Frågor om Cantors teorem

[Zokrates]

Oändligt och oändlighet är bara ord. Hur skulle du vilja definiera dessa om du nu anser att det rådande definitionen inte skulle hålla?

Jag ska göra ett försök, utifrån Hilberts Hotell. Tankeexperimentet Hilberts Hotell anses visa att A+B=A om A är en oändlig mängd och B inte är större än A. Det anses visas genom att man kan (påstås det) föreställa sig ett fullbelagt hotell med oändligt många rum, på vilket det vill bo ytterligare personer, och att så länge de nyanlända inte överstiger antalet rum på det fullbelagda hotellet, går det att lösa situationen trots att alla rum redan är upptagna. Låt oss titta på den variant där det kommer 100 personer och vill ta in på hotellet. Hilbert, ägaren till det redan fullbelagda hotellet, sägs då kunna flytta personerna i rum 1-100 till rum 101-200, flytta personerna i rum 101-200 till rum 201-300, och så vidare, utan ände, och på det sättet frigöra rum 1-100 åt de hundra nyanlända gästerna utan att någon av de ursprungliga gästerna på det redan fullbelagda hotellet behöver bli utan rum.

Även om man bortser från det vansinniga i att låta en oändlig mängd människor byta rum (vilket torde vara ett sammanlagt större besvär än vad det vore för de hundra nyanlända personerna att sova på gatan), är problemet ändå inte löst, eftersom Hilbert aldrig någonsin blir av med problemet att vid varje givet ögonblick minst en gäst för tillfället är rumlös, nämligen den eller de gäster som för tillfället håller på och flyttar till ett annat rum för att lämna plats åt någon annan. Hilbert hade lika gärna kunnat flytta runt de nyanlända 100 plus de boende i t.ex. rum 1-10000, runt, runt mellan rummen 1-10000; det behövs inga oändligt många rum för att lyckas med Hilberts "geniala lösning" (som som sagt inte är någon lösning). Därmed visar tankeexperimentet Hilberts Hotell ingenting alls om hur oändliga mängder fungerar tillsammans med ändliga mängder. Att man ändå fått för sig att det gör det, tror jag är ett tankefel - ett tankefel som tycks mig återkomma ymnigt vid olika slags räkning med oändliga mängder, och som kan ge katastrofala verkningar i det långa loppet om det leder till att vi tänker fel angående universums framtidsutsikter.

Skall du göra ett nytt försök, eller varför inte, försöka dig på att beskriva oändligheten med att försöka beskriva oändligheten med ett oändligt antal försök att beskriva den?

[Justin Case]

Ja, förlöljiga mig du bara, Zokrates. Jag är nog tuffare än somliga tror...

Med det förra inlägget ville jag egentligen bara visa att Hilberts Hotell i vart fall inte är något bra sätt att definiera oändligheten, eftersom det är vilseledande. Jag ville med min ovan beskrivna syn på Hilberts Hotell visa vari min definition av oändlighet skiljer sig från den etablerade. I övrigt kan jag väl skriva under på den etablerade definitionen, d.v.s. att oändlighet är som det låter, utan ände.

[Rorschach]

Ja, förlöljiga mig du bara, Zokrates. Jag är nog tuffare än somliga tror...

Med det förra inlägget ville jag egentligen bara visa att Hilberts Hotell i vart fall inte är något bra sätt att definiera oändligheten, eftersom det är vilseledande. Jag ville med min ovan beskrivna syn på Hilberts Hotell visa vari min definition av oändlighet skiljer sig från den etablerade. I övrigt kan jag väl skriva under på den etablerade definitionen, d.v.s. att oändlighet är som det låter, utan ände.

I många fall kan dessutom utsagor rörande oändliga mängder omformuleras så att de inte refererar till några oändliga mängder eller några mängder alls. Påståendet "mängden av primtal är oändlig" kan exempelvis förstås som en kortare variant av "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n".

