Beskriv det största ändliga tal du kan med 700 tecken!

[Justin Case]

Du har rätt i att "Vilket tal du än beskriver (x) så kan ett större tal beskrivas (x+1)", men det är inte relevant, för enbart det påståendet visar inte att x+1 är ändligt.

Om x är ändligt så är även x+1 ändligt. Alltså finns inget största ändliga tal. Det är inte svårare än så.

Du hävdar att det inte finns något största ändliga tal. Det tycks mig råda enighet bland de matematiker som sysslar med oändlighetsmatematik att Aleph-0 är legitimt definierat som mängden av alla naturliga tal. Det implicerar väl att det största ändliga (åtminstone det största ändliga naturliga) talet är definierbart?

Eller är Aleph-0 nonsens? Är det det du påstår?

Urklipp från wikipedia:
"In mathematics, the cardinality of a set is a measure of the "number of elements of the set"",
"Aleph-null... is by definition the cardinality of the set of all natural numbers"

[Dura M]

Du hävdar att det inte finns något största ändliga tal. Det tycks mig råda enighet bland de matematiker som sysslar med oändlighetsmatematik att Aleph-0 är legitimt definierat som mängden av alla naturliga tal. Det implicerar väl att det största ändliga (åtminstone det största ändliga naturliga) talet är definierbart?

Aleph0 är ju inte ändligt så jag förstår inte hur du tänker dig att det skulle implicera ett största naturligt tal (alla naturliga tal är ändliga).

Eller är Aleph-0 nonsens? Är det det du påstår?

Naturligtvis inte

[Justin Case]

Aleph0 är ju inte ändligt så jag förstår inte hur du tänker dig att det skulle implicera ett största naturligt tal (alla naturliga tal är ändliga).

Aleph0 är mängden av alla naturliga tal, och eftersom det största naturliga talet måste vara ändligt (annars är det inte ett naturligt tal), och eftersom antalet naturliga tal är ändligt (annars vore det största naturliga talet oändligt och inte naturligt), och om ett ändligt tal gånger ett ändligt tal alltid måste bli ett ändligt tal, måste Aleph-0 vara ändligt.

Enligt ditt sätt att tänka, att hur stora ändliga tal man än adderar med varandra, får man fortfarande bara ett ändligt tal som summa, gäller att:
1+2+3+... (och så vidare hur länge som helst, så länge det är fråga om ändliga tal som adderas) = ett ändligt tal.
Hur kommer då de ändliga talen någonsin upp i Aleph0, enligt ditt sätt att tänka?

[Zokrates]

Ett ändligt tal kan väl bara beskriva något som finns, medan ett tänkt tal kan vara hur stort som helst med den fördelen att det alltid går att lägga till mer på detta tal i just in case, det oändliga.

[Zokrates]

Vad talet blir vet jag inte, men jag koncentrerar mig på strängteorin,

Längden en plancklängd som beskriver hur lång en sträng är,
1,6·10 upphöjt 35 meter,
därefter tänker jag mig en mitt som jag placerar denna sträckan i,
utanför denna längden men dikt an, tänker jag mig en sfär, som ett klot, där placerar jag en sträng på varje ledig yta tills sfären utanför den första längden inuti är fyllt, samt ännu en sfär som utanpå detta fylls på med strängar, detta upprepas tills dess att universums samlade totala beräknade yta är fullt. Genom att addera totallängden av alla strängarna har jag då fått fram ett absolut tal, vari hela universum ryms, inklusive all samlad materia. ( visar det sig att det till exempel inte får plats en hel plancklängd för att fylla upp varje tänkt sfär, dess hela utrymme, så tar man den differensen som blir på varje nytt tänkt sfär och adderar ihop den med nästa osv, tills den samlade diskrepansen av utrymmet blir en totalsumma, vari man börjart om igen tills detta ytrummet är fullt osv,  på så sätt missas ingenting).

