Att lägga till och dra bort i en oändlighet

[Algotezza]

Vad jag dock inte förstår är varför matematikerna upplever att det så självklart övertrumfar den motstridiga intuitionen att "inget kan vara större än oändligheten" (exempel på den sistnämnda intuitionen är intuitionen att "ingen mängd pingisbollar kan vara större än en given oändlig mängd pingisbollar").

...

Jag tror å andra sidan att det kan vara så att ett oändligt antal pingisbollar (oavsett om det är s.k. uppräkneligt oändligt eller s.k. ouppräkneligt oändligt) verkligen ökar redan av att bara ökas genom multiplicering med ett ändligt tal.

Så din intuition säger både att alla oändligheter måste vara lika stora och att en oändlighet kan vara dubbelt så stor som en annan.

Intuitionen ger alltså inte mycket till vägledning i frågan.

Återstår då att ägna sig åt matematik istället. Vad man gör då är att man definierar sina begrepp noggrant och studerar vilka logiska konsekvenser det medför. Sålunda definierar man begrepp som bijektivitet och kardinalitet. Sedan upptäcker man (leder i bevis) att det finns oändliga mängder (t.ex. N och R) för vilka ingen bijektiv avbildning är möjlig och som därmed är av olika kardinalitet. Inte knepigare än så.

Om detta sedan har någon relevans "i verkligheten" har liksom inte med saken att göra. Matematiken har inte som huvudsaklig uppgift att modellera verkligheten. Det finns andra vetenskaper som ägnar sig åt det.

Precis. Premisserna i matematik och logik är definitioner, axiom och slutledningsregler, så får man se vad det leder till för konsekvenser. Och så använder man allmänt vedertagna symbolspråk.

Pingisbollsproblemet är ett hybridproblem eller kvasimatematiskt problem, där man mixar det matematiska med det förment fysiskt verkliga. Man får välja: skall det betraktas som ett matematiskt problem eller ett fysikaliskt? I båda fallen måste man renodla problemets förutsättningar. Annars hamnar man i den missvisande intuitionens gråzon många inlägg har ger uttryck åt.

Intuition kan man delvis följa i sin fysiska vardagsverklighet och hamna hyfsat rätt, men det går inte inom matematiken och logiken. Där leder intuitionen oftast fel.

Är N möjlig att entydigt definiera? Via begrepp som "efterföljare" o.d.? Hur är det med andra oändliga mängder - går de att entydigt definiera?

Med vänlig hälsning Algotezza

[Rorschach]

För att spara tid för de läsare som inte vill läsa en lång diskussion om "vem som sagt vad och avsett vad", kanske ni två som fört den diskussionen skulle vilja skicka varsin förfrågan till moderator om att ta bort de onödiga inläggen i fråga? De inläggen kunde ersättas med ett enda, typ:

"Om mängden pingisbollar är uppräkneligt oändlig, är varje oändligt stor delmängd av pingisbollarna lika stor som den totala mängden pingisbollar. Detsamma anses dock inte behöva gälla om mängden pingisbollar är ouppräkneligt oändlig".

De som inte vill läsa hela tråden kan redan nu lösa det genom att låta bli. Angående frågor av typen "vem som sagt och avsett vad" så är det ibland nödvändigt att be om förtydliganden för att göra annars obegripliga utsagor begripliga.

[Justin Case]

Vad jag dock inte förstår är varför matematikerna upplever att det så självklart övertrumfar den motstridiga intuitionen att "inget kan vara större än oändligheten" (exempel på den sistnämnda intuitionen är intuitionen att "ingen mängd pingisbollar kan vara större än en given oändlig mängd pingisbollar").

...

Jag tror å andra sidan att det kan vara så att ett oändligt antal pingisbollar (oavsett om det är s.k. uppräkneligt oändligt eller s.k. ouppräkneligt oändligt) verkligen ökar redan av att bara ökas genom multiplicering med ett ändligt tal.

Så din intuition säger både att alla oändligheter måste vara lika stora och att en oändlighet kan vara dubbelt så stor som en annan.

Det blir här vilseledande att tala om "min intuition", som om jag bara hade en enda. En del av mina intuitioner säger en sak, en del en annan. Det finns inget sådant som "ren matematik" eller "ren logik" som ensam kan påverka mig till en inställning i någon matematisk fråga. Det krävs att någon intuition påverkar mig till att köpa denna "rena matematik" eller "rena logik". Även matematiska tankar väljer och vrakar jag baserat på intuitioner.

