Hur går sannolikhetsläran ihop med mängdläran?

[Justin Case]

Anta hypotetiskt att det finns oändligt många galaxer i världsalltet, att atomer finns endast i galaxer, och att det i precis varenda galax finns 1) minst en syreatom och 2) minst dubbelt så många väteatomer som syreatomer. Då tycks mig mängdlära ge att det finns lika många syreatomer som det finns väteatomer i världsalltet. (Vi antar att varje galax innehåller endast ett ändligt antal atomer vardera.) Samtidigt torde det vara sant att en slumpmässigt* vald atom är med minst dubbelt så stor sannolikhet en väteatom som att den en syreatom. Men hur kan det sistnämnda vara sant, om antalet syreatomer i världsalltet är lika stort som antalet väteatomer? Vore det, i ett världsallt av den sort jag just beskrivit, fel att påstå att en slumpmässigt* vald atom är med minst dubbelt så stor sannolikhet en väteatom som en syreatom?**

*) Anta att, vid varje slumpmässigt val av atom, varje atom oavsett grundämne har exakt lika stor chans att bli vald.

**) Om någon svarar att sannolikheten för att välja en väteatom följer av sannolikheten inuti en (eller varje) galax, svarar jag: atomerna vet ju inte att vi delar in dem i galaxer snarare än att bara se dem allihop som existerande i ett och samma oändligt stora världsallt. Anta förresten att atomerna skulle (utifrån ovan beskrivna utgångsläge) flyttas om mellan galaxerna på ett sådant sätt att det i oändligt många (dock inte alla) galaxer kom att finnas fler syreatomer än väteatomer (men utan att någon atom skapades eller försvann). Skulle det då vara fel att hävda att en slumpmässigt* vald atom skulle vara med minst dubbelt så stor sannolikhet en väteatom som en syreatom?

[David H]

Anta hypotetiskt att det finns oändligt många galaxer i världsalltet, att atomer finns endast i galaxer, och att det i precis varenda galax finns 1) minst en syreatom och 2) minst dubbelt så många väteatomer som syreatomer. Då tycks mig mängdlära ge att det finns lika många syreatomer som det finns väteatomer i världsalltet. (Vi antar att varje galax innehåller endast ett ändligt antal atomer vardera.) Samtidigt torde det vara sant att en slumpmässigt* vald atom är med minst dubbelt så stor sannolikhet en väteatom som att den en syreatom. Men hur kan det sistnämnda vara sant, om antalet syreatomer i världsalltet är lika stort som antalet väteatomer? Vore det, i ett världsallt av den sort jag just beskrivit, fel att påstå att en slumpmässigt* vald atom är med minst dubbelt så stor sannolikhet en väteatom som en syreatom?**

*) Anta att, vid varje slumpmässigt val av atom, varje atom oavsett grundämne har exakt lika stor chans att bli vald.

**) Om någon svarar att sannolikheten för att välja en väteatom följer av sannolikheten inuti en (eller varje) galax, svarar jag: atomerna vet ju inte att vi delar in dem i galaxer snarare än att bara se dem allihop som existerande i ett och samma oändligt stora världsallt. Anta förresten att atomerna skulle (utifrån ovan beskrivna utgångsläge) flyttas om mellan galaxerna på ett sådant sätt att det i oändligt många (dock inte alla) galaxer kom att finnas fler syreatomer än väteatomer (men utan att någon atom skapades eller försvann). Skulle det då vara fel att hävda att en slumpmässigt* vald atom skulle vara med minst dubbelt så stor sannolikhet en väteatom som en syreatom?

jag tror svaret är tämligen enkelt, har för mig att vi fick genomgång av det här när jag läste matte,
men jag kan tänka mig att premisserna formuleras något annorlunda då

i matte gör man ju t ex skillnad mellan "oändligt antal" och "antal som går mot oändligheten". att bara säga "oändligt antal" kanske inte är helt komplikationsfritt. vad säger mängdlära inom matematiken? kanske att du formulerat goddag-yxskaft premisser...

