Gränsen mellan ändliga och oändliga tal

[Explorer]

Finns inget högsta primtal.
Motbevisar med följande , antag att p är högsta primtalet. Då är p+2 ett udda tal men ej primtal, innebär att p är delbart med ett primtal. Detta är omöjligt då det inte finns en divisor < p då modulus lämnar en rest <>0.

[Algotezza]

Finns inget högsta primtal.
Motbevisar med följande , antag att p är högsta primtalet. Då är p+2 ett udda tal men ej primtal, innebär att p är delbart med ett primtal. Detta är omöjligt då det inte finns en divisor < p då modulus lämnar en rest <>0.

Vill bara påpeka att det var så här jag skrev:


Vilket är det högsta primtal man  räknat ut hittills? Att man vid en viss tidpunkt hittat ett visst högt primtal utesluter väl inte att man kan räkna ut fler, ännu högre?

Har du någon formel för hur man räknar ut primtal?

A

[Justin Case]

Antalet heltal måste väl ändå vara dubbelt så stort som antalet udda heltal, även om det finns hur många som helst av både heltal och udda heltal?

Fel. Återigen, en mängd har  (alef-noll = antalet naturliga tal) element om den kan sättas i en en-entydig korrespondens med mängden av de naturliga talen. I detta fallet med udda heltal etableras den korrespondensen lätt med funktionen n -> 2n-1, n=1, 2, 3,…. Alltså är antalet (positiva) heltal och antalet udda tal lika.

Matematiker reserverar sig hela tiden i fråga om antalet med frasen "i viss mening lika många". Och helt klart är att definitionen om oändligas mängders "mäktighet" är avgörande.

Att tänka sig olika stora oändliga storlekar är, vad jag kan se, lika rimligt som att det finns olika stora människor. Tänk så här: Det kan mycket väl finnas saker som är oändligt mycket mindre än vi. Det kanske inte är säkert, men även om vi skulle vara övertygade om att det är så, skulle vi väl med rätta fortsätta anse att alla människor inte är lika stora. Om jag är 50 liter stor, och du är 100 liter, är det rimligt att säga att du är större än jag, trots att var och en av oss är oändligt mycket större än de minsta byggstenarna i universum. Vi är, ur dessa oändligt mycket mindre byggstenars synvinkel, oändligt stora båda två, och samtidigt är vi olika stora jämfört med varandra. Då vi nu tydligen kan vara både oändligt stora ur något annats synvinkel (t.ex. universums minsta byggstenars), och samtidigt vara olika stora jämfört med varandra, måste väl även t.ex. två gudar eller universumdelar kunna vara det - alltså oändligt stora ur något annats synvinkel (t.ex. vår) och samtidigt olika stora i förhållande till varandra. Då samma förhållande, nämligen oändlighet:ändlighet, råder mellan [oss] och [universums minsta byggstenar, om dessa är oändligt mycket mindre än vi], som råder mellan [en gud eller universumdel som är oändligt mycket större än vi] och [oss], måste väl detsamma gälla för den guden/universumdelen som gäller för oss, nämligen att något kan vara större än den, liksom något kan vara större än vi? Det innebär att det kan finnas något som är större än något som redan är oändligt stort - åtminstone om man med oändligt stort menar oändligt mycket större än vi (eller oändligt mycket större än något annat).

När man säger att något, A, är oändligt stort, menar man väl alltid underförstått att A är oändligt mycket större än något annat, låt oss kalla detta B. Funnes det inget B (och ej heller något annat som är mindre än A) att jämföra A med, kunde man väl inte meningsfullt hävda att A är oändligt stort? Oändligt stort i motsats till vadå till exempel, skulle ju någon kunna invända i så fall. För att det alls ska gå att säga att t.ex. en gud är oändligt stor, måste den väl vara oändligt mycket större än något, t.ex. oändligt mycket större än vi. Och då även vi kan sägas vara oändligt stora i förhållande till universums minsta byggstenar (om dessa är oändligt mycket mindre än vi), borde väl samma regler råda för en sådan gud som råder för oss, nämligen att den kan ha något som är ännu större än vad den själv är, trots att den själv även har saker som den är oändligt mycket större än.

Alltså: det faktum att två saker är oändligt stora behöver inte innebära att de är lika stora.

[Explorer]

Alltså: det faktum att två saker är oändligt stora behöver inte innebära att de är lika stora.

Helt riktigt.
Det intressanta är själva idén om det oändliga.
All vetenskap visar med tydlighet att idéerna hämtas från verkligheten . Idealisterna hävdar motsatsen (är detta en hårddragning?). Bossen Johan Ågren skrev en gång att han är idealist. Jag å andra sidan förstår inte hur de tänker. Är idén först och verkligheten i andra hand? Visa gärna ett ex.!

Exemplet ovan med oändlighet visar tydligt hur människans idévärld skapas. T.o.m. inom så abstrakt vetenskap som matematiken kan det mesta (brasklapp) härledes till det konkreta där man genom generalisering skapar en abstrakt värld utifrån den konkreta verkligheten.

