Consider the statement:
(1) What I am saying cannot be proved.
Let us suppose that this statement can be proved. Then it must be true, i.e., in its own words, it cannot be proved, which contradicts our supposition.
Therefore the statement cannot be proved, since our supposition has led to a contradiction. In other words, the statement is true. In this way we have proved the statement.
Therefore the statement both can and cannot be proved.
In the second part of the argument, if we speak of proving (1) in a given formal system S, then we cannot draw the conclusion that we have proved the statement in S. For it is possible that the argument cannot be formalized in S. Indeed, as we know, Gödel shows in his famous article of 1931 that for suitable systems S, it is possible to construct in S a statement saying in effect that the statement itself is not provable in S. The conclusion Gödel draws, we may recall, is that the statement thus constructed is true but not provable in S. Thus no contradictions arise in this way if we are confined to provability in a given system.
A dual of (1) is the following:
(2) What I am saying can be refuted.
Let us suppose that this statement is true, or, in its own words, that it can be refuted. Then it must be false, which contradicts our supposition.
Therefore the statement is false, since our supposition has led to a contradiction. In this way, we have refuted the statement. We see that the statement can be refuted; in other words, it is true.
Gödel formulerar således en lögnarsats inom ett formellt system
där den säger att den inte kan bevisas inom systemet ...
Vilket är sant UTANFÖR systemet sett.
Men vår logik är universell, det finns inget "utanför" vår logik!
Så hur ska vi då se på påståendet att:
(1) What I am saying cannot be proved.
Bevisar det att vår logik är inkonsistent?
Anar vi inte att OM vi kunde stå utanför vår logik
så skulle vi anse påståendet vara sant!
Därför att OM påståendet kan bevisas sant inom vår logik
så kan vi därmed också bevisa att det är falskt...
Eftersom det påstår sig inte kunna bevisas!
Och därmed skulle vi bevisa en motsägelse.
Det här har religiösa sedan länge använt sig av:
Skulle vi inte få tro på gud när ni tror på paradoxer?!
Och så slänger de fram en lista på paradoxer:
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes
Lögnarparadoxen, kanske dem mest kända?
Verkar ha uppkommit på Kreta:
https://en.wikipedia.org/wiki/Liar_paradox
Spänn fast säkerhetsbältet, för nu löser vi lögnarparadoxen!
Vi föreställer oss att det finns ett påstående; x ,
som säger om sig självt att det är falskt: x säger alltså att påståendet x är falskt.
Vad vi då vet kan vi uttrycka som följer:
1) x = "x är falskt"
Nu finns det en logisk princip som kallas Leibniz Lag:
https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_ ... scernibles
Den säger (något förenklat) att
det som gäller för det vänstra ledet i en identitet
gäller också för det högra ledet! Därför kan vi erhålla:
2) x är sant om och endast om "x är falskt" är sant
Och efter att ha förenklat höger led erhåller vi:
3) x är sant om och endast om x är falskt
Vi har erhållit en motsägelse!
ALLTSÅ ÄR VÅRT ANTAGANDE FELAKTIGT!
Det finns helt enkelt inget x sådant att det säger att x är falskt!
Så om man ser ett sådant påstående så förklarar man att det inte är något påstående!
Det finns alltså ingen lögnarparadox QED:
