Vad är logik?

[Algotezza]

Logos brast? ...brast ut i skratt? Hån-skratt - fån-tratt. Tar på min tänkarhatt och slänger snabbt fram en osanning på klaveret.

Är det önskvärt att återupprätta Logos? ...eller är det bara den förlorade kontrollen som skrämmer? Why not just dig non-conformity? Hugg nu i med spaden...vad än den må va...dags att begrava stackarn och låta plantera ett nytt, icke maskätet (ihåligt), kunskapsträd.

Eller logos, död och begraven, ersatt av - logik, tolerans och eget tänkande?

A

[Avantgardet]

Eller fri upplevelse och tolkning - ett ömsesidigt oförstånd. Låt oss vara konstnärer och måla världen som vi vill.

[asper]

Al och Av

Där har ni sannerligen samstämt rätt, tycks det mej.
Och underbar litterär dynamik som grädde på moset!
Tack!

as

[archaxe]

Premiss 1: P
Premiss  2: -P
Slutsats: Q

Det kan ju skrivas (P & -P) -> Q (eller vad som helst) som implikation. P och -P kan då tolkas som två premisser i en deduktion och Q som en slutsats.  

Visst, men min poäng är bara att för att ovan nämnda slutledning skall vara formellt giltig måste du även inkludera den tautologa implikationen som en premiss.

Om du har en premiss, "P", så är varje implikation som innehåller negationen av premissen "P" - alltså "~P" - i försatsen alltid sann, eftersom varje implikation med falsk försats är sann, och givet detta kan vi givetvis konstruera implikationen "~P->Q" där "Q" är ett godtyckligt påstående. Antar vi dessutom "~P" så följer "Q" enligt modus ponens. Sålunda följer vad som helst ur en motsägelse. För dem som inte visste, alltså.

Vad menar du med att den nämnda tautologine elelr vilken tautologi som heslt finns implicit i varje argument?

Nja, jag menade inte direkt att varje tautologi finns implicit i varje argument utan undrade mer om du ansåg att så var fallet.

Ledsen att förstöra den poetiska stämningen, förresten.

[Algotezza]

Eller fri upplevelse och tolkning - ett ömsesidigt oförstånd. Låt oss vara konstnärer och måla världen som vi vill.

Ja, det är målet för oss alla att vi inte har något gemsnamt mål, utan endast att i det subjektiva visa vägen till det generella - om vi vill det! Det finns ingen annan väg att förstå "det mänskliga" än att bejaka sin subjektivet/ individualitet, allra helst via kreativa metoder! Ratio begränsas av emotio men förnekar att så är fallet.

A

[Lennart]

Logiker talar om en aritmetisk standardmodell. Den består av en struktur enbart bebodd av de ”naturliga” talen (= de hela positiva räknetalen: 1, 2, 3, osv) och operationerna addition och multiplikation bland dessa ”populationsindivider”. Antalet indiver är här obegränsat, vi kan alltid lägga till en till, eller tio till, eller sjuttioelvatusen till…
Här, om någonstans, måste väl den klassiska logiken gälla kan tyckas. Ja, så länge vill håller oss till addition…
Men med multiplikation tillagd är denna enkla struktur tillräcklig för att Gödels ofullständighetsteorem ska slå till. Ett sätt att tänka på detta teorem är, att om vi tänker på teorier inom aritmetiken som motsägelsefria klassiskt logiska maskiner, så skulle ett ändligt antal göra sina operationer och stanna när de var klara, dvs när de gjort en slutledning enligt strukturen, MEN ett oändligt antal av dessa maskiner (fullt logiska och felfritt konstruerade inom den tillåtna strukturen) skulle hamna i loopar som de inte kommer ur, dvs de skulle ”hänga sig”.
Detta har lett till en programutveckling för datorer som verkar överträffa, i sin snabbhet och omfång, de mest häpnadsväckande evolutionära kapprustningarna i naturen. Visst hänger sig våra ”dumma” datorer från och till, men de klarar också mycket mer än addition och multiplikation nuförtiden.
Jag tror att vi kan lära oss mycket om våra egna ”hängbeteenden” (negativa tankar som fastnar i en loop mot okontrollerbar ilska eller depression t ex) och hur vi kan ”tänka oss ur dem” genom att se hur man kan skriva intelligenta regler för datorer som undgår i och för sig ”logiska” hängningar.

[suchanother]

Till de naturliga talen räknas även nollan (0), (en petitess i sammanhanget)

Sen dina tankar om oändliga loopar och Gödels teorem.
Gödel använde den naturliga talföljden och dess egenskaper (dvs. att varje naturligt tal har en efterföljare)  och visade genom aritmetisering av syntaxen att i varje formellt system finns alltid satser som inte går att bevisa inom systemet.
Detta är långt ifrån dina oändliga loopar. En oändlig loop innebär rekursivvitet vilket inte alls är samma sak som Gödels användning av de naturliga talens egenskaper.
(Gödel f.ö. dog undernärd, han hade paranoida att hans mat var förgiftad)

[Algotezza]

Till de naturliga talen räknas även nollan (0), (en petitess i sammanhanget)

Sen dina tankar om oändliga loopar och Gödels teorem.
Gödel använde den naturliga talföljden och dess egenskaper (dvs. att varje naturligt tal har en efterföljare)  och visade genom aritmetisering av syntaxen att i varje formellt system finns alltid satser som inte går att bevisa inom systemet.
Detta är långt ifrån dina oändliga loopar. En oändlig loop innebär rekursivvitet vilket inte alls är samma sak som Gödels användning av de naturliga talens egenskaper.
(Gödel f.ö. dog undernärd, han hade paranoida att hans mat var förgiftad)

När man definierar de naturliga talens mängd med hjälp av begreppet efterföljare, kan man bevisa att de naturliga talens oändliga mängd  med hjälp av detta begrepp inte bygger upp en stigande skala av tal, utan att samma oändliga mängd upprepas hela tiden, från början och uppåt. Jag har kunnat beviset en gång när jag läste matematikens filosofi med Peter Gärdenfors som lärare på 70-talet, men jag minns det inte längre.

Lite mer tankar kring oändligheter
Kontinuet i form av en linje är lika tät som kontinuet i vilket antal dimensioner som helst, dvs. innehåller "lika många punkter" och är icke uppräknelig. Det finns en funktion med vars hjälp man kan bevisa  detta - den minns jag inte heller. Med hjälp av diagonalbeviset kan man visa att vi med hjälp av decimaltalen kan skapa en icke uppräknelig mängd, analog med kontinuet. Det tycker jag är intressant.

Är kontinuet bara en matematisk fiktion, en tankekonstruktion? Martinus nyttjar det tänkta kontinuets egenskaper för att med mycket simpel matematik försöka bevisa att "alla storlekar (i vår fysiska värld) är oändliga", genom att varje storlek, varje sträcka, t.ex., kan halveras oändligt antal gånger utan att man når noll. Han fattade nog inte hur Akilles kunde komma förbi sköldpaddan.

Innebär en fraktal bild av kosmos att delen är lika oändlig som helheten eller att den bara avbildar helheten men på ett förenklat sätt? Människan som ett mikrokosmos. "En värld är varje människa", skriver Ekelöf i Färjesång.

A

[suchanother]

Snyggt Algot med du går runt problemet.
Gödel gjorde en en-tydig korrespondens mellan talsystemet och det (ändliga) axiomatiska systemet. Härvid visade han genom enkel aritmetik att det slutna systemet inte kunde vara fullständigt eftersom..ja.. vadå?

Detta är frågan för dagen.

[archaxe]

Förresten Algotezza, jag kom på ett betydligt enklare argument: eftersom logisk giltighet avgörs enbart på formell basis (syntax) är sanningen (eller falskheten) hos premisserna totalt irrelevant för giltigheten eftersom det (sanningen/falskheten) är en fråga om semantik, inte syntax.

Härvid visade han genom enkel aritmetik att det slutna systemet inte kunde vara fullständigt eftersom..ja.. vadå?

Eftersom vi vet att det finns satser som är sanna i systemet men som vi likväl inte kan bevisa inom det befintliga systemet. Lögnarparadoxen, exempelvis. Men "enkel aritmetik"?

[Algotezza]

Snyggt Algot med du går runt problemet.
Gödel gjorde en en-tydig korrespondens mellan talsystemet och det (ändliga) axiomatiska systemet. Härvid visade han genom enkel aritmetik att det slutna systemet inte kunde vara fullständigt eftersom..ja.. vadå?

Detta är frågan för dagen.