Då denna summa baseras på de absolut minsta byggstenarna, så kan det inte finnas något reellt tal som kan vara större än detta. Men i teorin kan man lägga på förutom de dimensioner vi lever i 6 till 7 andra dimensioner, vilket skulle innebära att det verkliga talet kan multipliceras ytterligare.

[Dura M]

Aleph0 är mängden av alla naturliga tal, och eftersom det största naturliga talet måste vara ändligt (annars är det inte ett naturligt tal), och eftersom antalet naturliga tal är ändligt (annars vore det största naturliga talet oändligt och inte naturligt), och om ett ändligt tal gånger ett ändligt tal alltid måste bli ett ändligt tal, måste Aleph-0 vara ändligt.

Du menar alltså att aleph0 är ändligt? Tycker du att du verkar ha stöd för den uppfattningen bland matematikerna på området?

Enligt ditt sätt att tänka, att hur stora ändliga tal man än adderar med varandra, får man fortfarande bara ett ändligt tal som summa, gäller att:
1+2+3+... (och så vidare hur länge som helst, så länge det är fråga om ändliga tal som adderas) = ett ändligt tal.
Hur kommer då de ändliga talen någonsin upp i Aleph0, enligt ditt sätt att tänka?

De kommer aldrig upp i aleph0. Hade de gjort det hade ju aleph0 varit ett ändligt tal, vilket det alltså inte är. Hade t.ex. de naturliga talen utgjorts av den ändliga mängden {1,2,3,...,x} hade aleph0 helt enkelt varit det naturliga talet x.

[Justin Case]

Aleph0 är mängden av alla naturliga tal, och eftersom det största naturliga talet måste vara ändligt (annars är det inte ett naturligt tal), och eftersom antalet naturliga tal är ändligt (annars vore det största naturliga talet oändligt och inte naturligt), och om ett ändligt tal gånger ett ändligt tal alltid måste bli ett ändligt tal, måste Aleph-0 vara ändligt.

Du menar alltså att aleph0 är ändligt?

Nej, det har jag inte påstått. Jag påstod att om ett ändligt tal gånger ett ändligt tal alltid måste bli ett ändligt tal, måste Aleph-0 vara ändligt, eftersom det största naturliga talet per definition måste vara ändligt, och eftersom även antalet naturliga tal (indirekt "per definition") är ändligt. Eftersom nu Aleph0 inte är ändligt, och eftersom det största naturliga talet som sagt måste vara ändligt, och eftersom antalet naturliga tal som sagt är ändligt, visar detta att det går att komma bortom de ändliga talen genom att lägga ihop ett ändligt antal ändliga tal med varandra. Multiplikation är ju bara en förkortning för en upprepad addition.

Så om x definieras som det största av alla ändliga tal, och man sedan skriver y=x+1, så stöds påståendet, att y inte är ett ändligt tal (och därför diskvalificeras enligt min tävlings regler), av ovanstående (d.v.s. att det faktiskt går att komma bortom de ändliga talen genom att lägga ett ändligt antal ändliga tal till varandra). Därför ska tävlingsbidraget "x = det största av alla ändliga tal; y=x+1" diskvalificeras.

Om Aleph0 är korrekt definierat som mängden av alla naturliga tal, hur föreställer du dig att Aleph skulle ha kunnat vara oändligt om det inte hade gått att komma bortom ändliga tal genom att lägga ihop ett ändligt antal ändliga tal med varandra? För att det skulle kunna vara så, skulle antingen det största naturliga talet ha behövt vara oändligt - men i definitionen av "naturliga tal" ingår ju att de är ändliga, så det håller inte - eller så skulle antalet naturliga tal ha behövt vara oändligt - men det kan det inte heller vara, för antalet naturliga tal är ju detsamma som det största naturliga talet, och det konstaterade vi ju just var ändligt.

[Justin Case]

Ett ändligt tal kan väl bara beskriva något som finns, medan ett tänkt tal kan vara hur stort som helst med den fördelen att det alltid går att lägga till mer på detta tal i just in case, det oändliga.