[Justin Case]

I många fall kan dessutom utsagor rörande oändliga mängder omformuleras så att de inte refererar till några oändliga mängder eller några mängder alls. Påståendet "mängden av primtal är oändlig" kan exempelvis förstås som en kortare variant av "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n".

Jag bestrider att det "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n". Låt oss se vad som händer om man behandlar det med Hilberts Hotell. Anta alltså att det på Hilberts Hotell finns så många rum som det finns naturliga tal, och att hotellet är helt fullbelagt. Anta sedan att det kommer ytterligare så många människor som det finns primtal och vill ta in på hotellet. Då kan man förledas tro att Hilbert bara behöver flytta de redan inkvarterade gästerna till endast sådana rum som inte har primtal som rumsnummer, och på så sätt få plats med de nya gästerna. Men eftersom hotellet redan var fullbelagt, vore det "tricket" ingen lösning: priset för att de nyanlända gästerna ska få plats är att massor av gäster måste byta rum - en "lösning" som hade kunnat användas även om (det fullbelagda) hotellet endast haft t.ex. 10000 rum och de nyanlända gästerna varit endast så många som det finns primtal mellan 1 och 10000 (även då skulle man ju kunna flytta runt gästerna mellan de 10000 rummen hur länge som helst, t.ex. så länge de nyanlända vill stanna på hotellet, och på så sätt "få plats med fler än det finns rum för"). Hilberts Hotell klarar alltså inte av överbeläggning bättre än vad t.ex. Faulty Towers gör.

Detta visar att det inte stämmer att det för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n. Skulle det finnas det, skulle hotellet i ovan nämnda (av ditt påstående föranledda) variant av Hilberts Hotell inte vara fullbelagt; närmare bestämt skulle Hilbert inte behöva flytta på några gäster, utan det skulle finnas lediga rum åt alla de nyanlända, nämligen ett oändligt antal rum, allihop med primtalsnummer, som allihop har högre rumsnummer än de sedan tidigare upptagna rummen. Men en av premisserna var ju att hotellet redan var fullbelagt, och alltså finns inte några sådana tomma rum alls. Påståendet "för varje primtal p finns det minst ett lika stort naturligt tal n" stämmer. Påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n" stämmer däremot inte. Det finns nämligen inget primtal som är så stort att det är större än varje naturligt tal - det (primtalet) är ju exempelvis självt ett naturligt tal, och ett tal kan inte rimligen vara större än sig självt!

[Justin Case]

Påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n" stämmer däremot inte. Det finns nämligen inget primtal som är så stort att det är större än varje naturligt tal - det (primtalet) är ju exempelvis självt ett naturligt tal, och ett tal kan inte rimligen vara större än sig självt!

Jag antar att man, med påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n", tänker sig att orden "varje naturligt tal n" underförstått inte syftar på varje naturligt tal, utan endast på varje sådant tal som, givet att påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n" är sant, är ett naturligt tal! Påståendet självt förutsätts vara sant som premiss inför påståendet! Cirkelbevisning.

Skulle orden "varje naturligt tal n" i påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n" syfta på verkligen varje naturligt tal, måste de syfta även på varje sådant primtal p som skulle kunna åsyftas i påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n". Men i så fall skulle påståendet motsäga sig självt.

Men underförstått utesluter man tydligen dessa naturliga tal. Och därmed stämmer inte påståendet, givet att "varje naturligt tal n" verkligen betyder "varje naturligt tal n".

[Dura M]

Från början utgick jag nog undermedvetet från att min fråga "vad säger matematiken?" skulle förstås som "vad säger matematikerna?". Matematiken har, vad jag vet, inget medvetande och kan alltså inte svara själv, något matematiker däremot kan. Emellertid har jag av svaren från dig fått intrycket att du trodde att jag menade bokstavligt. Därav förtydligandet. Jag utgår inte från att matematiken själv kan förstå något, och jag utgår därmed inte heller från att matematiken kan svara på några frågor.

