rummet och inte bara är en endimensionell energipunkt av potentiellt vara eller något sådant lurigt), dock inte lika stora i relation till varandra (vilket inte torde vara speciellt svårt att konstatera).

Så mitt svar på din fråga är att jag inte skulle bry mig om huruvida jag valde 1 eller 2.

Vänligen

Fredrik

[Justin Case]

Till freddemalte och andra som läser detta:
Nu har jag skrivit ned en massa argument och stödargument för min tes, och det blev en himla massa text. Då jag inte vet vad av det jag skrivit som är mest hållbart och övertygande, postar jag alltsammans. Men låt dig inte avskräckas. Det är upp till dig om du vill läsa igenom hela det här inlägget eller bara delar av det. Du behöver inte vänta med att kommentera/svara/fråga/invända tills du läst hela inlägget; det är bara att posta efter hur lite eller hur mycket läsning du vill. Du kan ju alltid läsa mer och svara mer vid något senare tillfälle.

Beredd? Här kommer det:

Så denna rad av f "ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff" upprepat i oändlighet blir detsamma (lika lång, dvs oändligt lång) som denna rad av f "ff" upprepad i oändlighet oavsett om de står var för sig eller kommer efter varandra (alternerade) i en evig loop.

Om vi tänker oss en ändligt lång loop A för upprepning av strängen "ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff" och en lika lång loop B för upprepning av strängen "ff", så att ett varv i loop A kräver lika många "f" som ett varv i loop B gör, kommer det, varv efter varv från och med att loop A gjort ett helt varv, oupphörligen fortsätta vara så att loop A gjort fler varv än loop B. Då kanske du säger: det gäller bara tills looparna hållit på oändligt många varv. Men looparna kommer aldrig under något varv fram till någon sådan tidpunkt att det blir sant att de hållit på oändligt många varv. Därför kommer loop A alltid att ligga före loop B i antal gjorda varv. Om ett varv definieras som oändligt långt, gäller att inte ens det första varvet i någon av looparna blir färdiggjort av någon "f-sträng". Om man istället upprepar strängen "ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff" på en enda rad, och strängen "ff" på en parallell rad, kommer ingen av raderna någonsin att bli oändligt lång. I samtliga fall "leder" upprepningarna av strängen "ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff" så fort "tävlingen" börjat, och upphör aldrig att leda.

Man kan visserligen säga att en oändligt lång rad av "f-strängar" redan skulle kunna existera som en "färdig sak", men det betyder inte att de kan börja existera som en "färdig sak", så det betyder inte att det är rationellt att, om man är nästan precis i början av sitt liv, anta att ett oändligt långt liv någonsin skulle börja existera som en "färdig sak" bara för att livet aldrig tar slut. Om man är född på 1900-talet, och om man år 2010 vet att man visserligen aldrig kommer att dö, men att man heller aldrig kommer att hamna i en situation av typen X, definierad som "en situation i vilken det är sant att man levt i minst alef-noll år", kan jag inte se hur någon tänkt (aldrig ankommande) situation av typen X kan vara relevant för huruvida man år 2010 bör välja en framtid vars lyckliga dagar inträffar kolossalt glest eller en framtid vars olyckliga dagar inträffar kolossalt glest. Du kanske invänder: "men om ingen situation av typen X någonsin inträffar, måste det väl vara för att ens liv tar slut innan någon situation av typen X hinner inträffa?". Nej, för ingen situation av typen X inträffar inom en ändligt lång tid efter år 2010, så man kommer att från och med år 2010 leva på i år efter år utan att någonsin vare sig ankomma till sitt sista levnadsår eller till situation X.

Jag kan tänka mig att du misstar dig i ditt tankeexperiment på så sätt att du faktiskt inte tänker på att det är ett oändligt liv utan start och utan stopp.