men iaf minns jag att när vi gick igenom liknande problem..var svaret att det är dubbelt så stor sannolikhet att få väteatom. tänk t ex att du trär på ett vanligt snöre, två väteatomer, sen en syreatom, upprepa det ca 50 ggr. så knyter du ihop ändarna och sätter de på ett hjul.alltså typ ett chokladhjul, fast här då ett atomhjul. snurra på detta hjul, och det är 2/3 chans att du får väte, 1/3 chans att du får syre (vi låtsas att atomerna är lika stora). hur långt du än följer denna atomkedja kommer den heller aldrig ta slut...den är i ordets rätta bemärkelse o-ändlig. en som sitter och registrerar antal av atomer som passerar viss punkt i cirkeln kommer få ett antal väteatomer som går mot oändligheten, och ett antal syreatomer som går mot oändligheten

[Justin Case]

Det var därför jag i slutet la till:

Anta förresten att atomerna skulle (utifrån ovan beskrivna utgångsläge) flyttas om mellan galaxerna på ett sådant sätt att det i oändligt många (dock inte alla) galaxer kom att finnas fler syreatomer än väteatomer (men utan att någon atom skapades eller försvann). Skulle det då vara fel att hävda att en slumpmässigt* vald atom skulle vara med minst dubbelt så stor sannolikhet en väteatom som en syreatom?

Analogt kan man tänka sig atomerna trädda på ett snöre som du föreslår, och att det från början sett ut så som du beskriver, på det snöre du föreställer dig, så att syreatomerna överallt förekommer glesare än väteatomerna: t.ex. väte, väte, väte, väte, syre, väte, väte, väte, väte, väte, väte, syre, väte, väte, väte... men att atomerna därefter på oändligt många (men inte på oändligt många andra) ställen på snöret flyttats om, så att de på oändligt många ställen på snöret nu sitter så här: ...syre, syre, väte, syre, syre, väte, syre, syre, väte...* Vad säger då att det relevanta för sannolikheten för att en av snörets alla atomer framslumpad atom är en väteatom är hur atomerna sitter på de ställen där atomerna inte flyttats om, snarare än på de ställen där de flyttats om?

Slutligen: anta att atomerna aldrig flyttats om, utan alltid suttit just så som de efter ovan nämnda tänkta omflyttning skulle ha suttit. Varför skulle det då vara så att, vid framslumpning av en av snörets atomer, det relevanta för sannolikheten för att den framslumpade atomen är en väteatom är hur atomerna sitter där som väteatomerna är vanligare än syreatomer, snarare än hur atomerna sitter där som syreatomer är vanligare än väteatomer?

*) Anta att denna omflyttning sker utan att någon atom börjar eller slutar existera. Att på vissa ställen syreatomerna blir i lokal majoritet uppnås alltså på bekostnad av att väteatomernas lokala majoritet på andra ställen blir ännu större än vad den redan var.

[David H]

hm, men så länge det är slumpurval, kan väl ordningsföljd inte ha någon betydelse?

[Justin Case]

hm, men så länge det är slumpurval, kan väl ordningsföljd inte ha någon betydelse?

Nej, det borde det väl inte kunna ha. Det är just det som (tillsammans med övriga premisser) gör det hela så paradoxalt (i mina ögon). Ty om man inte kan grunda [påståendet att sannolikheten är minst 2/3 för att få en väteatom] på vilken ordningsföljd väte- och syre-atomerna befinner sig i i förhållande till varandra (eller med andra ord på "hur de ligger utspridda i förhållande till varandra"), vad ska man då grunda det på, med tanke på att det finns lika stor kardinalitet atomer av bägge sorterna?

Om det är sant att sannolikheten är minst 2/3 att få en väteatom (H) om man slumpar en atom från ett oändligt långt snöre där varje syreatom (O) har minst två väteatomer till vänster om sig och minst två väteatomer till höger om sig, så att de ställen där det går som allra flest syreatomer per väteatom ser ut så här -

...H, H, O, H, H, O, H, H, O, H, H, O...

- då tycker man ju att sannolikheten för att få en väteatom fortfarande borde vara densamma (minst 2/3) även om samma atomer vore placerade på ett sådant sätt att det på oändligt stor del av snöret istället såg ut t.ex. så här:

...O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H...

Eller hur?

Men hur skulle det kunna vara sant (alltså att sannolikheten för att få en väteatom fortfarande skulle vara minst 2/3), med tanke på att man i det sistnämnda fallet inte kan hänvisa detta (att sannolikheten för att få en väteatom fortfarande skulle vara minst 2/3) till att det generellt "går minst två väteatomer per syreatom" och med tanke på att både mängden syreatomer och mängden väteatomer är oändlig med samma kardinalitet?


