Dura M skrev:Justin Case skrev:Samma sak kan i så fall sägas om de naturliga talen. Både när du påstår att de naturliga talen "går att" få in i en kolumn i mitt rutnät, och när jag påstår att de reella talen i så fall lika gärna "går att" få in på en rad i mitt rutnät, utgår vi ju från att man underförstått ska tolka orden "går att" så, att den bedrift som åsyftas, trots att den egentligen inte rent faktiskt är möjlig för någon/några att utföra, ändå på något sätt liksom är "teoretiskt utförbar". Jag ser inte den principiella skillnaden härvidlag mellan "går att" i påståendet "de naturliga talen går att få in i en kolumn i rutnätet" och "går att" i påståendet "de reella talen går att få in på en rad i rutnätet".
Skillnaden är att i det ena fallet begränsas "går att" endast av att vi i någon slags praktisk mening "aldrig kommer i mål", i det andra fallet av att vi aldrig ens kommer igång. Du kan inte ens börja fylla i rutorna "i stigande ordning från vänster till höger". Det finns inget "nästa tal" i ordningen.
Och vad säger att denna skillnad skulle ha den avgörande betydelse den tydligen anses ha?
Varför fylla i talen i stigande ordning förresten? Varför inte börja med att fylla i de reella talen 0,1, 0,11, 0,111, 0,1111 till exempel, och fortsätta enligt det mönstret i oändlighet?
Visserligen kan de naturliga talen sägas skilja sig från de reella talen på det sättet att deras rutor går att börja fylla i i "rätt" ordningsföljd, men om det är som du säger, att vad som är rätt och fel i matematiken bara är något som vi bestämt, så är "rätt" även här bara något vi bestämt. Vad säger t.ex. att inte rutorna istället ska tänkas vara utplacerade på sådant sätt att det redan i var och en av de rutor som utgör den översta halvan av den alef(0) rutor långa kolumnen endast hör hemma så stora naturliga tal att vi inte kommer att lyckas skriva ut ett enda av dem under en evighet? Detta i kombination med att de reella talen får fyllas i i vilken ordning som helst skulle ge intrycket att de naturliga talen är
fler än de reella talen, inte färre. Kanske blev alltså mitt exempel från början orättvist riggat mot det jag försökte visa. En liknelse: om man försöker räkna hur många svarta hål det finns i vår galaxhop genom att besöka dem allihop ett efter ett, slukas man redan av det första svarta hålet, så att man inte lyckas räkna längre än till ett, liksom man slukas av "det första" reella talet efter 0 om man försöker skriva ut eller observera de reella talen i sin fulla längd ett efter ett. Om man istället tittar på dem på avstånd, eller väljer ut att besöka de som
går att besöka utan fatala konsekvenser (jag antar att det finns mini-svarta-hål här och där som inte är så farliga att besöka, liksom det finns många reella tal som faktiskt går att skriva ut), kommer man längre.
Du är välkommen att postulera existensen av sådana mellanliggande kardinaltal. Kontinuumhypotesen är som sagt oavgörbar i ZFC.
Om det inte fanns några mellanliggande kardinaltal mellan mängden naturliga tal och mängden reella tal, hur skulle det då kunna vara sant att det är bättre att vara lycklig varje måndag till lördag och olycklig varje söndag i så många år som det finns reella tal, än att vara lycklig varje måndag och olycklig varje tisdag till söndag i så många år som det finns reella tal? Skulle du verkligen kunna tänka dig att singla slant om vilket av dessa två typer av evigt liv du ska få? Det tror jag inte. Att vi skulle vara angelägna om att få det av dessa två eviga liv som innehåller flest lyckliga dagar per vecka, talar för att det finns mellanliggande kardinaltal mellan mängden naturliga tal och mängden reella tal. Sex lyckliga dagar i veckan under en evighet är ju uppenbart mer än en lycklig dag i veckan under en evighet (åtminstone givet att man i båda fallen är olycklig samtliga övriga veckodagar), och alltså måste logiskt sett 6/7 av mängden reella tal vara en större mängd än 1/7 av mängden reella tal.
Kan man tänka sig att något är oändligt mycket bredare än det är långt kan man lika gärna tänka sig att något är oändligt mycket längre än något annat är långt.