Du utgår från att jag med ett "evigt liv" menade ett liv utan start och utan stopp. Det menade jag inte. Jag menade ett liv med start men utan stopp. (Kan inte ett sådant liv kallas "evigt"?) Min fråga "vilket av (1) och (2) väljer du?" är tänkt att besvaras någon gång i början av ett evigt liv, till exempel nu år 2010, alltså vid en tidpunkt då du ännu inte hunnit existera i en evighet (jag är rätt säker på att du är född någon gång på 1900-talet ). (Obs ingen pik avsedd!)

Förresten borde jag nog ha utformat (1) och (2) lite annorlunda också. Ersätt min ursprungliga fråga med den här:




Anta att du började existera någon gång på 1900-talet, att det nu är år 2010, att ditt liv aldrig kommer att ta slut, och att du just nu har att välja mellan dessa (och endast dessa) två sorters evigt liv:
(1) Att lida idag och imorgon, och därefter vara lycklig en dag var googolte dag, och lida resten av tiden.
(2) Att vara lycklig idag och imorgon, och därefter lida en dag var googolte dag, och vara lycklig resten av tiden.
Skulle du då tycka att du lika gärna kunde välja (1) som (2)?




För att det ska kunna vara så att (1) vore lika bra för dig som (2) skulle det behöva vara så att du någon gång i framtiden kommer att upphöra att vara ett ändligt antal år gammal och bli ett oändligt antal år gammal. En sådan händelse är både praktiskt och teoretiskt omöjlig. Ditt liv utan slut framskrider genom att ändliga tidsrymder avlöser varandra, och kommer så att göra utan ände. Aldrig i ett liv utan slut kommer det att bli så att någon oändlig tidsrymd slutförs.

Att trots detta hävda att någon oändlig tidsrymd skulle kunna förflyta, i sin helhet, i din framtid, och att, när det sker, det skulle ge att alternativ (1) innebär lika mycket lycka och lika lite lidande som alternativ (2), tycks mig lika orimligt som påståendet: "om en odödlig sköldpadda och en odödlig Akilles startar jämsides, och båda rör sig rakt framåt i samma riktning, i en helt rak, oändligt lång och 2 meter bred tunnel, och sköldpaddan från start oupphörligt alltid kravlar exakt 1 meter i timmen i evighet och Akilles från start oupphörligt alltid springer exakt 7 meter i sekunden i evighet, så kommer sköldpaddan och Akilles att vara jämsides någon gång ett oändligt T antal år senare". Det påståendet är falskt oavsett vilken kardinalitet eller ordinalitet det oändliga talet T har. På samma sätt blir alternativ (1) aldrig efter år 2011 lika bra som alternativ (2) hur stor kardinalitet eller ordinalitet av oändlighet av tid som än förflyter med början år 2010.

Om du invänder (något i stil med) att den likhet mellan tankeexperimentet med en odödlig Akilles och en odödlig sköldpadda, som man ska ta fasta på för att inse hur man ska tänka i mitt lycko-och-lidande-tankeexperiment, inte är Akilles ständiga och ständigt ökande ledning, utan det faktum att sköldpaddan kommer att ha tillryggalagt en lika lång sträcka som Akilles efter att en oändligt lång tid förflutit, med hänvisning till att t.ex. alef-noll kan multipliceras med ett hur stort ändligt tal som helst utan att produkten blir någon större kardinalitet än alef-noll, svarar jag: med tanke på att de oändliga tidsrymder vi pratar om har en början, och med tanke på att vi naturligt alltid fattar våra beslut utifrån en syn på livet som en succession av ändligt långa tidsrymder, varför tänka på en oändligt lång framtid som ett kardinaltal, varför inte tänka på den som ordinaltal? För ordinaltalens motsvarighet till alef-noll, w (eller omega), gäller t.ex. att w+1>w. Sträckan w+1 meter är en längre sträcka än w meter. På samma sätt är w * 10^100 hedoner (eller w+w+w+w+w+w+...(upprepa "+w" 10^100 gånger) hedoner) mer än w hedoner. Därmed är alternativ (2) bättre än (1), om man räknar hedoner i termer av ordinaltal.