(Att dra in den eventuella skillnaden mellan "oändligt" och "går mot oändligheten" ser jag inte någon poäng med i det här fallet. Man kan ju inte hävda att antalet väteatomer är oändligt medan antalet syreatomer bara går mot oändligheten; det skulle ju strida mot premisserna; enligt premisserna fanns det oändligt många av bägge sorterna.)

[David H]

hm, men så länge det är slumpurval, kan väl ordningsföljd inte ha någon betydelse?

Nej, det borde det väl inte kunna ha. Det är just det som (tillsammans med övriga premisser) gör det hela så paradoxalt (i mina ögon). Ty om man inte kan grunda [påståendet att sannolikheten är minst 2/3 för att få en väteatom] på vilken ordningsföljd väte- och syre-atomerna befinner sig i i förhållande till varandra (eller med andra ord på "hur de ligger utspridda i förhållande till varandra"), vad ska man då grunda det på, med tanke på att det finns lika stor kardinalitet atomer av bägge sorterna?

Om det är sant att sannolikheten är minst 2/3 att få en väteatom (H) om man slumpar en atom från ett oändligt långt snöre där varje syreatom (O) har minst två väteatomer till vänster om sig och minst två väteatomer till höger om sig, så att de ställen där det går som allra flest syreatomer per väteatom ser ut så här -

...H, H, O, H, H, O, H, H, O, H, H, O...

- då tycker man ju att sannolikheten för att få en väteatom fortfarande borde vara densamma (minst 2/3) även om samma atomer vore placerade på ett sådant sätt att det på oändligt stor del av snöret istället såg ut t.ex. så här:

...O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H...

Eller hur?

Men hur skulle det kunna vara sant (alltså att sannolikheten för att få en väteatom fortfarande skulle vara minst 2/3), med tanke på att man i det sistnämnda fallet inte kan hänvisa detta (att sannolikheten för att få en väteatom fortfarande skulle vara minst 2/3) till att det generellt "går minst två väteatomer per syreatom" och med tanke på att både mängden syreatomer och mängden väteatomer är oändlig med samma kardinalitet?


(Att dra in den eventuella skillnaden mellan "oändligt" och "går mot oändligheten" ser jag inte någon poäng med i det här fallet. Man kan ju inte hävda att antalet väteatomer är oändligt medan antalet syreatomer bara går mot oändligheten; det skulle ju strida mot premisserna; enligt premisserna fanns det oändligt många av bägge sorterna.)

Nja. Jag får intryck av att du missbrukar begreppet "oändlighet". Det funkar liksom inte att bara tänka sig oändligheten som ett jättestort tal och utgå från det. Därför ville jag anspela på dess mer bokstavliga betydelse o-ändlig, alltså i avsaknad av ände/ändar. Då går det inte prata om en oändlighet som slutar vid en punkt och övergår därifrån i en annan oändlighet, likt du gör här.

Om till exempel följden är O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H... och fortsätter så mot oändligheten, ja då betyder det också att denna följd saknar ände och kan därför inte övergå i annan följd (om du inte vill bryta din egen premiss), alltså kommer förhållandet då för alltid vara 3/4 O och 1/4 H...

Det exempel jag pratade om handlade inte om att utgå från ett superlångt snöre, jag pratade om vanligt snöre med obetydlig längd, men genom att sammanfoga ändarna i varandra gör du det o-ändligt.

[Justin Case]

Ett annat tankeexperiment för att visa samma sorts paradox:

Sannolikheten för att min dator i nästa ögonblick ska förvandlas till en potatis är mycket liten, men på grund av den ständiga möjligheten till sammanträffanden av kvantfluktuationer är den inte oändligt liten. Den är större än t.ex. en på Graham's Number. (Graham's Number är oerhört, oerhört, oerhört stort, men inte oändligt stort.) Om det finns oändligt många galaxer av minst Vintergatans storlek, måste det ske oändligt många gånger per plancksekund att, på en planet exakt likadan som vår, framför en människa exakt likadan som mig, i ett rum exakt likadant som mitt, en dator exakt likadan som min förvandlas till en potatis på grund av rena sammanträffanden av kvantfluktuationer. Denna händelse är inte oändligt många gånger ovanligare än "händelsen" att (under de beskrivna omständigheterna) en sådan dator inte förvandlas till en potatis, utan den är t.ex. mindre än Graham's Number gånger ovanligare. Och eftersom vilken oändlig mängd N som helst gånger Graham's Number är lika med N, så måste det alltså vara så att lika många datorer förvandlas till potatisar som inte förvandlas till potatisar. Det tycks i sin tur ge att det är 50% sannolikhet för att min dator i nästa ögonblick förvandlas till en potatis! (Givet att det finns oändligt många galaxer av minst Vintergatans storlek alltså.)

Och det blir värre. Liksom det är 50% sannolikhet i nästa ögonblick, är det (av samma skäl) 50% sannolikhet i det därpå följande ögonblicket också, och 50% i det därpå följande ögonblicket, och så vidare, tills min dator med väldigt nära 100% sannolikhet förvandlats till en potatis.

[Justin Case]

Nja. Jag får intryck av att du missbrukar begreppet "oändlighet". Det funkar liksom inte att bara tänka sig oändligheten som ett jättestort tal och utgå från det. Därför ville jag anspela på dess mer bokstavliga betydelse o-ändlig, alltså i avsaknad av ände/ändar. Då går det inte prata om en oändlighet som slutar vid en punkt och övergår därifrån i en annan oändlighet, likt du gör här.

Många fysiker tror att universum är oändligt stort, d.v.s. innehåller oändligt mycket, så att rummet inte behöver "gå runt runt" för att kunna vara utan ände. Det är den sortens universum min frågeställning gäller.

Enligt matematiker finns det oändligt stora tal, så jag ser inte varför det skulle vara fel att behandla oändligheten som ett tal. Jag behandlar inte oändligheten som ett ändligt stort tal - såvida detta att prata om sannolikheter i ett oändligt stort universum är att behandla oändligheten som ett ändligt stort tal, vill säga. Jag har aldrig hört talas om att det skulle vara obefogat att tala om sannolikheter om universum är oändligt stort.

Om till exempel följden är O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H... och fortsätter så mot oändligheten, ja då betyder det också att denna följd saknar ände och kan därför inte övergå i annan följd (om du inte vill bryta din egen premiss), alltså kommer förhållandet då för alltid vara 3/4 O och 1/4 H...

Man kan tänka sig att, på ett snöre med oändligt många atomer i följd (alltså ett inte bara ändligt snöre utan även oändligt långt snöre), varje regelbundenhet i följden av O- och H-atomer bara är ett ändligt antal atomer lång, så att det inte förekommer alls att oändligt många atomer i rad oavbrutet följer ett enda mönster. Anta detta, och anta att det på oändligt många ställen på snöret ligger ett ändligt men stort antal atomer efter varandra i mönstret O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H, medan det på oändligt många andra ställen på snöret ligger ett ändligt men stort antal atomer efter varandra i mönstret H, H, H, H, O, H, H, H, H, O, H, H, H, H, O, och att fördelningen av dessa två sorters mönster över snöret är sådan att snörets sammantagna atomer skulle ha kunnat - utan att någon atom hade behövt tas bort eller läggas till - ligga (men aldrig har legat) så att det inte någonstans fanns två O med färre än två H mellan sig.

Skulle även i ett sådant universum sannolikheten för att slumpvis dra en väteatom vara minst 2/3? Om den skulle det, hur kommer det sig, med tanke på att det inte finns något i hur atomerna ligger utspridda i förhållande till varandra som talar för ett sådant svar, och med tanke på att det faktum att det finns oändligt många H och oändligt många O vilket, om något, tycks tala för att det inte skulle vara större sannolikhet för att dra en H än för att dra en O?

Det exempel jag pratade om handlade inte om att utgå från ett superlångt snöre, jag pratade om vanligt snöre med obetydlig längd, men genom att sammanfoga ändarna i varandra gör du det o-ändligt.