När då ungefär lika mycket av mina intuitioner talar ungefär lika starkt i två med varandra oförenliga riktningar, tror att jag tills vidare bör hålla båda möjligheterna öppna - så öppna som dessa möjligheters respektive intuitioner känns starka.

Det är som när vissa faktorer tyder på att ens aktier snart kommer att stiga kraftigt i värde, och andra talar för att de snart kommer att sjunka kraftigt i värde. Det kan då vara rationellt att avvakta med att sälja tills vidare, men att å andra sidan inte heller köpa fler. Inte för att en sådan medelväg måste vara det bästa beslutet, men inget talar kanske heller övertygande för att något annat beslut vore bättre. Så känns läget inom oändlighetsmatematik för mig.

Kan någon förklara varför det där bijektionstänket - ett tänk som precis som vanlig "1+1=2"-matte är beroende av ett godkännande från någon eller några av våra intuitioner för att vi ska uppleva det som övertygande - kan någon förklara varför detta bijektionstänk så självklart skulle förtjäna mer stöd från våra intuitioner än vad "1+1=2"-matte ska?

Intuitionen ger alltså inte mycket till vägledning i frågan.

Det finns heller inget annat än intuitioner som kan ge vägledning i frågan, om vi kastar bort alla våra intuitioner.

Återstår då att ägna sig åt matematik istället.

Det är det vi har gjort hela tiden, ledda av olika intuitioner på vägen. Bijektionstänk är inte mer matematiskt till sin natur, och inte heller mindre intuitionsberoende, än vad det "1+1=2"-tänk är som bijektionstänket syftar till att "vederlägga" inom oändlighetsdiskussionen. För att vi ska kunna syssla med matematik är vi hela tiden beroende av våra intuitioner. Det är godtyckligt att bara kasta bort vissa av intuitionerna men inte andra. Och nej, du kan inte kasta bort alla dina intuitioner om du ska kunna räkna matte överhuvudtaget. Om du nu verkligen kastade bort alla dina intuitioner (d.v.s. om du mot förmodan skulle lyckas med det), skulle du bli ett apatiskt kolli helt utan lust att ägna matte eller logiska samband (t.ex. av typen bijektionstänk) den minsta uppmärksamhet. Ett sådant kolli är du uppenbarligen inte. Detta eftersom du, liksom jag, förlitar dig på intuitioiner.

Vad man gör då är att man definierar sina begrepp noggrant och studerar vilka logiska konsekvenser det medför.

Utan några intuitioner för vad som är logiskt och inte logiskt, skulle vi inte uppleva det som befogat att utföra något sådant definierande eller bedriva några sådana studier överhuvudtaget.

Sålunda definierar man begrepp som bijektivitet och kardinalitet. Sedan upptäcker man (leder i bevis) att det finns oändliga mängder (t.ex. N och R) för vilka ingen bijektiv avbildning är möjlig och som därmed är av olika kardinalitet.

Även dessa tankeled är beroende av att vi leds genom dem av våra intuitioner.

Om detta sedan har någon relevans "i verkligheten" har liksom inte med saken att göra. Matematiken har inte som huvudsaklig uppgift att modellera verkligheten.

Så kanske många hängivna matematiker tycker, men de flesta människor av de flesta kategorier anser nog (i alla fall efter en noggrann eftertanke) att matematikens största förtjänst är just att den på så oerhört många områden gör våra liv bättre och lättare just genom att modellera verkligheten. Tänk vad mycket fantastiska uppfinningar, tillväxt, infrastruktur m.m. matematiken möjliggjort genom tiderna!

Vore det främst för matematikers nöjes skull (eller i något ännu mindre mätbart syfte) som så mycket skattemedel avsattes för matteundervisning som är fallet idag, skulle skattebetalarna göra klokt i att kräva ett avskaffande av nästan all skattefinansierad matteutbildning. Även grundforskning i matematik, grundforskning som uttalat inte ska syfta till några framsteg som kommer samhället till godo materiellt inom en överskådlig framtid, skulle vara nästintill omöjlig att försvara att ge en massa skattepengar till, som idag, om det inte vore för det faktum att man tror att den med lite tur kan leda till enorma framsteg, inom en icke överskådlig framtid, framsteg som då till slut kommer samhället till godo materiellt.