Vad säger att det är mer rätt att räkna hedoner i termer av kardinaltal än att räkna dem i termer av ordinaltal? Mig tycks det sistnämnda rimligast, med tanke på att man lever ett år i taget, eller en minut i taget, eller hur man nu vill mäta tiden. Det känns mindre rimligt att tänka sig att man lever t.ex. alef-noll år på en gång, eller någon ännu större oändlig tidsrymd på en gång - detta alltså även om ens liv aldrig kommer att ta slut. Tycker du inte?



Att välja (1) gör att exakt varje år av ens framtid kommer att vara ett kolossalt dåligt år.
Att välja (2) gör att exakt varje år av ens framtid kommer att vara ett kolossalt bra år.

Hur skulle det kunna vara sant att ett liv bestående av uteslutande kolossalt dåliga år skulle kunna vara ett lika bra liv som ett liv bestående av uteslutande kolossalt bra år? Jag kan inte tänka mig hur så skulle kunna vara fallet.

Visst kan jag tänka mig andra sammanhang där ett antal i sig enbart dåliga saker kan bilda en bra helhet. Exempelvis kan det tänkas att ett radikalt vänsterparti och ett radikalt högerparti, som var för sig skulle ställa till med mestadels elände om det fick regera ensamt, tillsammans kan tvingas bilda en regering som genom motvilligt kompromissande kommer att föra en mestadels bra mittenpolitik. Det går att tänka sig många andra exempel på samma typ av fenomen. Men år kan inte samarbeta med varandra, de äger rum separat, ett efter ett.***

Visst kan man, som du (freddemalte) föreslår, tänka sig de lyckliga dagarna som en kategori för sig och lidandedagarna som en kategori för sig, och konstatera att dessa två (tänkta, i tanken "syntetiserade") kategorier var och en innehåller oändligt många dagar. Men jag anser att dessa två oändliga mängder inte ska betraktas som lika stora bara för att de båda är oändliga. Detta eftersom, givet premisserna i mitt tankeexperiment, innehållen i dessa två oändliga mängder äger rum utportionerat i ändliga lyckoperioder och ändliga lidandeperioder i en sådan ordningsföljd i tiden, och i sådana tidsmässiga relationer till "starttidpunkten" för alltsammans, att det inte är rimligt att behandla de två oändliga mängderna som ekvivalenta. Om både alternativ 1 och alternativ 2 skulle inledas med sina respektive oändligt många lidandedagar i ett svep, innan några lyckodagar började komma, skulle jag hålla med om att det vore egalt vilket liv man valde. Detta eftersom man då aldrig kommer att tillryggalägga den inledande oändligt långa tidsrymden av lidande i något av fallen, eftersom den aldrig tar slut någon gång. (Detta alltså trots att dessa två oändliga lidandemängder vore olika stora enligt mitt sätt att se på oändliga mängder.) Om den inledande perioden däremot vore en oändligt många tidsrymder lång period av lidande som skulle komma att ta slut någon gång, skulle längden på denna lidandeperiod och längden på den därpå följande lyckoperioden bli avgörande för vilket alternativ man bör välja.

Hur kan då en oändligt många tidsrymder lång period av lidande ta slut någon gång? Det kan den om de tidsrymdernas storlekar står i omvänd proportion till deras antal. (Och man kan väl inte helt utesluta att Plancktiden bara är "vår tids atom" (d.v.s. delbar fastän man trott den vara odelbar) och att det finns hur små tidsenheter som helst?)