Om det får plats endast ändligt många atomer på snöret, ser jag inte varför det snöret skulle vara ett rättvisande substitut (eller en rättvisande analogi) till det tankeexperiment jag la fram. Därför tänkte jag mig ett snöre som sträcker sig oändligt långt i bägge riktningar utan att någonstans gå ihop med sig självt. Det finns nämligen inget som säger att det mönster enligt vilket syreatomer och väteatomer vore fördelade i ett sådant oändligt stort universum, som mitt tankeexperiment utgick från, skulle vara av en sådan ständigt upprepande natur (med upprepning av ett och samma ändligt komplexa mönster av väte- och syreatomer) att man lika gärna skulle kunna tänka på det som om det sammantagna antalet atomer vore ändligt.

[David H]

Nja. Jag får intryck av att du missbrukar begreppet "oändlighet". Det funkar liksom inte att bara tänka sig oändligheten som ett jättestort tal och utgå från det. Därför ville jag anspela på dess mer bokstavliga betydelse o-ändlig, alltså i avsaknad av ände/ändar. Då går det inte prata om en oändlighet som slutar vid en punkt och övergår därifrån i en annan oändlighet, likt du gör här.

Många fysiker tror att universum är oändligt stort, d.v.s. innehåller oändligt mycket, så att rummet inte behöver "gå runt runt" för att kunna vara utan ände. Det är den sortens universum min frågeställning gäller.

Enligt matematiker finns det oändligt stora tal, så jag ser inte varför det skulle vara fel att behandla oändligheten som ett tal. Jag behandlar inte oändligheten som ett ändligt stort tal - såvida detta att prata om sannolikheter i ett oändligt stort universum är att behandla oändligheten som ett ändligt stort tal, vill säga. Jag har aldrig hört talas om att det skulle vara obefogat att tala om sannolikheter om universum är oändligt stort.

Huruvida om det måste vara något som går runt för att vara oändligt är kanske en fråga vi kan lämna åt sidan tills vidare. Men alltså att inte behandla det som ett ändligt stort tal är det viktiga, det var det jag fick intryck att du bröt emot.


Fråga av nyfikenhet: på hur hög nivå har du läst matte själv? Universitetsutbildad? Har inte med sakfrågan att göra, jag vet. Men tänker mer för allmän orientering. Har själv bara läst en A-kurs, men vill minnas att redan på den nivån när vi räknade med oändligheter, att det kunde vara ganska trassligt med matematikens regler, vilka lagar som var tillämpbara och vilka metoder som var tillåtna i vilka sammanhang osv..

Om till exempel följden är O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H... och fortsätter så mot oändligheten, ja då betyder det också att denna följd saknar ände och kan därför inte övergå i annan följd (om du inte vill bryta din egen premiss), alltså kommer förhållandet då för alltid vara 3/4 O och 1/4 H...

Man kan tänka sig att, på ett snöre med oändligt många atomer i följd (alltså ett inte bara ändligt snöre utan även oändligt långt snöre), varje regelbundenhet i följden av O- och H-atomer bara är ett ändligt antal atomer lång, så att det inte förekommer alls att oändligt många atomer i rad oavbrutet följer ett enda mönster. Anta detta, och anta att det på oändligt många ställen på snöret ligger ett ändligt men stort antal atomer efter varandra i mönstret O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H, medan det på oändligt många andra ställen på snöret ligger ett ändligt men stort antal atomer efter varandra i mönstret H, H, H, H, O, H, H, H, H, O, H, H, H, H, O, och att fördelningen av dessa två sorters mönster över snöret är sådan att snörets sammantagna atomer skulle ha kunnat - utan att någon atom hade behövt tas bort eller läggas till - ligga (men aldrig har legat) så att det inte någonstans fanns två O med färre än två H mellan sig.

Skulle även i ett sådant universum sannolikheten för att slumpvis dra en väteatom vara minst 2/3? Om den skulle det, hur kommer det sig, med tanke på att det inte finns något i hur atomerna ligger utspridda i förhållande till varandra som talar för ett sådant svar, och med tanke på att det faktum att det finns oändligt många H och oändligt många O vilket, om något, tycks tala för att det inte skulle vara större sannolikhet för att dra en H än för att dra en O?

Jag fick lite svårt att hänga med här. Men jag tror du presenterar gångbara premisser, och att svaret alltså blir "ja", att det är 2/3 chans, om tidigare premisser också gäller.