Är talsystemet slutet? På vilket sätt, när det är oändligt, utan slut?

Varför kan ett slutet system inte vara fullständigt?

Alfabetet, grammatiken, ordbildningen, syntaxen...,  är ett begränsat system som kan uttrycka alla verbaliserade tankar i form av meningsbärande bokstavskombinationer och dessa ordnade till språkliga utsagor, inte bara sakpåståenden, som är det enda logiken intresserar sig för, utan även allt annat som handlar om emotionella uttryck och värderingar, samt även nonsens.

/ G = A

[Algotezza]

Förresten Algotezza, jag kom på ett betydligt enklare argument: eftersom logisk giltighet avgörs enbart på formell basis (syntax) är sanningen (eller falskheten) hos premisserna totalt irrelevant för giltigheten eftersom det (sanningen/falskheten) är en fråga om semantik, inte syntax.

Hur menar du? Logiken sysslar med analytiskt sanna och analytiskt falska påståenden (tautologier resp. kontradiktioner) samt syntetiska påståenden som kan vara sanna eller falska, eftersom de handlar om den yttre verkligheten och hur denna är beskaffad. Handlar logik bara om analytiska utsagor, menar du?

Härvid visade han genom enkel aritmetik att det slutna systemet inte kunde vara fullständigt eftersom..ja.. vadå?

Eftersom vi vet att det finns satser som är sanna i systemet men som vi likväl inte kan bevisa inom det befintliga systemet. Lögnarparadoxen, exempelvis. Men "enkel aritmetik"?

Hur många satser kan man rent konrket peka på som är sanna men obevisbara? Har Gödel någonsin konkretiserat dessa satser? Eller skall vi nöja oss med att de "liksom i princip" är möjliga?

A

[archaxe]

Hur menar du? Logiken sysslar med analytiskt sanna och analytiskt falska påståenden (tautologier resp. kontradiktioner) samt syntetiska påståenden som kan vara sanna eller falska, eftersom de handlar om den yttre verkligheten och hur denna är beskaffad. Handlar logik bara om analytiska utsagor, menar du?

Ja, kanske sysslar logiken med analytiska påståenden, men min poäng är att innehållet i dessa påståenden är obetydlig för den logiska giltigheten, som avgörs enbart med avseende på formen hos argumentet. Det spelar alltså ingen roll [för giltigheten] vilken tolkning man ger påståendena - och sanningen (resp. falskheten) hos påståendena måste väl ändå vara avhängig tolkning?
Detta då som svar på ditt ursprungliga påstående att alla argument med falska premisser är logiskt giltiga.

[Algotezza]

Hur menar du? Logiken sysslar med analytiskt sanna och analytiskt falska påståenden (tautologier resp. kontradiktioner) samt syntetiska påståenden som kan vara sanna eller falska, eftersom de handlar om den yttre verkligheten och hur denna är beskaffad. Handlar logik bara om analytiska utsagor, menar du?

Ja, kanske sysslar logiken med analytiska påståenden, men min poäng är att innehållet i dessa påståenden är obetydlig för den logiska giltigheten, som avgörs enbart med avseende på formen hos argumentet. Det spelar alltså ingen roll [för giltigheten] vilken tolkning man ger påståendena - och sanningen (resp. falskheten) hos påståendena måste väl ändå vara avhängig tolkning?
Detta då som svar på ditt ursprungliga påstående att alla argument med falska premisser är logiskt giltiga.

Jovisst, men om premisserna är sanna är slutledningen giltig endast om premisserna är det. Så sanna premisser spelar en roll... Annars vore det ingen större vits med logik som tankeverktyg...

A

[Harold]

Bara en snabb kommentar om de omtalade "otänkbara" världarna: det märkliga med dessa är att de inte finns. Anledningen är följande:

Om du påstår att det finns otänkbara världar, måste jag fråga dig ifall du tänkte dig dessa, innan du yttrade detta påstående. På denna fråga måste du svara ja. (Detta är uppenbart, men om du skulle svara nej, skulle jag ju kunna avfärda ditt påstående med motiveringen att du inte ens har tänkt igenom det du påstår, ja du vet inte ens vad du pratar om, eftersom du inte ens har tänkt dig det.) Men om du nu har tänkt dig de otänktbara världarna, så är de ju trots allt tänkbara!