"i" och "-", vad är det?

[klorofyll]

Bara lite enkla funderingar om något som tydligen är djupt,

Man uppfann väl det imaginära talet så här:
X^2 = -1 saknade lösning, men man ville ha en lösning så man bestämde at i^2 = -1.
Det är lite märkligt, förmodlingen blev detta användbart på flera sätt, men jag tycker att man borde kunna förstå vad "i" är bättre, för jag tror ingen förstår sig på det.
Och när man multiplicerar -1 x -1 så blir ju det 1 för att två minustecken möts, det finns väl en regel för det, men varför är det så?

[Jörgen]

Det följande kanske är den logiska förklaringen...

Om ett positivt värde multipliceras med ett annat positivt värde
så får man ju ett positivt värde.

Enda sättet att nå fram ett negativt värde utifrån det positiva startvärdet
är att multplicera det med ett negativt värde.

Annars skulle vi inte kunna ha negativa värden - det skulle vara imaginära.

Och eftersom negativa värden inte är imaginära så behövs det en metod att nå fram till de positiva värden - ty annars skulle positiva värdena vara imaginära.

Ett jämt antal negativa tal multiplicerade ger således ett positivt värde.

2 minus upphäver varandra, det blir ett "icke-icke" av det som är likvärdig med "ja".

2 plus godkänner varandra, det blir "japp!"

plus och minus, åsså minus och plus innebär "ja till nej" och "nej till ja", allså ett "nej"

[klorofyll]

Tack för svaret! Det var bra. Har du någon förklaring på hur det förhåller sig med talet i då?
För tag sedan tänkte jag på hur många mattelärare jag hade under min skoltid och när jag jämförde det med hur lång skoltiden kändes så kom jag fram till att de var få, sedan ställde jag mig frågan hur många av dem som var bra mattelärare, och jag kom fram till att det också var få!

[Vertumnus]

Minustecknet kan ses som en operator på vektorer sådan att den åstadkommer en vridning med 180 grader, dvs varje gång du multipliserar med minus ett följer en 180 graders fasförskjutning. Antag nu att du vill åstadkomma godtyckliga fasförskjutningar dvs lämna linjen och bege dig ut i planet. i fungerar då på motsvarande sätt som minustecknet bara med den skillnaden att fasförskjutningen här begränsas till 90 grader.

[Vertumnus]

Minustecknet kan ses som en operator på vektorer sådan att den åstadkommer en vridning med 180 grader, dvs varje gång du multipliserar med minus ett följer en 180 graders fasförskjutning. Antag nu att du vill åstadkomma godtyckliga fasförskjutningar dvs lämna linjen och bege dig ut i planet. i fungerar då på motsvarande sätt som minustecknet bara med den skillnaden att fasförskjutningen här begränsas till 90 grader.

Man har helt enkelt skrivit dit ett tecken som innebär vridning med nittio grader, ett tecken som man valt att kalla i. Därefter har man dragit konsekvenserna. Räknesättet är multiplikation, varje gång man multiplicerar med i erhålls en vridning på nittio grader. Multiplicerar man två gånger dvs med i-kvadrat visar det sig att man får exakt samma resultat som om du hade multiplicerat med minus ett, dvs en vridning på 180 grader. Och se där, i-kvadrat är alltså lika med minus ett. Varav omedelbart följer att roten ur minus ett är lika med i.

[SigurdV]

Trevliga tankar! Har någon halverat igen och sett efter om 45 graders rotationer (och alla tänkbara andra) är användbara till något?

[Vertumnus]

Jag skulle tro att det är ungefär så det har gått till. Det finns inget mystiskt med talet i. I sitt rätta sammanhang blir det fullt begripligt.

45 graders rotation fås genom multiplikation med vektorn (1+ i)/√2 och godtycklig vinkel med cosφ + isinφ.

[klorofyll]

Minustecknet kan ses som en operator på vektorer sådan att den åstadkommer en vridning med 180 grader, dvs varje gång du multipliserar med minus ett följer en 180 graders fasförskjutning. Antag nu att du vill åstadkomma godtyckliga fasförskjutningar dvs lämna linjen och bege dig ut i planet. i fungerar då på motsvarande sätt som minustecknet bara med den skillnaden att fasförskjutningen här begränsas till 90 grader.

Man har helt enkelt skrivit dit ett tecken som innebär vridning med nittio grader, ett tecken som man valt att kalla i. Därefter har man dragit konsekvenserna. Räknesättet är multiplikation, varje gång man multiplicerar med i erhålls en vridning på nittio grader. Multiplicerar man två gånger dvs med i-kvadrat visar det sig att man får exakt samma resultat som om du hade multiplicerat med minus ett, dvs en vridning på 180 grader. Och se där, i-kvadrat är alltså lika med minus ett. Varav omedelbart följer att roten ur minus ett är lika med i.

Riktigt riktigt bra förklaring, att läsa det du skriver är som att höra en verkligt välskriven mattebok tala! Tror du att man kan utveckla den här tråden mer? Jag tror att jag är ganska bra på att lära mig saker, men samtidigt är det mycket jag inte förstått, finns det någon elegant förklaring på vad sinus och cosinus är för något egentligen?

