Gränsen mellan ändliga och oändliga tal

[Justin Case]

Vilket är det största ändliga talet? Det är ju för stort för att uttrycka med siffror, men det borde kunna definieras som det tal som är "ett snäpp mindre" än det minsta oändliga talet. Men hur litet måste ett sådant "snäpp" vara? Ett sådant snäpp måste väl vara extremt litet, men samtidigt måste det vara större än noll. I alla händelser måste det vara ändligt. Därmed löses inte problemet. Ty "det minsta oändliga talet" minus ett ändligt snäpp är väl fortfarande ett oändligt tal, för annars var väl inte detta "minsta oändliga tal" oändligt till att börja med? Ett oändligt tal ska väl vara så beskaffat att man kan dra bort ett hur stort ändligt tal från det som helst utan att det upphör att vara ett oändligt tal?

Kan det vara så att det inte finns något som är äkta oändligt, men att det i många fall är av praktiska skäl och/eller konsekvensetiskt befogat att för enkelhets skull tala om oändlighet när vi egentligen bara menar sådant som visserligen är ändligt men så stort att det är bortom vår fattningsförmåga?

Eller vore det kanske bättre att stryka ordet "oändligt" ur vårt språk, och hitta på ett nytt ord som mer uppenbart bara betyder "sådant som är så stort att det är bortom vår fattningsförmåga"?

[Algotezza]

Vilket är det största ändliga talet? Det är ju för stort för att uttrycka med siffror, men det borde kunna definieras som det tal som är "ett snäpp mindre" än det minsta oändliga talet. Men hur litet måste ett sådant "snäpp" vara? Ett sådant snäpp måste väl vara extremt litet, men samtidigt måste det vara större än noll. I alla händelser måste det vara ändligt. Därmed löses inte problemet. Ty "det minsta oändliga talet" minus ett ändligt snäpp är väl fortfarande ett oändligt tal, för annars var väl inte detta "minsta oändliga tal" oändligt till att börja med? Ett oändligt tal ska väl vara så beskaffat att man kan dra bort ett hur stort ändligt tal från det som helst utan att det upphör att vara ett oändligt tal?

Kan det vara så att det inte finns något som är äkta oändligt, men att det i många fall är av praktiska skäl och/eller konsekvensetiskt befogat att för enkelhets skull tala om oändlighet när vi egentligen bara menar sådant som visserligen är ändligt men så stort att det är bortom vår fattningsförmåga?

Eller vore det kanske bättre att stryka ordet "oändligt" ur vårt språk, och hitta på ett nytt ord som mer uppenbart bara betyder "sådant som är så stort att det är bortom vår fattningsförmåga"?

Oändligheten är en matematisk idé som får de egenskaper man tilldelar densamma i sina modeller. Man laborerar med oändligheter med olika täthet, de naturliga talens oändlighets täthet, decimaltalens, kontinuets etc. Det är snarare andliga uppfinningar än upptäckter. Det finns en särskild matematik för oändliga tal som skiljer sig från ändlig matematik. Men jag är bara klantig amatör på området även om jag läst lite om ämnet när jag studerade filosofi på 70-talet, om alef och oändliga mängder. Sitter i bakhuvudet någonstans.

Frågan är om oändligheternas idé är en motsägelsefri eller hanterbar och begriplig idé...? Och användbar i vardagslivet? Kan den någonsin manifesteras i verkliga livet? Hur skulle man kunna veta det i så fall? Vi kan ju bara uppleva ändligt, vad jag vet. Men tänka att det är möjligt i tanken, kalla det t.ex.  "möta Gud".

A

[suchanother]

Finns inget största tal
I matematiken löses gränsvärdersproblematiken med "gränsövergång" dvs. givet en ev. gräns, finns ett tal som är större än gränsen. Härmed löses problematiken med logiken, varje gräns är ömojligt då det finns gränsöverskridande storheter, varje teoretiskt uppsatt gräns kan överskridas.