För illustrera en gångbar lösning på detta problem, gör jag i princip på samma sätt som jag gjorde innan. Nu tar jag återigen ett ändligt snöre, trär på de två mönster du föreslagit med O,O,O,H och H,H,H,H,O. Ser till att totala antalet H utgör minst 2/3 (dvs jag får upprepa H,H,H,O mönstret något fler gånger). Därefter sammanfogar jag ändarna på snöret, och sätter fast det vid mitt atomhjul - som jag sen snurrar igång i evighetssnurr.
(förklarar mer utförligt hur detta atomhjul fungerar längre ner.)
Vad jag genererar då är:
på oändligt många ställen (eller antal som går mot oändlighet) mönstret O, O, O, H, O, O, O, H, O, O, O, H
på oändligt många ställen mönstret H, H, H, H, O, H, H, H, H, O, H, H, H, H, O
inte någonstans finns två O med färre än två H mellan sig (om jag nu begrep denna premiss rätt)
sannolikheten för att slumpvis dra en väteatom minst 2/3

Det exempel jag pratade om handlade inte om att utgå från ett superlångt snöre, jag pratade om vanligt snöre med obetydlig längd, men genom att sammanfoga ändarna i varandra gör du det o-ändligt.

Om det får plats endast ändligt många atomer på snöret, ser jag inte varför det snöret skulle vara ett rättvisande substitut (eller en rättvisande analogi) till det tankeexperiment jag la fram. Därför tänkte jag mig ett snöre som sträcker sig oändligt långt i bägge riktningar utan att någonstans gå ihop med sig självt. Det finns nämligen inget som säger att det mönster enligt vilket syreatomer och väteatomer vore fördelade i ett sådant oändligt stort universum, som mitt tankeexperiment utgick från, skulle vara av en sådan ständigt upprepande natur (med upprepning av ett och samma ändligt komplexa mönster av väte- och syreatomer) att man lika gärna skulle kunna tänka på det som om det sammantagna antalet atomer vore ändligt.

Det blir en perspektivsfråga. Javisst, kan du säga att mitt "substitut" bara innehåller ändlig mängd atomer. Men jag tänkte att då du bara låter hjulet snurra, och du räknar en efter en, kommer det företräda som en oändlig mängd (det finns ingen markerad början eller slut). Räkningen som jag pratar om genererar en mängd som går mot oändligheten.
Är det svårt att föreställa sig, då kan vi tänka oss att atomerna i detta hjul jag pratar om faktiskt duplicerar sig själva i samband med att de räknas - och kopian trillar ner i separat "skål", antingen H-skålen eller O-skålen (och båda dessa två skålar kommer oavbrutet fyllas på mer och mer, antalet i båda skålar går mot oändligheten).

[Justin Case]

Med tanke på att sannolikheten för att ett oändligt stort världsallt skulle ha endast ändlig komplexitet är noll, får man anta att det oändligt stora världsallt som ingick i mina premisser innehåller de två (i ovanstående poster beskrivna) typerna av serier av O och H (som i sig visserligen är endast ändligt komplexa) utspridda på ett sådant oändligt komplext sätt i rummet att den sammantagna fördelningen av O och H i världsalltet inte går att översätta till ett "hjul" med endast ändligt många atomer. Även om ditt hjul snurrar oändligt många varv, uppstår ingen oändlig komplexitet av det. Därför ser jag inte ditt "hjul-tankeexperiment" som en lösning. En liknelse: för att ta reda på exakt hur frekvent siffran 1 är i raden decimaler i talet Pi, duger det inte att köra t.ex. decimalerna 1, 4, 1, 5, 9 om och om igen i ett "hjul". Inget ändligt antal Pi-decimaler stort hjul skulle duga.

Ett bra substitut för min frågeställning är kanske förresten denna fråga:

Vad är sannolikheten för att en decimal 'slumpvis plockad*' från talet Pi:s decimaler är siffran 7?

Spontant vill man svara "en på tio", eftersom varje siffra från 0 till 9 förekommer lika frekvent i talet Pi, nämligen oändligt många gånger vardera. Men just eftersom varje siffra förekommer oändligt många gånger vardera, förekommer siffran 7 lika många gånger som alla de andra siffrorna tillsammans. Mängden sjuor i talet Pi har samma kardinalitet som mängden decimaler i talet Pi som inte är sjuor. Därmed torde t.ex. "en på två" vara ett lika bra svar som "en på tio" (som svar på frågan i fetstil ovan).