Det här börjar bli löjligt. Nej, jag tolkade dig givetvis inte bokstavligt och mitt svar var heller inte bokstavligt menat. Vi är alltså kvar där vi började: "Matematiken säger ingenting om mängden lycka i universum. Varför skulle den göra det?"

Jag har intrycket att diskussionen kör fast därför att du (och andra) inte delar mitt engagemang för lyckomaximering.

Det här började som en diskussion om Cantors sats. Som jag ser det har diskussionen inte så mycket kört fast som spårat ur.

För en som inte bryr sig om maximering av överskottet av lycka över lidande i universum är det säkert lätt att acceptera en sådan sak som att "matematiken säger att vi inte kan öka lyckomängden eller minska lidandemängden i universum ytterligare om dessa mängder redan är oändligt stora" (låt oss kalla denna sats för S) - och svårt att förstå varför jag har svårt att acceptera den.

Varför du har svårt att acceptera det har du redan förklarat till leda. Tro mig, du behöver inte dra det en gång till. Men du har förstås rätt i att jag inte delar ditt engagemang så vi kanske skall lägga ner den diskussionen.

Nu vore i och för sig detta problem (att, om S är sann, inte ens den enskilde individen kan påverka hur bra framtid han/hon får) ett problem endast under förutsättning att man kommer att leva i evighet. Men som jag visat i andra trådar går det att bevisa att varje individ lever i evighet. Men det verkar inte så många ha accepterat.

Att inte så många har accepterat det kanske kan vara en vink. Du tycks ha en ganska egen syn på det här med bevisning.

[Dura M]

Även om man bortser från det vansinniga i att låta en oändlig mängd människor byta rum (vilket torde vara ett sammanlagt större besvär än vad det vore för de hundra nyanlända personerna att sova på gatan), är problemet ändå inte löst, eftersom Hilbert aldrig någonsin blir av med problemet att vid varje givet ögonblick minst en gäst för tillfället är rumlös, nämligen den eller de gäster som för tillfället håller på och flyttar till ett annat rum för att lämna plats åt någon annan.

Alla gäster kan ju flytta samtidigt: Vid en given tidpunkt kliver alla gäster ur sina nuvarande rum och går till sina nya rum. Sedan flyttar de nya gästerna in och allt är klart. Ingen blir utan rum.

För övrigt är dina senaste svar till Rorschach bland det snurrigaste jag har läst på länge.

[Rorschach]

Jag bestrider att det "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n".

Det kan man förstås bestrida. Du kanske har ett exempel på ett naturligt tal för vilket påståendet inte stämmer?

Påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n" stämmer däremot inte. Det finns nämligen inget primtal som är så stort att det är större än varje naturligt tal - det (primtalet) är ju exempelvis självt ett naturligt tal, och ett tal kan inte rimligen vara större än sig självt!

Prova att läsa påståendet och din invändning igen och försök hitta felet i invändningen.

[Rorschach]

Skulle orden "varje naturligt tal n" i påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n" syfta på verkligen varje naturligt tal, måste de syfta även på varje sådant primtal p som skulle kunna åsyftas i påståendet "för varje naturligt tal n finns ett primtal p så att p är större än n". Men i så fall skulle påståendet motsäga sig självt.

Hur menar du att detta påstående motsäger sig självt? Givetvis så är påståendet "för varje primtal p1 finns ett primtal p2 så att p2 är större än p1" sant, likaså påståendet "för varje naturligt tal n1 finns ett naturligt tal n2 så att n2 är större än n1".

[Dura M]

Hur menar du att detta påstående motsäger sig självt? Givetvis så är påståendet "för varje primtal p1 finns ett primtal p2 så att p2 är större än p1" sant, likaså påståendet "för varje naturligt tal n1 finns ett naturligt tal n2 så att n2 är större än n1".

Av någon anledning verkar JC tolka påståenden av typen "för varje x finns ett y sådant att P(x,y)" som "det finns ett y sådant att för varje x är P(x,y)". Han förväxlar alltså "∀x ∃y P(x,y)" med "∃y ∀x P(x,y)". Tips till JC: Gör inte det!