[Algotezza]

Finns inget största tal
I matematiken löses gränsvärdersproblematiken med "gränsövergång" dvs. givet en ev. gräns, finns ett tal som är större än gränsen. Härmed löses problematiken med logiken, varje gräns är ömojligt då det finns gränsöverskridande storheter, varje teoretiskt uppsatt gräns kan överskridas.

Kan också ske en överskridning genom inkrökning... (se min avatar!)

A

[JemyM]

∞

[suchanother]

Algot, du hajade noll.

[Algotezza]

Algot, du hajade noll.

Berätta vad jag inte hajade...  Eller menar du att jag hajade innebörden i begreppet "noll"...

A

[Justin Case]

Eller vore det kanske bättre att stryka ordet "oändligt" ur vårt språk, och hitta på ett nytt ord som mer uppenbart bara betyder "sådant som är så stort att det är bortom vår fattningsförmåga"?

Jag kom på att om man drar gränsen vid "bortom vår fattningsförmåga", är det en alldeles för låg gräns. Vi kan laborera med två tal som båda är bortom vår fattningsförmåga, men som ändå ger olika tal inom vår fattningsförmåga när vi delar dem båda med samma tal.

Det kan ju vara en väldig skillnad mellan att leva "längre än vad vår fattningsförmåga klarar av att greppa" (redan 9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9^9 år är t.ex. svårt att greppa) och att leva i evighet.

[Justin Case]

Det är snarare andliga uppfinningar än upptäckter.

Frågan är om oändligheternas idé är en motsägelsefri eller hanterbar och begriplig idé...? Och användbar i vardagslivet? Kan den någonsin manifesteras i verkliga livet? Hur skulle man kunna veta det i så fall? Vi kan ju bara uppleva ändligt, vad jag vet.

Idén om oändlighet blir användbar i vardagslivet om vi tänker oss att universum är oändligt och att det därmed måste innehålla oändligt många kopior av oss så att vi alltid fortsätter existera någon annanstans varje gång vi "dör". Huruvida vi tror att vi kommer att få evigt liv eller ej torde påverka våra liv här och nu - vi väljer nog att leva på ett annat sätt om vi tror att vi får evigt liv hur vi än väljer att leva, än om vi tror att vår livslängd är ändlig och därmed beroende av hur noga vi aktar oss för att dö. Därmed har nog vårt ställningstagande till frågan om huruvida universum är oändligt eller ej, och vad det i sin tur betyder, en påverkan på hur vi väljer att leva våra liv.

Vi kan extrapolera teoretiskt från ändliga tal till oändligheten. Detta extrapolerande är en sorts slutsatsdragande, ett slutsatsdragande som jag tycker känns lika naturligt och vettigt som när vi tolkar våra olika synintryck som föremål, och kallar en del synintryck för "dator", andra för "människa", andra för "häftapparat" etc, fastän dessa föreställningar om föremål egentligen bara grundar sig på ljuspartiklar som når vårt öga (och andra retningar av våra sinnen). Lika gärna som att kalla oändlighet för en uppfinning, kan man kalla allt vårt vardagsupplevande för uppfinningar. Men det tycker jag känns underligt, så jag kallar hellre oändligheten för en upptäckt snarare än en uppfinning, så att jag utan känsla av inkonsekvens kan kalla mina sinnesintryck för upptäckter.

[Justin Case]

Vi kan extrapolera teoretiskt från ändliga tal till oändligheten. Detta extrapolerande är en sorts slutsatsdragande, ett slutsatsdragande som jag tycker känns lika naturligt och vettigt som när vi tolkar våra olika synintryck som föremål, och kallar en del synintryck för "dator", andra för "människa", andra för "häftapparat" etc, fastän dessa föreställningar om föremål egentligen bara grundar sig på ljuspartiklar som når vårt öga (och andra retningar av våra sinnen). Lika gärna som att kalla oändlighet för en uppfinning, kan man kalla allt vårt vardagsupplevande för uppfinningar. Men det tycker jag känns underligt, så jag kallar hellre oändligheten för en upptäckt snarare än en uppfinning, så att jag utan känsla av inkonsekvens kan kalla mina sinnesintryck för upptäckter.