Man kan visserligen alltid gå igenom (ett ändligt antal) ändliga sammanhängande följder av decimaler i talet Pi och konstatera att siffran 7 utgör endast ca en tiondel av siffrorna i dessa sifferföljder, men det bevisar inte att en tiondel av samtliga decimaler i talet Pi utgörs av 7:or, och bevisar alltså inte heller att sannolikheten för att svaret på ovanstående fråga är "en på tio" (såvida inte en oändlig mängd N gånger tio blir en mängd som är större än N).

Om universum är oändligt stort och innehåller oändligt mycket materia (och inte bara är oändligt till formen), torde det fungera likadant som talet Pi, nämligen så att vilket fenomen man än frågar efter sannolikheten för inte kan sägas ha någon särskild sannolikhet snarare än någon annan. Innebär inte detta att, om universum är oändligt stort, det är lönlöst att tänka i termer av sannolikheter överhuvudtaget? (Allt som alls kan ske sker ju (oändligt frekvent dessutom), i ett sådant universum, oavsett vad man gör/tänker/tror/väljer/etc.)

*) Med 'slumpvis plockad' menar jag här plockad på så sätt att varenda en av Pi:s oändligt många decimaler har lika stor chans att bli plockad. En sådan handling kan ingen människa idag utföra, men låt oss föreställa oss hypotetiskt att den utför(t)s, detta för att få en fungerande analogi till det ursprungliga tankeexperimentet som utgår från oändliga mängder atomer.

[David H]

Med tanke på att sannolikheten för att ett oändligt stort världsallt skulle ha endast ändlig komplexitet är noll, får man anta att det oändligt stora världsallt som ingick i mina premisser innehåller de två (i ovanstående poster beskrivna) typerna av serier av O och H (som i sig visserligen är endast ändligt komplexa) utspridda på ett sådant oändligt komplext sätt i rummet att den sammantagna fördelningen av O och H i världsalltet inte går att översätta till ett "hjul" med endast ändligt många atomer. Även om ditt hjul snurrar oändligt många varv, uppstår ingen oändlig komplexitet av det. Därför ser jag inte ditt "hjul-tankeexperiment" som en lösning. En liknelse: för att ta reda på exakt hur frekvent siffran 1 är i raden decimaler i talet Pi, duger det inte att köra t.ex. decimalerna 1, 4, 1, 5, 9 om och om igen i ett "hjul". Inget ändligt antal Pi-decimaler stort hjul skulle duga.

Ja, alltså, det går bara använda hjul-liknelsen om det tillåts en regelbunden ordningsföljd.

I första exemplet använde jag regelbunden ordningsföljd med motiveringen att så länge det ska göras slumpurval, har den inbördes ordningsföljden ingen betydelse (alltså kan jag lika gärna presentera den som regelbunden).
I andra exemplet använde jag regelbunden ordningsföljd eftersom jag inte såg något i premisserna som uttryckligen förbjöd mig mot detta, och att ge exempel där jag använder en regelbundenhet gör det mer pedagogiskt begripligt tänkte jag.

(Annars finns väl inte anledning att tro att en ordningsföljd som uppvisar en regelbundenhet, skulle vara mer osannolik än valfri annan specifik ordningsföljd. Jag menar bara för att en tärning har slagit först 1 sen 2 sen 3 sen 4 sen 5, kan du väl inte påstå att tärningen inte skulle kunna slå en 6:a sjätte gången med motiveringen att tärningskastning saknar regelbundenhet. Och på samma sätt kan tärningen fortsätta slå 1-2-3-4-5-6-1-2-3...etc lika gärna som valfri annan specifik kombination.)

Ett bra substitut för min frågeställning är kanske förresten denna fråga:

Vad är sannolikheten för att en decimal 'slumpvis plockad*' från talet Pi:s decimaler är siffran 7?

Spontant vill man svara "en på tio", eftersom varje siffra från 0 till 9 förekommer lika frekvent i talet Pi, nämligen oändligt många gånger vardera. Men just eftersom varje siffra förekommer oändligt många gånger vardera, förekommer siffran 7 lika många gånger som alla de andra siffrorna tillsammans. Mängden sjuor i talet Pi har samma kardinalitet som mängden decimaler i talet Pi som inte är sjuor. Därmed torde t.ex. "en på två" vara ett lika bra svar som "en på tio" (som svar på frågan i fetstil ovan).