[Justin Case]

Alla gäster kan ju flytta samtidigt: Vid en given tidpunkt kliver alla gäster ur sina nuvarande rum och går till sina nya rum. Sedan flyttar de nya gästerna in och allt är klart. Ingen blir utan rum.

Om den lösningen frigör rum åt de nyanlända 100 personerna trots att hotellet redan är fullbelagt, borde det även funka att låta alla de ursprungliga gästerna på en given tidpunkt flytta ut ur sina rum och därefter genast tillbaka till sina ursprungliga rum (var och en till samma rum som tidigare), medan de nya gästerna flyttar in i de rum som nu borde ha frigjorts. Det kan ju inte spela någon roll vilka rum de ursprungliga gästerna flyttar in i efter att ha flyttat ut; dessa gäster är ju fortfarande precis lika många som tidigare och även det totala antalet rum på hotellet är precis lika stort som tidigare. Men varför skulle det då spela roll om de alls flyttar ut ur sina rum? Det kan det rimligen inte göra. Så eftersom hotellet var fullbelagt från början, går det inte att få in de 100 nyanlända gästerna.

[Justin Case]

Givetvis så är påståendet "för varje primtal p1 finns ett primtal p2 så att p2 är större än p1" sant, likaså påståendet "för varje naturligt tal n1 finns ett naturligt tal n2 så att n2 är större än n1".

Nej, även det bestrider jag. För att påståendet "för varje primtal p1 finns ett primtal p2 så att p2 är större än p1" ska kunna vara sant, kan p2 inte ingå i den mängd primtal ur vilken man med påståendets första ord - "för varje primtal p1" - underförstår att man kan föreställa sig att man kan välja ut ett valfritt primtal p1 med följden att påståendet i fråga därmed blir sant. Men då syftar ju inte orden "varje primtal p1" (i påståendet) på varje primtal, utan endast på "varje sådant primtal som det finns ett primtal som är större än" - vilket inte betyder samma sak som "varje primtal".

Motsvarande gäller n1 och n2.

[Justin Case]

Av någon anledning verkar JC tolka påståenden av typen "för varje x finns ett y sådant att P(x,y)" som "det finns ett y sådant att för varje x är  P(x,y)".

Så tolkar jag det inte. För att påståendet "det finns ett y sådant att för varje x är P(x,y)" ska vara sant, måste det finnas ett y som vore större än vilket x man än skulle välja. Jag påstår inte att det måste finnas ett naturligt tal som vore större än vilket primtal man än skulle välja, men jag bestrider även att det omvända skulle vara fallet.

[Dura M]

Alla gäster kan ju flytta samtidigt: Vid en given tidpunkt kliver alla gäster ur sina nuvarande rum och går till sina nya rum. Sedan flyttar de nya gästerna in och allt är klart. Ingen blir utan rum.

Om den lösningen frigör rum åt de nyanlända 100 personerna trots att hotellet redan är fullbelagt, borde det även funka att låta alla de ursprungliga gästerna på en given tidpunkt flytta ut ur sina rum och därefter genast tillbaka till sina ursprungliga rum (var och en till samma rum som tidigare), medan de nya gästerna flyttar in i de rum som nu borde ha frigjorts. Det kan ju inte spela någon roll vilka rum de ursprungliga gästerna flyttar in i efter att ha flyttat ut; dessa gäster är ju fortfarande precis lika många som tidigare och även det totala antalet rum på hotellet är precis lika stort som tidigare. Men varför skulle det då spela roll om de alls flyttar ut ur sina rum? Det kan det rimligen inte göra. Så eftersom hotellet var fullbelagt från början, går det inte att få in de 100 nyanlända gästerna.

Det enda du lyckas konstatera är att inga rum frigörs om gästerna inte flyttar alls, vilket är en självklarhet. Du har inte på något sätt förklarat varför inte gästerna skulle kunna flytta i enlighet med tankeexperimentet så att rum 1 till 100 blir lediga.