I matteexemplet är själva idén om det oändliga en utvidgning av begreppet "ändligt"; det som inte är ändligt är oändligt (dualism?).
Begreppet uppräknelig hämtas från ändliga (konkreta) mängder; två mängder är lika "stora" om varje element i vardera mängd kan paras ihop på ett entydigt sätt. En mängd är uppräknelig om den kan paras ihop med mängden 1,2,3,…..
Alla begrepp inom "oändlighetsmatematiken" härstammar från det konkreta, alla abstrakta begrepp är generaliseringar av något konkret.

[Explorer]

Einstein råkade ut för samma begreppsförvirring när han antog tiden som en konstant storhet. När han väl ifrågasatte denna så kom genombrottet.
Vi måste alltid ha i minnet att människan skapar sina begrepp utifrån en praktisk synpunkt. "Tid" är tid så länge begreppet fungerar.
Sen när vi tillämpar begreppen i "extremsituationer" så måste vi också definiera våra begrepp, duger inte med vardagligt "ung."

[Justin Case]

Vad menar du förresten med "äkta oändligt"? Om det finns t ex oändliga avstånd "ute i världen"?

Just det. Det kanske inte finns något som är oändligt ute i världen, utan bara i matematikernas fantasi. Dock kan de största mängderna och de största avstånden etc i världen vara så otroligt stora att det inte spelar någon praktisk roll för oss och vår framtid huruvida vi kallar dem för oändliga eller "ändliga men otroligt stora". Min fråga är alltså: är det alls tänkbart att de största mängderna (och sträckorna, massorna, krafterna, hastigheterna etc) som överhuvudtaget finns i den verkliga världen inte är _verkligt_ oändliga utan bara "praktiskt taget" oändliga, men i själva verket bara otroligt stora men strängt taget ändliga?

(Och vad är sannolikheten för det??)

[Algotezza]

Dagens datum är matematiskt intressant (visst, lite banalt - men ändå...):

4/2-08: 04 x 02 = 08

Inte ändligt men en snygg liten multiplikation.

Jag återkommer kanske i samma ämne den andra april!

MVH

Algotezza

[Dividend]

DEt är lätt att bevisa att det finns oändligt många heltal, och av det följer att det finns oändligt många decimaltal mellan vilken restriktion som helst [a,b]

Anta att det finns ett största heltal Z. Sätt Z+1 = Y, Y är större än Z vilket strider mot förutsättningen att ett största heltal existerar. DEtta är logiskt ekvivalent med att det finns oändligt många heltal.

Man kan också säga (inom matematisk analys, det ovan är talteori) att oavsett vilket högt tal man väljer x, finns det alltid ett tal y som är större.

Inte särskilt formellt, men lätt att förstå.

[suchanother]

DEt är lätt att bevisa att det finns oändligt många heltal, och av det följer att det finns oändligt många decimaltal mellan vilken restriktion som helst [a,b]

Anta att det finns ett största heltal Z. Sätt Z+1 = Y, Y är större än Z vilket strider mot förutsättningen att ett största heltal existerar. DEtta är logiskt ekvivalent med att det finns oändligt många heltal.

Man kan också säga (inom matematisk analys, det ovan är talteori) att oavsett vilket högt tal man väljer x, finns det alltid ett tal y som är större.

Inte särskilt formellt, men lätt att förstå.

Duger inte. Varför förutsätter du att z+1 existerar?

[Dividend]

DEt är lätt att bevisa att det finns oändligt många heltal, och av det följer att det finns oändligt många decimaltal mellan vilken restriktion som helst [a,b]

Anta att det finns ett största heltal Z. Sätt Z+1 = Y, Y är större än Z vilket strider mot förutsättningen att ett största heltal existerar. DEtta är logiskt ekvivalent med att det finns oändligt många heltal.

Man kan också säga (inom matematisk analys, det ovan är talteori) att oavsett vilket högt tal man väljer x, finns det alltid ett tal y som är större.

Inte särskilt formellt, men lätt att förstå.

Duger inte. Varför förutsätter du att z+1 existerar?

Det är onödigt att konstruera ett axiomsystem för denna snubbes fråga. Peano, säger jag bara.

[suchanother]

Det är omöjligt att framställa de naturliga talen som ett axiomatiskt system.
I Peanos system betraktas naturliga tal som efterföljare och då är vi inne på mängdteori.

[Dividend]

Det är omöjligt att framställa de naturliga talen som ett axiomatiskt system.
I Peanos system betraktas naturliga tal som efterföljare och då är vi inne på mängdteori.

Ja och vart vill du komma?

[suchanother]

Vadå "Ja"? Kan du inget bättre?

I ditt "bevis" om oändligt många heltal har du redan i premisserna en förutsättning som ska bevisas s.a.s.

[suchanother]

Du vill alltså bevisa att antalet heltal är oändligt men förutsätter att så är fallet redan från början när du tar z+1 för givet.

[Dividend]

Så kan man se det. Errare humanum est...