Jadå, men är det verkligen möjligt att tänka att ett tal x kan vara både det största ändliga talet och samtidigt 1 mindre än ett annat tal y som även det är ett ändligt tal? Det är väl en uppenbar självmotsägelse? Hur ska skribenten av ett sådant påstående ha det - är x det största ändliga talet eller inte? Det kan inte både vara det och inte vara det. För att y ska kunna vara x+1 och samtidigt vara ett ändligt tal, måste x vara mindre än det största ändliga talet.

[Justin Case]

Vad talet blir vet jag inte, men jag koncentrerar mig på strängteorin,

Hur stor andel av de fysiker som är insatta i frågan anser att strängteorin måste vara riktig? Hur stor andel av dem hävdar att strängteorin ens förmodligen är riktig?

Längden en plancklängd som beskriver hur lång en sträng är,
1,6·10 upphöjt 35 meter,
därefter tänker jag mig en mitt som jag placerar denna sträckan i,
utanför denna längden men dikt an, tänker jag mig en sfär, som ett klot, där placerar jag en sträng på varje ledig yta tills sfären utanför den första längden inuti är fyllt, samt ännu en sfär som utanpå detta fylls på med strängar, detta upprepas tills dess att universums samlade totala beräknade yta är fullt. Genom att addera totallängden av alla strängarna har jag då fått fram ett absolut tal, vari hela universum ryms, inklusive all samlad materia. ( visar det sig att det till exempel inte får plats en hel plancklängd för att fylla upp varje tänkt sfär, dess hela utrymme, så tar man den differensen som blir på varje nytt tänkt sfär och adderar ihop den med nästa osv, tills den samlade diskrepansen av utrymmet blir en totalsumma, vari man börjart om igen tills detta ytrummet är fullt osv,  på så sätt missas ingenting).

Då denna summa baseras på de absolut minsta byggstenarna

Varför måste plancklängden vara det minsta som finns? Tidigare trodde man att atomen var det minsta som fanns, och det tror man inte idag. Likadant kan det väl visa sig förhålla sig med plancklängden i framtiden?

Men i teorin kan man lägga på förutom de dimensioner vi lever i 6 till 7 andra dimensioner, vilket skulle innebära att det verkliga talet kan multipliceras ytterligare.

Jag kan tänka mig att det finns fler dimensioner än de uppenbara, men är det antagandet nödvändigt för att plancklängden inte ska kunna vara det minsta som finns?

[Dura M]

Du menar alltså att aleph0 är ändligt?

Nej, det har jag inte påstått.

Du skriver ju själv att "antalet naturliga tal är ändligt". Om antalet naturliga tal är ändligt så är även aleph0 ändligt eftersom aleph0 just betecknar antalet naturliga tal.

Så om x definieras som det största av alla ändliga tal, ...

Problemet är att den definitionen är meningslös. Det finns inte något största ändliga tal. x saknar referent.

Om Aleph0 är korrekt definierat som mängden av alla naturliga tal, hur föreställer du dig att Aleph skulle ha kunnat vara oändligt om det inte hade gått att komma bortom ändliga tal genom att lägga ihop ett ändligt antal ändliga tal med varandra? För att det skulle kunna vara så, skulle antingen det största naturliga talet ha behövt vara oändligt - men i definitionen av "naturliga tal" ingår ju att de är ändliga, så det håller inte - eller så skulle antalet naturliga tal ha behövt vara oändligt - men det kan det inte heller vara, för antalet naturliga tal är ju detsamma som det största naturliga talet, och det konstaterade vi ju just var ändligt.

Hela ditt resonemang faller på att du talar om "det största naturliga talet" som om detta fanns. Det finns inte något största naturliga tal. Varje naturligt tal (x) har per definition en efterföljare (x+1) som också är ett naturligt tal (och är större än x).