[Justin Case]

Det här börjar bli löjligt. Nej, jag tolkade dig givetvis inte bokstavligt och mitt svar var heller inte bokstavligt menat. Vi är alltså kvar där vi började: "Matematiken säger ingenting om mängden lycka i universum.

Så med ordet "matematiken" i det påståendet menar du inte bokstavligen "matematiken", och du menar inte heller "matematikerna", om jag nu förstått dig rätt. Så vad menar du?

Varför skulle den göra det?"

Innan jag kan svara på det, måste jag veta vad du menar med "matematiken säger" i påståendet "matematiken säger ingenting om mängden lycka i universum".

En jämförelse: matematiken anses säga något om andra saker, t.ex. hur stor folkmängd det rimligen kan komma att vara på jorden om tio år, hur starka eller svaga olika typer av klimatpåverkan är (t.ex. bilism, flyg, köttätande etc) m.m. Därför har jag svårt att tro att matematiken inte skulle kunna meningsfullt sägas säga något om också mängden lycka i universum. I liknande mening "säga något om", alltså.

Jag har intrycket att diskussionen kör fast därför att du (och andra) inte delar mitt engagemang för lyckomaximering.

Det här började som en diskussion om Cantors sats. Som jag ser det har diskussionen inte så mycket kört fast som spårat ur.

Det vi pratat om på sistone hänger ju ihop med trådens ämne. Cantors sats anses ju ge att mängden reella tal på något "särskilt uppenbart" sätt skulle vara större än mängden naturliga tal. Jag försöker visa att minst lika uppenbara storleksskillnader råder även mellan mängder som av matematiker anses vara lika stora - t.ex. storleksskillnaden mellan mängden naturliga tal och mängden naturliga tal plus eller minus någon ändlig mängd.

Men du har förstås rätt i att jag inte delar ditt engagemang så vi kanske skall lägga ner den diskussionen.

Jag kräver inte att du ska dela det, jag blir bara så häpen över hur man kan se på matematik på ett så sorglöst sätt som många matematiker verkar göra. Att räkna rätt eller fel kan ju betyda skillnaden mellan katastrof och framgång, på många områden inom vår civilisation, inom vården, inom klimatforskning, inom rymdfart, inom snart sagt varje område vi människor ger oss in på. Att säga: "definiera din matematik hur du vill, det är upp till dig" leder lätt till katastrof på dessa områden. Det är helt enkelt inte sant att det går lika bra hur man än definierar sin matematik - när man ska använda den i den verkliga världen av kött och blod. Sedan att du inte delar min tro på att vi bör extrapolera detta vidare till oändlighetens realm (till oändligt civilisationsbyggande, skapande av oändliga lyckomängder), det må vara hänt. Men nog finns det väl något du är engagerad av, och du vill väl inte att felaktig matematik ska ställa till det för dig (eller för din målsättning, vad den nu är) på det området? Därifrån kanske du kan börja se vår oändlighetsdiskussion lite mer ur min synvinkel. Det är bara att fråga dig hur du skulle tänka kring t.ex. mitt "tankeexperiment om oändligt många lyckliga och olyckliga veckodagar" om du hade samma engagemang för lyckomaximering som du har för de saker du själv är engagerad av.

Att inte så många har accepterat det kanske kan vara en vink. Du tycks ha en ganska egen syn på det här med bevisning.

Mitt påstående att vi var och en har oändliga mängder lycka och oändliga mängder lidande framför oss stödjer sig på en så komplex härva av argument, så jag tror anledningen till att folk inte accepterar slutsatsen är att de missförstår något eller några av delargumenten, glömmer något eller några av dem, eller någonstans missar att sätta samman dem så som jag föreslår. Och överhuvudtaget brukar ju folk mer eller mindre reflexmässigt förkasta radikala nya idéer, eftersom folk tycker att det känns bekvämare och tryggare att behålla sin invanda världsbild än att utmana den.