[Vertumnus]

Tackar! Nu får vi se om det här går lika bra.

Som ingång till de trigonometriska funktionerna kan, som i det förra exemplet, använda ett tvådimensionellt koordinatsystem och en moturs roterande vektor. Sinus och cosinusfunktionerna ger då uttryck för sambanden mellan tre variabler: den roterande vektorns vinkel till x-axeln samt vektorns varierande x resp y värden. Om vektorns längd sätts till ett och vinkeln till φ fås vektorns x-värde av cosφ och y-värdet av sinφ så att ( x, y ) = ( cosφ , sinφ ). Med Pytagoras sats sammanfattas sambandet till (sinφ)^2 + (cosφ)^2 = 1





Med f(x) = ( sinx, cosx )


får man de klassiska sinus- resp cosinus- kurvorna som slingrar runt x-axeln med 90 graders inbördes fasförskjutning.

[klorofyll]

Tackar! Nu får vi se om det här går lika bra.

Som ingång till de trigonometriska funktionerna kan, som i det förra exemplet, använda ett tvådimensionellt koordinatsystem och en moturs roterande vektor. Sinus och cosinusfunktionerna ger då uttryck för sambanden mellan tre variabler: den roterande vektorns vinkel till x-axeln samt vektorns varierande x resp y värden. Om vektorns längd sätts till ett och vinkeln till φ fås vektorns x-värde av cosφ och y-värdet av sinφ så att ( x, y ) = ( cosφ , sinφ ). Med Pytagoras sats sammanfattas sambandet till (sinφ)^2 + (cosφ)^2 = 1


(bild)

Med f(x) = ( sinx, cosx )


får man de klassiska sinus- resp cosinus- kurvorna som slingrar runt x-axeln med 90 graders inbördes fasförskjutning.

Det var också en mycket bra beskrivning, tack ska du ha, jag läser i min bok att det kallas trigonometriska ettan, jag tycker att detta är väldigt intressant matematik (grundläggande och komplex) - jag älskar matte men jag är inte särskillt bra på det än, jag läste att en matematiker sällan har sin formtopp över 25 års ålder, men jag tror inte att det ligger så värst mycket sanning i det ändå - men jag vill minnas att det fanns någon form av bevis för vad sinus, cosinus och tangens betyder, vet du något om det, jag hittade detta:
Under "härledning" står det någon slags förklaring som jag inte förstår men du kanske gör det? http://sv.wikipedia.org/wiki/Sinussatsen

[Vertumnus]

Sinus och cosinus är enl. ovan definierade på elementär geometri - där finns alltså inget antagande som behöver bevisas, resten följer av algebra. Sinussatsen härleds med geometri och algebra direkt från definitionerna. Samma sak för de samband som gäller rätvinkliga trianglar och som säger att sinusvärdet för en vinkel är lika med motstående katet / hypotenusan och att cosinusvärdet på motsvarande vis fås ur närliggande katet / hypotunusan. Tangensvärdet för vinkeln, vilket erhålls då motstående katet delas med närliggande katet, härleds direkt som en kvot ur definitionerna på sinus och cosinus.

Jag skulle tro du fixar sinussatsen om du vill ägna den lite tid.

[klorofyll]

Jag tror jag förstår nu. Det behöver inte bevisas, krävs bara en viss formel och sinussatsen är bara ett samband som inte har med detta att göra riktigt. Det borde ju egentligen inte finnas något som är enklare att förstå än matematiken eftersom man där vill förklara allt på enkalast möjliga vis. Finns det någon typ av matematik som du tycker är mer intressant??

[Vertumnus]

Det är många är sen jag läste matematik och dina exempel, nog så intressanta, gav mig anledning att återvända. Det jag tyckte var mest intressant på matematikerlinjen var klassisk analys, linjäranalys och analytiska funktioner, kanske speciellt analytiska funktioner. Men som sagt det är många år sen nu.

[Okunnig]

Bara lite enkla funderingar om något som tydligen är djupt,

Man uppfann väl det imaginära talet så här:
X^2 = -1 saknade lösning, men man ville ha en lösning så man bestämde at i^2 = -1.
Det är lite märkligt, förmodlingen blev detta användbart på flera sätt, men jag tycker att man borde kunna förstå vad "i" är bättre, för jag tror ingen förstår sig på det.
Och när man multiplicerar -1 x -1 så blir ju det 1 för att två minustecken möts, det finns väl en regel för det, men varför är det så?

För att det människan kallar för abstrakt mattematik inte är samma sak som verklighet. I verkligheten finns inga imaginära tal, det är en artefakt skapad av människans försök att beskrivas verkligheten i siffror.

Imaginära tal, och även oändlighet, är mänskliga påfund. De existerar inte i verkligheten. De är helt enkelt resultatet av människans desperata försök att få sin mattematiska modell av verkligheten att stämma.