-------------------
Tänk dig att du är med i en frågesport på TV. Framför dig finns tre dörrar. Bakom två
av dem är det tomt, och bakom den tredje står en bil, som du vinner förutsatt att du väljer
rätt dörr (du skall alltså välja någon av de tre dörrarna - dörr A, B eller C).
Låt oss säga att du väljer dörr A. Programledaren öppnar nu dörr C, och bakom denna
dörr är det tomt. Du kan därmed dra slutsatsen att bilen antingen finns bakom dörr A eller B.
Men du får göra ett val: vill du stå kvar vid dörr A eller byta dörr till dörr B? Vad skall du
göra för att ha störst chans att vinna?
Svar: Man kan tro att det inte spelar någon roll om man byter eller står kvar, att chansen är
lika stor oavsett hur man gör. Men om man byter dörr är chansen dubbelt så stor att man vinner
bilen som om man står kvar.
-------------
Om jag singar ett mynt och får klave fyra gånger på raken så har sannolikheten visserligen ökat att jag ska få krona, men jag kan även tänka att detta femte kast är det första och då är det 50% chans igen. I stundens situation så är väl alltid sannolikheten 50% om det är en tvåsidig möjlighet? Anta att du har två kronor, och så singlar du den ena fyra gånger, och så vid det femte kastet så har du en tävling mellan mynt 1 och mynt 2, och singlar dessa båda samtidigt. Det skulle väl vara absurt att satsa pengar på det mynt som redan har singlats fyra gånger, för att det har en större chans att plötsligt få krona? Chansen är lika stor för båda mynten (även om sannolikheten är större för det ena myntet att serien ska vända.)
Situationen ovan kan testas och att man förbereder ett mynt som fått fyra i serie, och sedan tävlar med detta mynt och ett okastat mynt. Sannolikheten kommer inte att öka att det "erfarna" myntet får en högre vinstprocent. Tänk om man kunde "ladda" mynt med sannolikhet och sedan använda när man tävlar med det. Skulle vara bra att ha några i plånboken. Kan kanske till och med sälja dem som "sannolikhetsmynt" för två kronor styck
Tycker härmed att jag har dementerat denna "paradox". Eller vad tycker ni? Har jag kanske en bra affärsidé: vad är ett mynt som fått tio i serie värt??
Här är sannolikhetskalkylen som uppbådar paradoxen:
Först kan vi titta på vad som händer om programledaren inte vet var bilen är (eller inte bryr sig om det). Då kan du jämföra med två slumpmässiga val, eller tärningskast, där du först "slår" bildörr, tomdörr1 eller tomdörr2 (ditt dörrval) med sannolikheten 1/3, och programledaren sedan "slår" någon av de två kvarvarande dörrarna med sannolikheten 1/2. Du får då 6 möjliga kombinationer/händelser, alla med samma sannolikhet, nämligen 1/3 * 1/2 = 1/6..
a) du slår bildörr. P slår tomdörr1.
b) du slår bildörr. P slår tomdörr2.
c) du slår tomdörr1. P slår bildörr.
d) du slår tomdörr1. P slår tomdörr2.
e) du slår tomdörr2. P slår bildörr.
f) du slår tomdörr2. P slår tomdörr1.
Om nu programledaren har öppnat en tom dörr, så betyder det att någon av händelserna a, b, d eller f har inträffat.
De händelser som innebär att du bör stå kvar vid din dörr är a och b.
De händelser som innebär att du bör byta dörr är d och f.
Sannolikheten för varje händelse är lika stor.
Du har alltså samma chans att vinna bilen om du står kvar, som om du byter dörr.
Men om programledaren vet var bilen är och VÄLJER att inte öppna den dörren, så bryts slumpmässigheten. Du får följande schema:
a) du slår bildörr med sannolikhet 1/3. P väljer tomdörr1 med sannolikhet 1/2. 1/3 * 1/2 = sannolikhet 1/6.
b) du slår bildörr med sannolikhet 1/3. P väljer tomdörr2 med sannolikhet 1/2 . 1/3 * 1/2 = sannolikhet 1/6.
c) du slår tomdörr1 med sannolikhet 1/3. P väljer bildörr med sannolikhet 0. 1/3 * 0 = sannolikhet 0.
d) du slår tomdörr1 med sannolikhet 1/3. P väljer tomdörr2 med sannolikhet 1. 1/3 * 1 = sannolikhet 1/3.
e) du slår tomdörr2 med sannolikhet 1/3. P väljer bildörr med sannolikhet 0. 1/3 * 0 = sannolikhet 0.
f) du slår tomdörr2 med sannolikhet 1/3. P väljer tomdörr1 med sannolikhet 1. 1/3 * 1 = sannolikhet 1/3.
Händelserna då du bör stå kvar vid din dörr,. a och b, uppstår med sannolikheten 1/6 + 1/6 = 1/3 .
Händelserna då du bör byta dörr, d och f, uppstår med sannolikheten 1/3 + 1/3 = 2/3.
2/3 är en dubbelt så stor chans som 1/3 och du bör alltså byta dörr.
Lite enklare kan det uttryckas så här:
Du ställer dig framför bildörren med 1/3 sannolikhet. Du ställer dig framför en tom dörr med 2/3 sannolikhet.
Sen öppnar P med absolut säkerhet (sannolikhet 1) en tom dörr.
Nu har du bara "din" dörr och den andra oöppnade dörren att välja på.
Sannolikheten att du står framför framför bildörren är fortfarande 1/3.
Och sannolikheten att du står framför en tom dörr är fortfarande 2/3. Dvs, sannolikheten att bilen finns bakom den andra
oöppnade dörren är 2/3. Du bör alltså byta dörr.
Johan