När skulle jag då vara beredd att använda begreppet "uppfinningar", kanske någon undrar. Begreppet "uppfinningar" tycker jag passar bättre på sådant som inte är uppenbart givet utifrån några premisser. Att t.ex. skriva en deckare är ett uppfinnande, då det inte finns något som säger att deckaren måste utveckla sig si snarare än så. Men att, utifrån det faktum att det tycks gå att tänka sig större och större tal utan att det någonsin verkar ta slut, slutleda att det finns något sådant som oändlighet (eller att det i alla fall är befogat att använda ett sådant begrepp som "oändlighet") är en mer given slutsats än t.ex. att en deckare ska handla om just en pensionerad fasadmålare vid namn Elsa-Greta Hallonstedt eller något annat godtyckligt.

[FIG]

Som dom andra skriver. det är mer en fråga om vad som forfran är ett tal och så.  eller ifal det är något annat.

Men svar på frånga. he Liggande 8 - 0.{Liggande 8 nollor}1 skulle jag då svara på
Dock så har vi inte löst vad värdet Liggande 8 är.

[archaxe]

Det finns inget största ändliga tal, men det betyder inte att det är oändligt stort. Utan någon vidare matematisk begåvning skulle jag säga att skillnaden mellan ändliga och oändliga tal inte är en fråga om "hur mycket", vilket vore en kvantitativ skillnad, utan en kvalitativ. Man tänker sig att oändligheten på något sätt är "större" än något vi kan tänka, alternativt ett "riktigt, riktigt, riktigt stort tal", men det tror jag är ett tankefel. Cantor visade visserligen att det finns olika stora oändligheter (dessa sägs vara av olika kardinalitet), men jag tror inte att "olika stora" skall förstås på samma sätt i dessa sammanhang som när man mäter t ex bildäck, där det ju är fråga om kvantitativa skillnader.

Men spekulationer om oändligheter blir förstås helt värdelösa om man inte har lite koll på mattelingo, vilket jag dessvärre inte har.

Vad menar du förresten med "äkta oändligt"? Om det finns t ex oändliga avstånd "ute i världen"?

[Justin Case]

Det finns inget största ändliga tal, men det betyder inte att det är oändligt stort. Utan någon vidare matematisk begåvning skulle jag säga att skillnaden mellan ändliga och oändliga tal inte är en fråga om "hur mycket", vilket vore en kvantitativ skillnad, utan en kvalitativ. Man tänker sig att oändligheten på något sätt är "större" än något vi kan tänka, alternativt ett "riktigt, riktigt, riktigt stort tal", men det tror jag är ett tankefel. Cantor visade visserligen att det finns olika stora oändligheter (dessa sägs vara av olika kardinalitet), men jag tror inte att "olika stora" skall förstås på samma sätt i dessa sammanhang som när man mäter t ex bildäck, där det ju är fråga om kvantitativa skillnader.

Antalet heltal måste väl ändå vara dubbelt så stort som antalet udda heltal, även om det finns hur många som helst av både heltal och udda heltal? Och om t.ex. var miljonte atom i universum är av ett grundämne A och var tusende atom är av ett grundämne B, och båda grundämnena finns i oändlig mängd i universum, måste väl antalet atomer av grundämne B vara tusen gånger större än antalet atomer av grundämne A? Nog måste väl oändliga storheter, åtminstone i sådana och liknande sammanhang, kunna jämföras i storlek med varandra, på samma sätt som ändliga storheter. Alltså med vanlig multiplikation och division.

Vad menar du förresten med "äkta oändligt"? Om det finns t ex oändliga avstånd "ute i världen"?

Jag tänker mig att om något visserligen är ändligt, men ändå så stort att det inte finns några praktiska skäl för oss att behandla det annorlunda än om det hade varit oändligt (d.v.s. att det blir samma praktiska konsekvenser för oss i båda fallen), är det inte "äkta oändligt", utan kallas bara (felaktigt) oändligt av praktiska skäl. Kanske finns det endast sådan oändlighet, tänkte jag. Äkta oändligt hade varit något som vore oändligt även utan detta villkor.

