Filosofiforum

Jag har väldiga problem med ett problem som jag har i läxa. Det ser ut enligt följande:

Givet: (x,y)(f(x+y)=f(x)f(y)), f är ej en konstant funktion, (x)(f(x)>0), f(0)=1, f är kontinuerlig, F(x)=integralen för f mellan 0 och x.

Visa att: f(x)F(1)=F(x+1)-F(x) och dra slutsatsen att f är deriverbar.

Det känns ruttet att be om hjälp såhär, men jag satt hela gårdagen och försökte lösa problemet och kom ingenstans så jag vore mycket tacksam för lite hjälp.

Har inte så lång tid på mig just nu, men du kan väl börja med att visa hur långt du kommit? Rent spontant skulle jag göra såhär:

Lös ut f(x) ur första uttrycket.

Integrera, dvs. teckna F(x) (konstattermen borde ges av villkoret).

Finn F(1) och lös visa att-satsen.

Men f är (än så länge) en funktion som, förutom restriktionerna jag angav tidigare, är helt godtycklig. Jag kan alltså inte teckna F(x).

Jag har i stort sett inte kommit någonstans. Jag försöker komma på några kända regler som rör produkten av en funktion och primitiven av samma funktion men finner inget, trots timmar av letande i min analysbok.

Kursen är tänkt att kunna klaras efter bara ett halvårs studier av naturvetenskaplig matematik så det borde ju inte vara så svårt.

Tack för hjälpen oavsett.

Jag tänkte att du kunde använda den första restriktionen för att teckna ett uttryck för f(x), men det är något besynnerligt med den:

(x,y)(f(x+y)=f(x)f(y))

Sitter parentestecknen rätt? I så fall ser jag inte att det är ett villkor överhuvudtaget. Vad har den godtyckliga punkten (x,y) där att göra?

I alla fall, om f(x+y) = f(x)f(y) vilket det står i den högra stora parentesen, då är ju f(x) = f(x+y)/f(y). Variabeln x+y kan vi kalla för z. Är det möjligt att teckna en allmän integral F(x) om f(x) = f(z)/f(y)? Hittar ingen sån regel heller tyvärr.

Finns det inget facit till uppgiften? Eller en lärare att fråga?

Jag uttryckte mig väldigt klantigt. Det jag menar är att det gäller för alla x och alla y att f(x+y)=f(x)f(y). Jag ber om ursäkt för det.

Ingen fara. Om det inte finns facit kanske du har anteckningar kring härledningen av funktionen e^x som är användbara? För det luktar ju e^x om hela talet (stämmer med villkoren och visa att-satsen). Alternativt googla andra härledningar av e^x... Kan nog inte hjälpa till mer än så tyvärr :/

Jag ska höra med mina kursare imorgon. Annars får jag veta på tisdag.

Jag kan skriva ned lösningen här när jag vet, ifall någon är nyfiken.

Tack för hjälpen!

Jag är något  undrande här över din ekvation f(x)F(1)=F(x+1)-F(x).

Bör var f(x)F(1)-F(0)=F(x+1)-F(x) istället?

Låt [ f(t)dt, {a,b} ] vara integralen från a till b, då är
(1) [ f(t)dt, {x,x+1} ]=F(x+1)-F(x), enl. definitionen på Riemann-integral.
Gör substitutionen y=t-x, vi får då integralen från 0 till 1 och funktionen f(t)=f(y+x)=f(y)f(x).
(1) blir då [ f(t)dt, {x,x+1} ]=[ f(y+x)dy,{0,1} ]=f(x)[f(y)dy,{0,1} ]=f(x)(F(1)-F(0)) och vi får f(x)F(1)-F(0)=F(x+1)-F(x).

(f.ö. är villkoret f(0)=1 redan uppfyllt av förutsättningen f>0, f(x+y)=f(x)f(y) med y=0)

suchanother skrev:Bör var f(x)F(1)-F(0)=F(x+1)-F(x) istället?

F(x) betecknar inte primitiv funtion utan integralen F(x) = [ f(t) dt, {0, x} ], så F(0) = 0 enligt definitionen.

Annars snygg lösning.

Har du rätt i. Glömde att vi hade en bestämd integral.