Låt oss definiera "NOLF" som "en av de delar av 1 man får om man delar 1 i alef-noll lika stora delar", med andra ord "10^-(alef-noll)".
NOLF förhåller sig alltså till 1 som 1 förhåller sig till Alef-noll.
På samma sätt som 1 år är mindre än 10^100 år, trots att de NOLF år som förflyter under 1 år inte är färre än de NOLF år som förflyter under 10^100 år, rymmer alef-noll år ett mindre antal alef-noll-års-perioder (nämligen en enda) än vad alef-noll*10^100 år rymmer, trots att antalet år som förflyter under alef-noll år inte är mindre än antalet år som förflyter under alef-noll*(10^100) år.

Om de första alef-noll åren i mitt liv utgörs av idel lidande, spelar det ingen roll att det därefter (teoretiskt) kontrafaktiskt "kommer" alef-noll*(10^100) år av lycka - jag får ändå oundvikligen ett oupphörligen olyckligt liv. Men om sammanlagt alef-noll år av lidande äger rum uppblandat med sammanlagt alef-noll*(10^100) år av lycka, enligt modellen "ett år lidande, 10^100 lycka, ett år lidande, 10^100 lycka, etc." från första början och utan ände, finns inte det ordningsföljdsrelaterade problem som uttrycks i föregående mening, och därmed gäller att när (vilket dock inte är möjligt, men låt oss anta att det vore möjligt) sammanlagt en alef-noll-års-period av lidande ägt rum, har sammanlagt 10^100 alef-noll-års-perioder av lycka ägt rum, och eftersom 10^100 alef-noll-års-perioder är fler än 1 alef-noll-års-period har jag då upplevt 10^100 gånger mer lycka än lidande, på samma sätt som 10^100 år är 10^100 gånger mer än 1 år.

Jag ser så att säga varje alef-noll-års-period som en enda "sak", så att den är färre än 10^100 likadana "saker", liksom man ser 1 år som en enda "sak" när man säger att den "saken" är färre än 10^100 likadana "saker". Jag tänker att 1 en "sak som utgörs av alef-noll gånger NOLF" på samma sätt som alef-noll är en "sak som utgörs av alef-noll gånger 1". Detta med tanke på att som sagt NOLF förhåller sig till 1 som 1 förhåller sig till alef-noll och med tanke på att därmed alef-noll förhåller sig till 1 som 1 förhåller sig till NOLF.



Ett års lycka är mer lycka än vad en sekunds lidande är lidande. Detta trots att ett år utgörs av lika få NOLF som en sekund utgörs av. Lika få NOLF utgörs perioden 2010-2012 av, och perioden 2010-2013, och perioden 2010-2014, och så vidare, utan ände. Därmed gäller det rimligen för hur långa tidsperioder som helst som en odödlig person kan komma upp i. Kan det tyckas. Men om livet börjar med en period av lidande (eller mestadels lidande) som är så lång att den aldrig tar slut, har man ingen nytta av att den (i teorin) åtföljs av en ännu längre period av lycka, för man kommer aldrig till den sistnämnda. Men om t.ex. en dags lidande följs av en googol dagar av lycka, är det inledande lidandet mer än väl värt att uthärda, eftersom det går över någon gång. Detsamma gäller nästa gång samma sak upprepas i samma proportioner en googol år senare. Och nästa gång. Och nästa gång. Hur länge som helst.






Betänk att
(1) är en framtid i vars varje ögonblick en odödlig "medresenär" till dig skulle kunna sanningsenligt säga om dig: "hittills i hans liv har han upplevt sammanlagt mer lidande än lycka"
(2) är en framtid i vars varje ögonblick en odödlig "medresenär" till dig skulle kunna sanningsenligt säga om dig: "hittills i hans liv har han upplevt sammanlagt mer lycka än lidande"
Hur kan 1 och 2 vara lika bra framtider?