Det finns andra vetenskaper som ägnar sig åt det.

De där andra vetenskaperna du syftar på är nästan alltid beroende av matte på allehanda sätt. Därför kan man väl säga att matte oftast syftar till att modellera verkligheten. (Även om det kanske inte är så jättemånga av just matematikerna som har det syftet med matte).

[Jörgen]

har inte läst igenom hela tråden,
men bidrar ändå med följande exemplet,
som jag gillar bättre än pingisbollarna:

en linje, eller ett sträck innehåller hur många punkter?
- oändligt många, och även om man halverar föreställningen
oändligt många gånger,så innehåller alltid resten oändligt många
punkter.

bevises bland annat med formeln:

helheten
minus hälften
minus hälften av hälften
minus hälften av hälften av hälften
minus hälften av hälften av hälften av hälften
(detta fortsätter i all oändlighet)
blir aldrig noll.

[Algotezza]

har inte läst igenom hela tråden,
men bidrar ändå med följande exemplet,
som jag gillar bättre än pingisbollarna:

en linje, eller ett sträck innehåller hur många punkter?
- oändligt många, och även om man halverar föreställningen
oändligt många gånger,så innehåller alltid resten oändligt många
punkter.

bevises bland annat med formeln:

helheten
minus hälften
minus hälften av hälften
minus hälften av hälften av hälften
minus hälften av hälften av hälften av hälften
(detta fortsätter i all oändlighet)
blir aldrig noll.

Limes blir noll. Om du just fortsätter "i all oändlighet". Infinitesmalkalkyl, you know. Som kanske motsäger intuitionen...

Med vänlig hälsning Algotezza

[Rorschach]

Kan någon förklara varför det där bijektionstänket - ett tänk som precis som vanlig "1+1=2"-matte är beroende av ett godkännande från någon eller några av våra intuitioner för att vi ska uppleva det som övertygande - kan någon förklara varför detta bijektionstänk så självklart skulle förtjäna mer stöd från våra intuitioner än vad "1+1=2"-matte ska?

Ett helt obegripligt stycke text som kan betyda i princip vad som helst. Vad menar du med: "bijektionstänket" och "1+1=2"-matte?

[Dura M]

Även matematiska tankar väljer och vrakar jag baserat på intuitioner.

Vilket förmodligen är anledningen till att du är helt lost när det kommer till oändligheter. (Jag har ju diskuterat oändligheter med dig tidigare.)

Bijektionstänk är inte mer matematiskt till sin natur, och inte heller mindre intuitionsberoende, än vad det "1+1=2"-tänk är som bijektionstänket syftar till att "vederlägga" inom oändlighetsdiskussionen.

Vad dillar du om? "Bijektionstänk" som syftar till att vederlägga "1+1=2-tänk"?? Vad man gör är alltså att tydligt definiera sina begrepp. Sedan studerar man vad det leder till. Du är naturligtvis fri att tycka att det matematiska begreppet "kardinalitet" inte fullt ut överensstämmer med din intuitiva förståelse av begreppet "antal" eller mängders storlek. Du är givetvis också välkommen att komma med egna förslag på hur man kan definiera ett matematiskt begrepp som ligger närmare din intuition. Problemet är förstås att din intuition är motstridig, så det är svårt att se hur du skall lyckas.

Så kanske många hängivna matematiker tycker, men de flesta människor av de flesta kategorier anser nog (i alla fall efter en noggrann eftertanke) att matematikens största förtjänst är just att den på så oerhört många områden gör våra liv bättre och lättare just genom att modellera verkligheten. Tänk vad mycket fantastiska uppfinningar, tillväxt, infrastruktur m.m. matematiken möjliggjort genom tiderna!

Det är fortfarande inte matematikerna som modellerar verkligheten. Det är fysiker, kemister, m.fl. som gör det. Att de sedan formulerar sina modeller som matematiska formler är en annan sak. Ingen påstår att matematiken är oanvändbar.

[Rorschach]

Är N möjlig att entydigt definiera? Via begrepp som "efterföljare" o.d.? Hur är det med andra oändliga mängder - går de att entydigt definiera?