Oj, här blev det trassligt. Vill man svara en på tio? Förekommer varje siffra lika frekvent? Hur ska jag veta det.. decimalerna i pi är inte fullständigt räknade. Vad jag vet finns ingen regelbundenhet i decimalerna som gör att vi kan sluta oss till att alla siffror är lika vanligt förekommande.

Har alla oändliga tal samma kardinalitet? När jag kollar wiki om Kardinalitet:

Det finns både ändliga och oändliga kardinaliteter. [...] N (mängden av de naturliga talen) har kardinaltalet Alef-0, eller ℵ0, som är det minsta oändliga kardinaltalet. Nästa större kardinalitet är ℵ1, sedan kommer ℵ2, ℵ3 osv. Alla dessa kardinaltal är naturligtvis oändliga.

Här pratas det friskt om olika oändliga tal med olika kardinalitet. Men detta är bortom mitt förstånd, tror det behövs en väl bevandrad matematiker för att någotsånär kunna reda ut dessa begrepp.

Man kan visserligen alltid gå igenom (ett ändligt antal) ändliga sammanhängande följder av decimaler i talet Pi och konstatera att siffran 7 utgör endast ca en tiondel av siffrorna i dessa sifferföljder, men det bevisar inte att en tiondel av samtliga decimaler i talet Pi utgörs av 7:or, och bevisar alltså inte heller att sannolikheten för att svaret på ovanstående fråga är "en på tio" (såvida inte en oändlig mängd N gånger tio blir en mängd som är större än N).

Om fallet är så, är det väl tillräckligt för att se att detta exempel inte är analogt med tidigare exempel.

I OH-exemplet finns det en premiss som förklarar förhållandet mellan O och H:

Anta hypotetiskt att det finns oändligt många galaxer i världsalltet, att atomer finns endast i galaxer, och att det i precis varenda galax finns 1) minst en syreatom och 2) minst dubbelt så många väteatomer som syreatomer

I Pi-exemplet saknas premiss som säger något om förhållandet mellan 7 och övriga siffror, som du skriver, det finns inget bevis för att sjuorna utgör en tiondel av siffrorna. (Eller kanske finns det bevis, vad vet jag, Pi är ett komplicerat begrepp inom matematiken..lätt att gå i "fallgropar" när man uttalar sig om det)

[Marko]

om oändligt är oräkneligt, varför räknar ni på det som inte kan räknas ?

[David H]

om oändligt är oräkneligt, varför räknar ni på det som inte kan räknas ?

på vad sätt räknar vi något oändligt?

som mattestudent får man inte räkna oändligheter, men man får räkna med oändligheter ibland  :-k

[Marko]

om oändligt är oräkneligt, varför räknar ni på det som inte kan räknas ?

på vad sätt räknar vi något oändligt?

som mattestudent får man inte räkna oändligheter, men man får räkna med oändligheter ibland  :-k

: ) .. räkna med det som inte att går att räkna med.

i en beskriven referens så kan en upprepad talföljd uppstå, men förhållandet mellan refferenserna är inte upprepande eller en talföljd. den är exempelvis 1/3


Det där med pi och räkna ut frekvensen för talet 1 var intressant.. Blev nästan sugen på att se dynamiken i talens frekvens. ..

[David H]

om oändligt är oräkneligt, varför räknar ni på det som inte kan räknas ?

på vad sätt räknar vi något oändligt?

som mattestudent får man inte räkna oändligheter, men man får räkna med oändligheter ibland  :-k

: ) .. räkna med det som inte att går att räkna med.

i en beskriven referens så kan en upprepad talföljd uppstå, men förhållandet mellan refferenserna är inte upprepande eller en talföljd. den är exempelvis 1/3


Det där med pi och räkna ut frekvensen för talet 1 var intressant.. Blev nästan sugen på att se dynamiken i talens frekvens. ..

Ah, men då menar jag att det visst går att räkna med oändligheter. Pi delat på Pi = 1, till exempel. Där delar du två tal med oändlig mängd decimaler med varandra, och du får ett naturligt svar som följd. : )