Det enda ["sättet att som metod för att svara på min fråga mentalt dela in ett oändligt långt liv i perioder"], som inte ger orimliga implikationer beträffande hur stort överskott av lycka över lidande livet i fråga innehåller som helhet, tycks mig vara att gå tillväga ungefär så här:

Låt mig förresten göra om frågan till en "vilket liv bör du välja"-fråga:

Anta att du började existera någon gång på 1900-talet, att det nu är år 2010, att ditt liv aldrig kommer att ta slut, och att du just nu har att välja mellan dessa (och endast dessa) två sorters evigt liv:
Liv 1: Att lida idag och imorgon, och därefter vara lycklig en dag var googolte dag, och lida resten av tiden.
Liv 2: Att vara lycklig idag och imorgon, och därefter lida en dag var googolte dag, och vara lycklig resten av tiden.
Vilket liv bör du välja: liv 1 eller liv 2?

Definitioner:

P = tidsenheten Plancktid, den minsta tidsenhet tiden kan delas in i (vad man visste i augusti 2010) http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_time

lycka = samlingsterm för varje intrinsikalt önskvärd upplevelse från minsta förnimbara välbehag till starkast möliga lycka; lyckointensiteten anges i enheten LY.

LY = lyckoenhet; kan ses som lyckans motsvarighet till Plancklängden; 1 LY är den minsta möjliga förnimbara lyckomängden.

lidande = samlingsterm för varje intrinsikalt oönskvärd upplevelse från minsta förnimbara obehag till starkast möjliga lidande; lidandeintensiteten anges i enheten LI.

LI = lidandeenhet; 1 LI är den mängd lidande som nätt och jämnt neutraliserar värdet av 1 LY, så att "1LY-1LI=0".

t = en förväntad (inte bara tänkbar) del av (i betydelsen "tidsrymd i") liv 1 eller liv 2 som är minst så långvarig att den teoretiskt skulle ha kunnat innehålla (och som kanske eller kanske inte innehåller) minst 1 LY och/eller minst 1 LI.

a1 = en teoretiskt i tanken konstruerbar [samling ändligt många (dock minst 1) (vardera) ändligt lång(a) (dock minst 3 gånger längre än t) tidsrymd(er)] vars [differens mellan [sin sammanlagda summa lycka uttryckt i LY] och [sin sammanlagda summa lidande uttryckt i LI]] är sådan att t:na som utgör liv 1 skulle kunna teoretiskt i tanken omorganiseras till ett aa1** antal a1 som samtliga till sin längd, sammanlagd lyckomängd och sammanlagd lidandemängd är identiska eller nästintill identiska* med varandra +/- [T antal t:n "som rest"], så att T är så litet som möjligt. Om ingen a1 är teoretiskt möjlig att i tanken konstruera givet denna definition, definieras a1 på det sätt som gör a1 så likt det ovan föreslagna a1 som möjligt.

*) "nästintill identiska" = identiska med en felmarginal på 1 P och/eller 1 LY och/eller 1 LI.
**) aa1 kan vara ett oändligt tal och ska i så fall uttryckas som ett ordinaltal; detsamma gäller i förekommande fall aa2 (se nedan).

aly1 = den sammanlagda lyckomängden i a1, uttryckt i LY.

ali1 = den sammanlagda lidandemängden i a1, uttryckt i LI.

a2 = som a1:s definition ovan, men byt ut "a1" mot "a2", och byt ut "liv 1" mot "liv 2". Viktigt: om du även byter ut "aa1" mot "aa2", se till att aa2=aa1.

aly2 = den sammanlagda lyckomängden i a2, uttryckt i LY.

ali2 = den sammanlagda lidandemängden i a2, uttryckt i LI.




För att komma fram till vilket du ska välja av liv 1 och liv 2, gör så här:

Om aly1-ali1 > aly2-ali2, välj liv 1.
Om aly1-ali1 < aly2-ali2, välj liv 2.
Om aly1-ali1 = aly2-ali2, välj liv på måfå.