Det beror på vad vi menar med att "entydigt definiera", vad vi har för krav på en sådan definition. Dedekind karaktäriserade de naturliga talen genom att säga att det finns ett första naturligt tal, som vi kan kalla 0. Vidare så har varje naturligt tal en unik efterföljare, vilken kan betecknas s(n). Då blir de naturliga talen 0, s(0),s(s(0)), och så vidare. "s(n)" är här en operation som behöver uppfylla ett par kriterier. Det första är att s(n) inte är 0 för något naturligt tal. Det andra är att om s(n)=s(m) så är n=m, för alla naturliga tal n,m.

Om vi har en annan följd, 0',s'(0'),s'(s'(0')), ... där operationen s'(n') även den uppfyller de tidigare nämnda kriterierna så är de två följderna isomorfa. Det innebär att man kan para ihop talen i de båda följderna med varandra, 0 med 0' och s(n) med s'(n') om n paras ihop med n'.

I många sammanhang är det fullt tillräckligt att förstå naturligt tal som något som karaktäriseras som ovan. Ibland kan det vara bra att definiera 0 och operationen s, exempelvis för att kunna identifiera de naturliga talen i någon annan större mängd.

[Justin Case]

Även matematiska tankar väljer och vrakar jag baserat på intuitioner.

Vilket förmodligen är anledningen till att du är helt lost när det kommer till oändligheter.

Inte mer lost än någon annan, tror jag. Matematikerna argumenterar för att vi ska vara misstänksamma mot våra intuitioner. De hänvisar till att två av människans intuitioner säger emot varandra när det gäller oändlighet:
1) en intuition säger oss spontant att "en oändlighet är en oändlighet", och att det därför inte kan finnas olika stora oändligt stora tal, d.v.s. att alla oändligt stora tal är lika stora.
2) en annan intuition säger oss spontant att om man tar ett tal x som är större än noll och multiplicerar det med två, får man ett tal som är större än x.
Båda dessa intuitioner kan inte vara sanna, för en oändlighet gånger två måste antingen vara större än den ursprungliga oändligheten eller inte vara det. Matematikerna hävdar att detta bevisar att vi inte ska lita på våra intuitioner, och att det därför är bättre att lita på "matematiska bevis".
Men jag hävdar att matematiska bevis inte är något annat än intuitioner kombinerade med varandra, och alltså kanske om något rentav ett bräckligare korthus än vad en enda relativt pålitlig intuition kan vara. Ingen kedja är ju starkare än sin svagaste länk.
Vad menar jag då med att alla matematiska bevis består uteslutande av intuitioner kombinerade med varandra? Låt oss se på det allmänt vedertagna försanthållandet att matematiken över huvud taget har något vettigt att komma med, när det gäller att ta reda på hur det ligger till med någonting.
Det försanthållandet vilar på ett par grundläggande antaganden:
- antagandet att vi har erfarenheten - d.v.s. minnet av, för alla erfarenheter vi gjort är minnen - att matematik gång på gång visat sig ha något att komma med, vara till nytta för människor, kunna bevisa något som varandes sant, eller på några andra meriter "fallit oss på läppen", och/eller att andra påstår - eller att vi läser i böcker och liknande - att matematiken visat sig kunna detta.
- antagandet att det vi har minne av är pålitligt.
Dessa två grundläggande antaganden då, vad baseras de i sin tur på? Om man nystar tillräckligt, kommer man till slut (eller kanske redan på detta stadium) fram till att allt vi håller för sant, inklusive allt vi håller för sant om matematik, förutsätter vår förmåga att "känna på oss saker", med andra ord intuition.

Därför, när matematiker säger att matematik är mer pålitlig, vid behandling av oändliga mängder, än vad våra intuitioner är, är det som om någon skulle säga "fruktsallad är godare än vad frukt är". Det är en förvirrande typ av påstående. Fruktsallad består ju av frukter. Vad man spontant misstänker om någon säger att fruktsallad är godare än vad frukt är, är att han/hon menar att fruktsallad är godare än vad någon enskild, ensam frukt är. Alternativt misstänker man, kanske befogat, med tanke på det förvirrande ordvalet, att vederbörande inte vet att fruktsallad består av frukter.

Vad finns det som talar för att de intuitioner, som den etablerade mängdläran liksom all matematik faktiskt är uppbyggd av, skulle leda till sannare resultat i frågan om oändliga mängder, än vad en enskild intuition, t.ex. intuitionen att allt som är större än noll och multipliceras med två blir två gånger större, gör?