Jag tycker det är lättare att tänka mig det förra än det senare. Något som redan är oändligt långt känns intuitivt svårt att tänka sig att man kan förlänga ytterligare. Något som är oändligt långt känns däremot inte intuitivt lika svårt att tänka sig att man kan göra "oändligt brett med så mycket större kardinalitet av oändlighet än vad det är långt", att det "på tillräckligt långt avstånd" skulle framstå som ett oändligt långt vågrätt streck.
Skillnaden är förstås att jag inte hävdar något om "existens" eller hur begreppet förhåller sig "verkligheten". Det är du som är helt fixerad vid tanken att matematiska begrepp måste "överensstämma med verkligheten".
Om matematiken inte hade något med verkligheten att göra skulle den inte betraktas som ett av de allra viktigaste skolämnena. Visst, den kan vara vacker i sig själv, men det är inte det enda matematiken är bra på, och det är inte främst den delen av matematiken jag är intresserad av. Jag är främst intresserad av att komma fram till hur jag/vi bör agera givet att universum är oändligt stort (något jag anser bevisat att det är). Genom att universum är oändligt stort, tycks det mig att allt som kan ske kommer att ske. Detta kan i förstone tyckas innebära att det inte spelar någon roll vad vi gör, för det kommer ju alltid att finnas oändligt mycket gott och oändligt mycket ont i universum vad vi än gör. Men jag tänker att det inte är säkert att varje sorts sak som kan ske, och därför sker, sker på
lika stort antal positioner i rumtiden allihop (under den närmaste evigheten). En del saker kanske sker på t.ex. alef(3) sådana positioner, andra saker kanske sker på alef(17)+4158 positioner, etc. Jag tänker mig att frågan hur vi bör agera i vår tid bäst besvaras genom att man får koll på hur matematiken för oändliga mängder fungerar (t.ex. hur många kardinaltal det finns mellan det och det kardinaltalet, och liknande), då den enda chansen för oss att förbättra världen trots att universum är oändligt stort tycks vara att "just ta oändligheten vid hornen" och komma fram till vilken oändlighetsmatematik som bäst (med verkligheten bäst överensstämmande) beskriver nuvarande, förväntade framtida och potentiella framtida antalsförhållanden och liknande mellan olika sorters saker och fenomen som finns och kommer att finnas i universum.
Det jag säger är analogt med en schackspelare som säger att löparen endast får gå diagonalt över schackbrädet. Du frågar hur jag kan veta det och varför det inte lika gärna kan vara så att löparen går två steg fram och ett tillbaks? Jag svarar att det helt enkelt är så vi har bestämt schackspelets regler. Inte konstigare än så. Vill du flytta löparen på något annat sätt så visst, gör det, men då spelar du inte längre schack. Rent fysiskt kan löparen givetvis flyttas hur fan som helst över brädet. Vi pratar alltså inte om (eller JAG pratar i varje fall inte om) hur löparen kan eller inte kan flyttas "i verkligheten", utan bara om hur den flyttas när man spelar schack. Och det finns givetvis inget religiöst med detta synsätt, tvärtom.
Din liknelse med schack håller inte. Om en schackspelare slutar följa de överenskomna reglerna i schack, och detta får negativa konsekvenser för honom (t.ex. att motståndaren öser svordomar över honom), kan det kanske liknas vid när en byggjobbare räknar fel så att huset han bygger blir snett och vint, med följden att han kanske får sparken. Skillnaden är att schackspelets regler skulle kunna ändras och ändå kunna möjliggöra ett givande spel - medan om så alla byggjobbare i hela världen gemensamt kom överens om att t.ex. siffran 1 alltid ska tolkas som 1,15 och att siffran 5 alltid ska tolkas som 4,68, skulle husen likförbannat bli sneda och vinda!
Jag tänker på universums och mänsklighetens oändliga framtid som ett hus som vi kan komma att bygga bättre eller mindre bra beroende på hur korrekt uppfattning vi skaffar oss om hur den matematik fungerar som vi bör tillämpa för att räkna ut hur vi ska få universum att så långt som möjligt bli beskaffat som vi vill.