***) Det tycks mig finnas en likhet mellan detta och Fångarnas Dilemma. Att föreställa sig att något eller några år skulle kunna förändra värdet av något eller några andra år, trots att varje enskilt år oundvikligen är och förblir sådant som det från början definierats (och på inget annat sätt) oavsett hurdana de övriga åren är, känns som att föreställa sig att den ena fången i Fångarnas Dilemma skulle kunna med sitt val påverka hur den andra fången kommer att välja. Kan man alltså säga att om liv 2 är lika bra som liv 1 så innebär det att det är bättre att samarbeta än att inte samarbeta i ett Fångarnas Dilemma som bara spelas en gång? Och även omvänt?



P.S. Givet att jag att bör välja liv 2 hellre än liv 1 om varje lycklig dag av min framtid är lika mycket värd som varje annan lika lycklig dag av min framtid, måste det väl även vara så att jag bör välja liv 2 hellre än liv 1 även om det (mot förmodan) är så att värdet av framtida lycka (och i så fall rimligtvis även värdet av framtida lidande) avtar med avståndet från nuet, så att jag exempelvis bör bry mig mer om hur jag kommer att må under den närmaste årgoogolen än hur jag kommer att må under den därpå följande årgoogolen, och mer om hur jag kommer att må under den årgoogolen än hur jag kommer att må under den därpå följande årgoogolen, och så vidare utan ände, så att relevansen av hur jag mår går mot noll i takt med att min ålder går mot oändligheten?

[freddemalte]

Hej Justin! Alltid lika underhållande och stimulerande att läsa dina fantastiskt intressanta inlägg!

Till freddemalte och andra som läser detta[...]

Ditt bevis är solklart och hur enkelt som helst att ta till sig och handlar (precis som du själv skriver) om en situation där den så kallade oändligheten har en början men inte ett slut(*). I ett sådant scenario har jag inga invändningar mot någon av dina tankegångar i sak (vad gäller evighetsproblematiken som sådan). Men jag står fast vid (och där verkar det ju som att du håller med mig) att om oändlighet (eller evighet) definieras som något vilket varken har en början eller ett slut ja då är "ff" och "ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff" lika långa när de upprepas i en oändlighet och därmed lika stora i relation till oändligheten. Samma förhållande kan väl egentligen få gälla gentemot noll ("0"). Om man upprepar "ff" noll gånger och "ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff" noll gånger så är de också lika långa? Så utifrån en abstraktion kring detta kan man väl säga att oändligheten och noll förhåller sig på samma sätt till alla värden givet att vi avser just kollapsen av relativitetsbegreppet? Däremot kan vi i övrigt inte se några likheter då ett evigt lidande inte kan anses vara detsamma som noll lidande etc. Men om jag får välja mellan att lida i 1 dag var googolte dag x 0 (där resten är njutning) eller njuta i 1 dag var googolte dag x 0 (där resten är lidande), ja så spelar ju det ingen roll, precis som med fallet gällande oändligheten.

(*)Du frågar mig om ett liv med en given början (start) men utan slut (stopp) kan anses vara oändligt (evigt)?

Ja! Det har en oändlig fortsättning, men är inte oändligt i sig då det en gång har börjat! Det går ju självklart att kalla det för oändligt eller evigt (rent språkligt) där fokus ligger på semantiken och att vi antar att det går att referera till även det fenomenet när man säger att något är oändligt. Frågan är dock (ontologiskt) om det är samma sak? Jag skulle nog se två olika språkbruk här (ord). Begränsad oändlighet och evig oändlighet, där den begränsade oändligheten har en början men inget slut alternativt ingen början men ett slut och där den eviga oändligheten varken har början eller slut. Men om vi ska göra detta så enkelt som möjligt så anser jag nog för egen del att en genuin oändlighet kräver just frånvaron av begränsning, vilket då för mig innebär att det varken har början eller slut utan (om det gäller tid) alltid har funnits och alltid kommer att finnas samt (om det gäller rummet) inte har någon startpunkt och inte har någon slutpunkt.