Bijektionstänk är inte mer matematiskt till sin natur, och inte heller mindre intuitionsberoende, än vad det "1+1=2"-tänk är som bijektionstänket syftar till att "vederlägga" inom oändlighetsdiskussionen.

Vad dillar du om? "Bijektionstänk" som syftar till att vederlägga "1+1=2-tänk"??

Med bijektionstänk menar jag det tänk som Cantors teorem utgörs av, nämligen att det måste vara så att mängden av alla reella tal är större än mängden av alla naturliga tal bara för att ingen (än så länge) lyckats tänka sig något sätt på vilket dessa två mängders element skulle kunna vara i bijektion med varandra.

Vad man gör är alltså att tydligt definiera sina begrepp.

Och även det gör man baserat på intuitioner och inget annat. Logik och definitioner är bara en radda intuitioner kombinerade med varandra.

Sedan studerar man vad det leder till.

Och även vad vi upplever som varandes vår "iakttagelse" av "vad det leder till" är en tolkning, och därmed något som styrs helt av våra intuitioner.

Du är naturligtvis fri att tycka att det matematiska begreppet "kardinalitet" inte fullt ut överensstämmer med din intuitiva förståelse av begreppet "antal" eller mängders storlek. Du är givetvis också välkommen att komma med egna förslag på hur man kan definiera ett matematiskt begrepp som ligger närmare din intuition. Problemet är förstås att din intuition är motstridig, så det är svårt att se hur du skall lyckas.

Min intuition är inte motstridig, för det är inte fråga om en intuition. Och det är inte bara jag - alla matematiker har intuitioner som talar i olika riktning, i massor av sammanhang. Även de har de två intuitioner jag nämnt, som strider emot varandra när det gäller oändliga mängder. De har därutöver fått för sig att matematik är något väsenskilt från intuitioner, att matematik inte bara består av intuitioner. Det är det antagandet jag bestrider.

Det är fortfarande inte matematikerna som modellerar verkligheten.

Mitt intryck är att matematikerna modellerar verkligheten genom att översätta den, från (vad som känns som) minnen av sinnesintryck, till medvetet konstruerade inre representationer av dessa minnen, även kallade symboler, funktioner, talförhållanden etc.

[Dura M]

Vad finns det som talar för att de intuitioner, som den etablerade mängdläran liksom all matematik faktiskt är uppbyggd av, skulle leda till sannare resultat i frågan om oändliga mängder, än vad en enskild intuition, t.ex. intuitionen att allt som är större än noll och multipliceras med två blir två gånger större, gör?

Sannare resultat? Vem påstår något sådant? Vad skulle det ens betyda?

Med bijektionstänk menar jag det tänk som Cantors teorem utgörs av, nämligen att det måste vara så att mängden av alla reella tal är större än mängden av alla naturliga tal bara för att ingen (än så länge) lyckats tänka sig något sätt på vilket dessa två mängders element skulle kunna vara i bijektion med varandra.

Det är som sagt helt enkelt en följd av valda definitioner. Det finns naturligtvis inget "syfte att vederlägga" något med det. Välj andra definitioner om du vill. Följ vilka intuitioner du vill. Gå emot vilka du vill. Ingen hindrar dig.

[Justin Case]

Vad finns det som talar för att de intuitioner, som den etablerade mängdläran liksom all matematik faktiskt är uppbyggd av, skulle leda till sannare resultat i frågan om oändliga mängder, än vad en enskild intuition, t.ex. intuitionen att allt som är större än noll och multipliceras med två blir två gånger större, gör?

Sannare resultat? Vem påstår något sådant? Vad skulle det ens betyda?

Jag tror du vet vad jag menar.

Det är som sagt helt enkelt en följd av valda definitioner. Det finns naturligtvis inget "syfte att vederlägga" något med det.

Jag trodde att matematiker (i alla fall vissa matematiker) pekar på Cantors teorem i syfte att vederlägga den vanliga intuitionen att det inte kan finnas vissa oändliga mängder som är större än andra oändliga mängder. Samt kanske att detta även var Cantors syfte med att formulera teoremet. Men även om så inte är fallet, är kanske denna fråga om syfte ingen viktig fråga i sammanhanget.

Välj andra definitioner om du vill. Följ vilka intuitioner du vill. Gå emot vilka du vill.