[Justin Case]

Om det inte finns något största ändliga tal, finns det ingenstans där oändligheten kan ta vid efter de ändliga talen. Då kan det inte finnas något sådant som oändlighet.
Så om oändlighet finns, måste det finnas ett största ändliga tal.
Man kan inte säga hur stort detta ändliga tal är i relation till de tal vi möter i vår vardag (utan att dra in oändligheten), men om oändligheten finns, måste det av nämnda skäl ändå finnas ett största ändliga tal - liksom t.ex. Pi måste finnas trots att man inte kan säga exakt hur stort Pi är (om ett tal kan ha oändligt många decimaler). Ifrågasätter du även att talet Pi finns?

Det är mycket möjligt att matematikerna anser att det både finns oändlighet och att det inte finns något största ändliga tal. I så fall tycker jag att det verkar som att de har fel, eftersom jag tycker att ovanstående visar att det är två med varandra oförenliga trosföreställningar. Alternativt tror jag att de tror som jag, men uttrycker sig på ett sätt som lätt ger en intrycket att de verkar tro annorlunda.

[Dura M]

Så om oändlighet finns, måste det finnas ett största ändliga tal.

Nej, du måste bara ge upp tanken på att det finns en punkt där de naturliga talen "tar slut" och de oändliga "tar vid". De naturliga talen tar aldrig slut. Det finns bokstavligt talat ingen ände på dem. Det är därför vi säger att de är o-ändligt många. (Fundera en stund på vad ordet betyder.)

Det är mycket möjligt att matematikerna anser att det både finns oändlighet och att det inte finns något största ändliga tal. I så fall tycker jag att det verkar som att de har fel, eftersom jag tycker att ovanstående visar att det är två med varandra oförenliga trosföreställningar. Alternativt tror jag att de tror som jag, men uttrycker sig på ett sätt som lätt ger en intrycket att de verkar tro annorlunda.

Matematik handlar inte om tyckande, utan om definitioner. Talen har de egenskaper vi definierar dem att ha. Om du vill skapa en ny matematik med nya definitioner så varsågod, men hittills verkar dina idéer vara självmotsägande vilket gör att det inte ser särskilt lovande ut.

[Justin Case]

Mina idéer är inte mer självmotsägande än den självmotsägelse som föreställningen om existensen av oändlighet själv utgör. Om ingenting någonsin kan komma upp i, eller någonsin ha kommit upp i, ett oändligt antal, hur skulle det då kunna finnas ett oändligt antal av någonting?

I Greg Egans SF-roman "Permutation City" beskrivs en utomjordisk civilisation som kommit fram till att det inte kan finnas något sådant som oändlighet. Varför inte se det som en lika rimlig hypotes som hypotesen att det skulle finnas oändlighet? Oavsett vilken av hypoteserna man väljer, uppstår paradoxer - bara olika paradoxer beroende på vilken hypotes man väljer.

[Justin Case]

Vad svarar du på min liknelse med Pi? Om Pi har oändligt många decimaler, vilket man väl anser, hur kommer det sig att man ändå kan säga att Pi finns? Pi:s sista decimal finns ju inte, enligt ditt sätt att se på oändlighet. Inte heller Pi:s näst sista decimal finns, enligt ditt sätt att se på oändlighet. Och så vidare bakåt, hur långt som helst, tills slutsatsen måste bli att Pi inte finns!

[FIG]

Vad svarar du på min liknelse med Pi? Om Pi har oändligt många decimaler, vilket man väl anser, hur kommer det sig att man ändå kan säga att Pi finns? Pi:s sista decimal finns ju inte, enligt ditt sätt att se på oändlighet. Inte heller Pi:s näst sista decimal finns, enligt ditt sätt att se på oändlighet. Och så vidare bakåt, hur långt som helst, tills slutsatsen måste bli att Pi inte finns!

Det bero väll på, PI som mätt tal finns väll inte, men förhållandet mellan diameten och omkresen på en cirkle finns. och det är just det som ÄR pi
Vissligen så kan man väll alltid ställa frågan vad en Cirkel är.

/ FIG