[Explorer]

Det finns ändliga och oändliga kardinaltal. Ett ändligt kardinaltal är ett heltal  0, 1, 2, 3…..
Ett kardinaltal kan i viss mening sägas ange antalet element i en mängd. När det gäller ändliga mängder så är detta inget bekymmer och där duger de ändliga kardinaltalen, t.ex. mängden { A, B, C } har 3 element, lätt som en plätt.

Sen när det gäller oändliga mängder så är läget annat. Vad menas med "storleken" på en oändlig mängd?
Matematiker, skönt släkte f.ö., har ingen respekt för realiteter och skapar helt sonika en ny klass av tal, kardinaltal, där kardinaltal anger "mäktigheten" hos en mängd. På detta sätt undviker matematiker pratet om "antal element i en mängd", endast "mäktigheten" gäller.

Georg Cantor, en föregångare inom mängdteorin, uppfann en ny klass av tal, kardinaltal, och meddelade lite pompöst att de naturliga talen { 1, 2, 3, ….} är av antalet , (egentligen ska det vara den hebreiska bokstaven alef med indexet 0 men får inte fram det på min maskin)

Två mängder har lika många element om varje element kan sättas i en en-entydig relation. En en-entydig relation föreligger om varje element i en mängd kan paras ihop med ett annat element i en annan mängd på ett entydigt sätt.

Utan någon vidare matematisk begåvning skulle jag säga att skillnaden mellan ändliga och oändliga tal inte är en fråga om "hur mycket", vilket vore en kvantitativ skillnad, utan en kvalitativ.

Fel. Antalet naturliga tal är mindre än antalet reella tal. Det finns en kvantitativ skillnad. (allt enligt ovanstående definition på entydighet)

Antalet heltal måste väl ändå vara dubbelt så stort som antalet udda heltal, även om det finns hur många som helst av både heltal och udda heltal?

Fel. Återigen, en mängd har  (alef-noll = antalet naturliga tal) element om den kan sättas i en en-entydig korrespondens med mängden av de naturliga talen. I detta fallet med udda heltal etableras den korrespondensen lätt med funktionen n -> 2n-1, n=1, 2, 3,…. Alltså är antalet (positiva) heltal och antalet udda tal lika.

Matematiker reserverar sig hela tiden i fråga om antalet med frasen "i viss mening lika många". Och helt klart är att definitionen om oändligas mängders "mäktighet" är avgörande.

[Algotezza]

Utan någon vidare matematisk begåvning skulle jag säga att skillnaden mellan ändliga och oändliga tal inte är en fråga om "hur mycket", vilket vore en kvantitativ skillnad, utan en kvalitativ.

Fel. Antalet naturliga tal är mindre än antalet reella tal. Det finns en kvantitativ skillnad. (allt enligt ovanstående definition på entydighet)

Vilket väl betyder att de naturliga talens mängd är uppräknelig, genom att man vid uppräkning gör diskreta språng från tal till tal, medan så ej är fallet med t.ex. de reella talen.

Kontinuumet innebär att det finns oändligt antal punkter även mellan två slumpmässigt givna tal (t.ex. deciamltal), medan de naturliga talens oändlighet innebär att man alltid "kan addera ett", oavsett hur långt man räknat. Man kan säga att det handlar ändlöshet till skillnad från oändlig "täthet" eller "mäktighet".

Antalet heltal måste väl ändå vara dubbelt så stort som antalet udda heltal, även om det finns hur många som helst av både heltal och udda heltal?

Fel. Återigen, en mängd har  (alef-noll = antalet naturliga tal) element om den kan sättas i en en-entydig korrespondens med mängden av de naturliga talen. I detta fallet med udda heltal etableras den korrespondensen lätt med funktionen n -> 2n-1, n=1, 2, 3,…. Alltså är antalet (positiva) heltal och antalet udda tal lika.

Matematiker reserverar sig hela tiden i fråga om antalet med frasen "i viss mening lika många". Och helt klart är att definitionen om oändligas mängders "mäktighet" är avgörande.

Och antalet primtal är "lika stort" som de naturliga talen.  Men "svårare att fånga" ju större de blir... Vilket är det högsta primtal man räknat ut hittills?

A