Att säga "följ vilka intuitioner du vill, gå emot vilka du vill" tycks mig vara detsamma som att säga att det inte är någon mening med att ifrågasätta rådande värderingar (värderingar hos en själv och/eller hos andra) och att det inte spelar någon roll vilka intuitioner man följer, d.v.s. vilka intuitioner man låter påverka ens handlingar. Det tycks mig vara en potentiellt mycket farlig inställning.

[Dura M]

Jag tror du vet vad jag menar.

I så fall hade jag inte frågat. Förklara gärna. Vad menar du med "sannare resultat i frågan om oändliga mängder"?

Att säga "följ vilka intuitioner du vill, gå emot vilka du vill" tycks mig vara detsamma som att säga att det inte är någon mening med att ifrågasätta rådande värderingar (värderingar hos en själv och/eller hos andra) och att det inte spelar någon roll vilka intuitioner man följer, d.v.s. vilka intuitioner man låter påverka ens handlingar. Det tycks mig vara en potentiellt mycket farlig inställning.

Ja, matematik är jättefarligt! Det är subversivt till sin natur! Vi leker gudar när vi definierar de matematiska begreppen!!

[freddemalte]

Satt och läste lite på forumet när jag ramlade över detta som justin case skrev:

Utilitarismen, liksom faktiskt alla ideologier och idéer som har som beståndsdel att "ju mer av x, desto bättre", eller "ju mindre av x, desto bättre" verkar få problem om universum är oändligt. Om universum är oändligt, tycks det vara så att vad man än anser bör maximeras - t.ex. lycka, preferenstillfredsställelser, goda handlingar, utveckling, skönhet etc - eller minimeras - t.ex. lidande, preferensfrustrering etc - så stöter man på problemet att det redan finns oändligt mycket av alla de där sakerna i universum oavsett vad man som ändlig varelse gör. En oändlig mängd av något kan inte ökas eller minskas genom tilläggande eller borttagande av en ändlig mängd av detta något.

Problemet tas upp på:

http://www.nickbostrom.com/ethics/infinite.pdf

Jag tänkte mig då ett universum bestående av ungefär lika många svarta som vita pingisbollar. Vidare tänkte jag mig att om en svart pingisboll konverterades till en vit i ett oändligt universum så måste antalet vita pingisbollar öka. Tänk såhär: Om vi applicerar principen att i oändlighet konvertera pingisbollar så ser vi framför oss att de vita ökar. Och det måste väl ändå vara detta som ligger till grund för problemet som var aktuellt här. Att det inte går att lägga till det ena eller andra i ett oändligt universum då den totala mängden inte kan ökas eller minskas i en inbördes relation synes mig felaktigt om jag i en oändlighet kan observera en dominans av det ena eller andra? Detta om vi utgår ifrån att en princip implanteras i en oändlighet. Vi måste således kunna acceptera en sådan princip.

Vidare: En oändlighet är väl ändå konstant; om vi nu har ett universum av vita och svarta pingisbollar så måste den vita färgen öka sin dominans om svarta pingisbollar börjar konverteras? Det är ju inte så att vi kan börja skjuta in fler svarta pingisbollar i oändligheten för att kompensera upp bristen?

Rätta mig om jag tänker fel.

/Johan

Jag tänkte mig då ett universum bestående av ungefär lika många svarta som vita pingisbollar. Vidare tänkte jag mig att om en svart pingisboll konverterades till en vit i ett oändligt universum så måste antalet vita pingisbollar öka.

Antalet vita pingisbollar torde enbart kunna öka via konverteringsprocessen om, och endast om, de utgör ett begränsat antal från början. Om det dock finns oändligt många vita bollar så påverkas inte "antalet" (felaktigt ord) eftersom de är oändligt många.

Tänk såhär: Om vi applicerar principen att i oändlighet konvertera pingisbollar så ser vi framför oss att de vita ökar.

Jo men det beror nog mer på vår oförmåga att abstrahera oändligheten. En oändlig konvertering skulle inte heller göra någon skillnad (så som jag ser på oändligheten).

Att det inte går att lägga till det ena eller andra i ett oändligt universum då den totala mängden inte kan ökas eller minskas i en inbördes relation synes mig felaktigt om jag i en oändlighet kan observera en dominans av det ena eller andra?

Om du hade haft en oändlig observationsförmåga (vilket vi inte kan ha med en begränsad fysionomi) skulle du antagligen ha uppfattat att läget var oförändrat.

