Matematisk paradox

[Zi]

Första året i gymnasiet visade min lärare en matematisk paradox. Jag har glömt hur den såg ut men vill gärna veta det nu. Han lyckades komma fram till att 1=0 eller något liknande ologiskt med något eller ett par snabba led. Jag tror att någon exponent var inblandad. Jag tror även att det var heltal nära noll, alltså 1 och/eller -1.

Känner ni igen vad jag svamlar om?

[eon]

Det finns många olika sätt att visa sådana märkliga saker, några riktiga paradoxer är det dock aldrig frågan om. I exemplet nedan beror slutresultat på en förtäckt förbjuden matematisk operation, nämligen att dela med 0! Hitta var!

a=1
a=b
a^2 = ab
a^2 - b^2 = ab - b^2
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a + b = b
a=0

1=0 !!!

[Zi]

Häftigt!

Men varför är det förbjudet att dividera med 0?

[MrTambourineMan]

Faktorn (a-b) = 0, ty a=b, varför implikationen

(a-b)(a+b) = b(a-b) =>
a + b = b

är falsk.

[Zi]

Jo, det lyckades jag lista ut efter ett tag.

Men varför finns regeln överhuvudtaget? Det vill säga att det är förbjudet att dividera med 0. Var kommer det ifrån?

[Tore]

Men varför är det förbjudet att dividera med 0?

För att annars kan man bevisa att 1=0 ! Ett matematiskt system där man kan bevisa sådana saker vore inte särskilt användbart...

(Vad man gör här är inte bara att dividera med 0, det kan man faktiskt tillåta i vissa sammanhang. Vad man gör är att dividera 0 med 0 och anta att det är 1, dvs man förkortar bort nollorna, vilket är vad som leder till den felaktiga slutsatsen.)

[Bambi]

Man kanske kan fundera vad som händer om man dividerar med noll. Om man skulle ta gränsvärdet av 1/x när x -> 0 vilket skulle vara divergent. M.a.o. du får oändligheten som svar och det säger egentligen inget om problemet därför är det inte definierat.

[AlLvEtArEn]

Är ju inte mycket som stämmer där inte.

a=1
a=b
Alltså a=b=1

Var kom det övriga ifrån?

[Zi]

För att annars kan man bevisa att 1=0 ! Ett matematiskt system där man kan bevisa sådana saker vore inte särskilt användbart...

Så när man upptäckte något ologiskt i matematiken förbjöd man det för att hålla det logiskt? Kan matematiken vara ologisk? Är det människan som skapat denna ologik eller är den en naturlig del av universums beskaffenhet?

(Vad man gör här är inte bara att dividera med 0, det kan man faktiskt tillåta i vissa sammanhang. Vad man gör är att dividera 0 med 0 och anta att det är 1, dvs man förkortar bort nollorna, vilket är vad som leder till den felaktiga slutsatsen.)

Om det inte är alltför avancerat att förklara, i vilka sammanhang är det tillåtet?

[eon]

Så när man upptäckte något ologiskt i matematiken förbjöd man det för att hålla det logiskt? Kan matematiken vara ologisk? Är det människan som skapat denna ologik eller är den en naturlig del av universums beskaffenhet?

I allmänhet kan man säga att inget är sant eller falskt i sig självt, man måste betrakta till vilket sammanhang man ställer frågan. Ett klassiskt exempel är en triangels vinkelsumma som vanligtvis anses vara 180, men detta är bara inom euklidisk geometri. Dessutom finns parabolisk eller sfärisk geometri för vilket gäller att vinkelsumman > 180. För hyperbolisk geometri däremot gäller att vinkelsumman < 180.

Vad det betyder att något blir ologiskt inom matematiken är att det inte är sant inom det axiomsystem man byggt upp. (Ett axiom är påstående som man tar avstamp ifrån för att kunna komma någon vart överhuvudtaget.) Från axiomen kan man sedan ta fram satser mm som hjälper oss att förstå axiomen, men utan undantag är alla dessa satser och lemmor svagare påståenden.