Då kanske någon invänder: Men i tidsaspekten har vi ju det vi kallar nu och i rumsaspekten har vi ju det vi kallat här. Utgör inte dessa två fenomen en begränsning alternativt en utgångspunkt i oändligheten som i sådant fall underminerar teorin om att oändligheten skulle kunna vara fri från begränsningar?

Nix, så länge dessa punkter omges av en oändlighet (då och sedan) respektive (hit och dit) så uppstår inte den problematiken.

Vänligen

Fredrik

[Rorschach]

"Större än" (och "mindre än") är kvantitativa relationer. Skillnaden mellan de naturliga talen och "oändligheten" är inte kvantitativ utan kvalitativ, varför din analogi haltar avsevärt. Det är ett felslut att tänka sig "oändligheten" som "jättejättejättejättemycket". Tusen är inte "närmare" oändligheten än vad 1 eller 2 är, och vi kommer inte närmare en förståelse av "oändligheten" för att vi tänker oss jättestora rum fyllda med jättemycket saker, och sen tänker oss ännu lite mer. Oändlighet förstås inte bättre i termer av otroligt stora tal, som vissa siffror följt av ett väldigt stort antal andra siffror. Summan av en ändlig mängd tal är själv en ändlig mängd, den kan aldrig bli oändlig.

Givetvis är 1 och 2 närmare oändligheten än vad 1000 är om vi ger påståendet en rimlig innebörd, exempelvis att för två naturliga tal x, y så är x närmare oändligheten än y om y är mindre än x.

Felet är att över huvud taget tänka sig oändligheter som faktiskt existerande, alltså att modellera dem på något så bekant och vardagligt som bilar i garage, eller naturliga tal. För att parafrasera Doron Zeilberger; "Infinite mathematics is meaningless because it is abstract nonsense".

Det finns dock en massa sådan matematik med en mängd intressanta tillämpningar. Vidare så verkar du vara av åsikten att naturliga tal är "faktiskt existerande" samt att "oändligheter" inte är det. Vad avser du med "faktiskt existerande" samt "oändligheter"?

[freddemalte]

Givetvis är 1 och 2 närmare oändligheten än vad 1000 är om vi ger påståendet en rimlig innebörd, exempelvis att för två naturliga tal x, y så är x närmare oändligheten än y om y är mindre än x.

Det är möjligt att man inom matematiken har ett oändlighetsbegrepp som tillåter en sådan tolkning. Men om något ska vara oändligt (dvs inte ha någon början eller slut), ja då kan väll knappast något tal eller någon företeelse över huvud taget anses ha en specifik dignitet mot något annat "relativt" oändligheten. Men om vi tänker oss den positiva haltalsserien, ja då har ju den de facto en startpunkt, 1 och därmed kan den ju inte vara oändlig i en vidare bemärkelse eftersom 1 då utgör en ändlighet, men om vi tar med den negativa talen och tänker oss att de är fortsättningen på talserien efter 1, på andra sidan 0 (noll) ja då har vi ju åter en tämligen användbar beskrivning av oändligheten även i detta sammanhang. Så låt oss då ställa frågan: är 1 jämfört med en oändlig talserie (åt båda hållen), mindre än 1000 jämfört med denna oändliga talserie?

Vänligen

Fredrik

PS. Som den matematikkunnige säkert redan har listat ut så har jag inga kunskaper i matematik, så jag reserverar mig självklart mot felanvändning av de matematiska begreppen som sådana. Rätta mig gärna om jag skriver fel, det ser jag som en mycket positiv sak som gör att jag lär mig mer om detta. DS

[archaxe]

Givetvis är 1 och 2 närmare oändligheten än vad 1000 är om vi ger påståendet en rimlig innebörd, exempelvis att för två naturliga tal x, y så är x närmare oändligheten än y om y är mindre än x.