En oändlighet är väl ändå konstant; om vi nu har ett universum av vita och svarta pingisbollar så måste den vita färgen öka sin dominans om svarta pingisbollar börjar konverteras? Det är ju inte så att vi kan börja skjuta in fler svarta pingisbollar i oändligheten för att kompensera upp bristen?

Jag tror att du misstar dig på så sätt att du tänker dig oändligheten som ett visst antal pingisbollar, men det är det ju inte, det är ju oändligt - tar aldrig slut. Ett visst antal tar ju slut.

Vänligen

Fredrik

[Johan Ågren]

Poängen är att det kan råda en dominans av svarta eller vita "pingisbollar" även om det existerar oändligt många av varje sort. Detta om man inkluderar en dimension till. Om man applicerar en princip på evigheten att en viss procent konverteras så kommer densiteten av den ena eller andra sorten att öka i förhållande till den andra. Detta är avgörande för användandet av dessa argument när det kommer till den moraliska frågeställningen huruvida lycka kan maximeras i ett oändligt universum. Det kan den.

Att jag blir lyckligare innebär således inte i sig att det finns fler lyckliga människor i universum. Men om principen om lyckomaximering appliceras i oändlighet så kommer vi att se hur dominansen ökar oändligt. Ett universum med ett 30-70 förhållande mellan svarta och vita "pingisbollar" i en oändlighet, innebär med den ytterligare dimensionen att universum består av mer vita än svarta pingisbollar. Och om principen om konvertering appliceras i en oändlighet kommer vi att se att förhållanderna förändras i en oändlighet. Det innebär således att det kan existera dubbelt så mycket av något även om detta och det som det jämförs med båda är oändligt många. Den ytterlugare dimensionen ger oss den relativa densiteten, och det är relevant om man talar om filosofiska universella förhållningsregler som kan appliceras oändligt.

[freddemalte]

Poängen är att det kan råda en dominans av svarta eller vita "pingisbollar" även om det existerar oändligt många av varje sort. Detta om man inkluderar en dimension till. Om man applicerar en princip på evigheten att en viss procent konverteras så kommer densiteten av den ena eller andra sorten att öka i förhållande till den andra. Detta är avgörande för användandet av dessa argument när det kommer till den moraliska frågeställningen huruvida lycka kan maximeras i ett oändligt universum. Det kan den.

Att jag blir lyckligare innebär således inte i sig att det finns fler lyckliga människor i universum. Men om principen om lyckomaximering appliceras i oändlighet så kommer vi att se hur dominansen ökar oändligt. Ett universum med ett 30-70 förhållande mellan svarta och vita "pingisbollar" i en oändlighet, innebär med den ytterligare dimensionen att universum består av mer vita än svarta pingisbollar. Och om principen om konvertering appliceras i en oändlighet kommer vi att se att förhållanderna förändras i en oändlighet. Det innebär således att det kan existera dubbelt så mycket av något även om detta och det som det jämförs med båda är oändligt många. Den ytterlugare dimensionen ger oss den relativa densiteten, och det är relevant om man talar om filosofiska universella förhållningsregler som kan appliceras oändligt.

Men Johan, vad jag försöker säga är att om du har oändligt med svarta bollar och oändligt med vita så kan du aldrig får fler eller färre av respektive i relation till varandra (så länge du inte tar bort alla) då de just är oändligt av dem båda. Dessutom går väl inte procent att applicera på oändligheten?

Lyckan kan då inte maximeras i ett oändligt universum om vi från början antar att där råder en oändlig lycka. Råder det dock en begränsad lycka i det oändliga universumet så går den ju rent teoretiskt att maximera. Men jag antar att en utilitarist inte i första rummet avser ett oändligt universum utan en ändligt jordklot med en begränsad mängd människor?

Men detta är väldigt klurigt, synes det mig. Om vi tänker att vi har oändligt med lyckliga människor, och så blir alla olyckliga eller dör. Ja då har ju den "oändliga lyckan" gått från oändlig till noll. Däremot kan det inte vara så att oändligt med lyckliga människor reduceras eller ökar med ett visst antal eller procent och att det därefter skulle vara mer eller mindre oändligt med lyckliga människor. Så antingen oändligt eller noll.

Så är i alla fall jag benägen att se på fenomenet oändlighet.

Vänligen

Fredrik