Inom geometrin finns det idag om jag kommer ihåg rätt 27 oberoende axiom som visat sig ge fullständighet(som man tror idag). Euklides tog fram ett stort antal av dessa runt 300 före Kristus och dessa kompletterades sedan av Hilbert 1898. Observera att axiomen i sig själva varken är sanna eller falska.

För att återgå till frågan så kan det som är ologiskt i ett sammanhang vara logiskt i ett annat.

[Tore]

Så när man upptäckte något ologiskt i matematiken förbjöd man det för att hålla det logiskt? Kan matematiken vara ologisk? Är det människan som skapat denna ologik eller är den en naturlig del av universums beskaffenhet?

Det finns ett par olika synsätt här. Dels kan man föreställa sig att det finns en slags matematisk verklighet som bestämmer vad som är sant eller falskt i matematisk mening. Matematikens uppgift blir då att korrekt beskriva den verkligheten. Kommer vi fram till felaktiga slutsatser, som att 1=0, så måste vi helt enkelt ha gjort något fel.

Ett mer pragmatiskt synsätt är att säga att ett matematiskt system iofs kan se ut lite hur som helst, men att vissa system är mer intressanta eller användbara än andra. Ett matematiskt system där alla tal är lika förefaller inte vidare användbart, i varje fall inte till sådant vi brukar använda matematik till. Du skulle nog inte bli så glad om du hade sparat ihop 1 miljon kr på banken och banken sedan tog bort pengarna från ditt konto med motiveringen att 1=0.

Om det inte är alltför avancerat att förklara, i vilka sammanhang är det tillåtet?

Ja alltså, så länge x är större än 0 kan man kan sätta x/0=oändligheten. Sedan kan man definiera räknelagar för oändligheten på ett sätt som inte leder till motsägelser. Ett sådant system kan vara användbart i vissa sammanhang. Exempelvis brukar flyttalssytemet i datorer hantera division med noll på det sättet, vilket kan göra programmeringen lite enklare i vissa fall.

[AlLvEtArEn]

Tänk er följande paradox:

2 pers ska dela på 10 kr, hur mycket får de var?
Svar: 5 kr
...
Inga personer (0) ska dela på 10 kr, hur mycket får de var?
a) Inget för det är ingen som får något = 0 (noll)
b) Oändligt mycket för 10/0 = oändligheten

Vad är rätt?

[A friend of ours]

Eller: Alla skall dela världen.

[Euklides]

Man kanske kan fundera vad som händer om man dividerar med noll. Om man skulle ta gränsvärdet av 1/x när x -> 0 vilket skulle vara divergent. M.a.o. du får oändligheten som svar och det säger egentligen inget om problemet därför är det inte definierat.

Bara påpeka för den intresserade att då x->0- dvs från vänster om man ritar kurvan till funtionen f(x)=1/x. så blir gränsvärdet -oändligheten.

kurvan ser ut något som:
******************y^************************
*******************||************************
*******************||************************
*******************|*|***********************
*******************|*|***********************
*******************|**\**********************
*******************|**\**********************
*******************|***\*********************
*******************|****\********************
*******************|****\********************
*******************|*****\*******************
*********************************************>x
*******************|*************************
*************\*****|*************************
**************\****|*************************
**************\****|*************************
***************\***|*************************
****************\**|*************************
****************\**|*************************
*****************\*|*************************
*****************|*|*************************
*****************|*|*************************
******************||*************************
******************||*************************

[suchanother]

Matematiken är uppbyggd som ett system med vissa regler.
T.ex. är division med 0 förbjudet då detta förstör systemet.
Låt oss tillåta division med 0! Givet ett tal x, vad är x/0?
I god ekvationsanda sätter vi y=x/0 och får 0y=x, dvs. ekvationen satisfieras av alla tal och såna konstigheter vill vi inte ha.

Märkligt nog går sådana konstigheter för sig i kardinalaritmetiken, där A+A=A för alla kardinaltal av samma dignitet!. Någon här på forumet som kan förklara?