Detta förstår jag som en tallinje, där y ligger till vänster om (och således är mindre än) x (alltså, y<x). "Oändligheten" torde då, ex hypothesi ligga  till höger, inte sant (y<x<∞)? Jämförelsen "mindre än" och "större än" är en binär operation tillämpbar på tal (du kan t ex säga att ett tal är större än ett annat). "Oändligheten" är dock inte ett "tal" i samma bemärkelse som t ex de naturliga talen utan tillhör liksom en annan typ av mängd - 1 kan förstås som "mängden av alla singlar"; 2 som "mängden av alla par"; 3 som "mängden av alla tripletter", etc. Oändligheten kan då t ex förstås som "mängden av alla naturliga tal", men "större än"-operatorn kan inte flankas å ena sidan av medlemmen ur en mängd (t ex "2") på ena sidan, och mängden själv ("oändligheten") på andra sidan.

Det finns dock en massa sådan matematik med en mängd intressanta tillämpningar.

Vilka är dessa "intressanta tillämpningar", och "intressanta" i vilken mån? "Intressanta" som rent recreational mathematics, typ som övningar i att härleda teorem likt man kan spela schack för skojs skull, eller "intressanta" i bemärkelsen att de har praktiska tillämpningar?

Vidare så verkar du vara av åsikten att naturliga tal är "faktiskt existerande" samt att "oändligheter" inte är det. Vad avser du med "faktiskt existerande" samt "oändligheter"?

Matematik består i att härleda teorem ur ett gäng axiom, oberoende av dessa axioms rimlighet eller sanning. Vad som är av intresse är logisk nödvändighet och matematiken är en rent formell vetenskap utan innehåll (eller, som Russel sade, "Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true"). Du kan skapa en massa formella system som alla är konsistenta, men konsistens är ett lågt ställt krav på att något skall vara intressant. Euklidisk geometri är en god modell av vår vanliga uppfattning om rummet, medan icke-euklidisk geometri inte är det (även om den visat sig vara en god modell för rummet enligt Einsteins teori). Så, for the sake of argument; med "faktiskt existerande" menar jag "utgör en god modell av något område i verkligheten". Alla konsistenta formella system är inte det.

[Dura M]

men "större än"-operatorn kan inte flankas å ena sidan av medlemmen ur en mängd (t ex "2") på ena sidan, och mängden själv ("oändligheten") på andra sidan.

Varför skulle den inte kunna det menar du?

I själva verket är ett vanligt sätt att definiera de naturliga talen att utgå från 0 = {} (den tomma mängden) och sedan 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, osv. Enligt ditt sätt att se det borde man alltså inte kunna jämföra några av dessa tal med varandra, t.ex. 1 > 0, eftersom man då jämför ett element ur en mängd, 0, med mängden själv, {0}.

Men det kan man förstås. I själva verket definieras "större än"-operatorn här just i termer av att "M > N omm N är ett element i M". Denna definition av "större än"-operatorn fungerar även då vi sätter Alef0 = "mängden av alla naturliga tal" och vi får trivialt att Alef0 > N för varje naturligt tal N.

[archaxe]

Haha, tji fick jag för att inte ha ordentligt på fötterna. Du har givetvis rätt, Dura M. Det blir tydligt när jag betraktar att det är mängder som är större eller mindre än varandra. Tack för klargörandet och den snabba rättelsen av den desinformation jag sprider. Jag pratar uppenbarligen i nattmössan, men ska försöka förklara hur jag resonerar (om än felaktigt):
Jag tänkte mig att jämförelser av tal är ekvivalent med jämförelser av relativa avstånd mellan punkter på tallinjen, vilket förutsätter att de två saker man jämför faktiskt är punkter på tallinjen. Och alef-0 är väl åtminstone ingen punkt på tallinjen i samma bemärkelse som t ex de naturliga talen är det, vilket väl är en förutsättning för att man ska kunna säga att ett tal ligger närmare alef-0 än ett annat tal gör?