Matematisk filosofi. Steg i "definitionen" av e^x

[NFM]

Jag har väldiga problem med ett problem som jag har i läxa. Det ser ut enligt följande:

Givet: (x,y)(f(x+y)=f(x)f(y)), f är ej en konstant funktion, (x)(f(x)>0), f(0)=1, f är kontinuerlig, F(x)=integralen för f mellan 0 och x.

Visa att: f(x)F(1)=F(x+1)-F(x) och dra slutsatsen att f är deriverbar.

Det känns ruttet att be om hjälp såhär, men jag satt hela gårdagen och försökte lösa problemet och kom ingenstans så jag vore mycket tacksam för lite hjälp.

[hovnarr]

Har inte så lång tid på mig just nu, men du kan väl börja med att visa hur långt du kommit? Rent spontant skulle jag göra såhär:

Lös ut f(x) ur första uttrycket.

Integrera, dvs. teckna F(x) (konstattermen borde ges av villkoret).

Finn F(1) och lös visa att-satsen.

[NFM]

Men f är (än så länge) en funktion som, förutom restriktionerna jag angav tidigare, är helt godtycklig. Jag kan alltså inte teckna F(x).

Jag har i stort sett inte kommit någonstans. Jag försöker komma på några kända regler som rör produkten av en funktion och primitiven av samma funktion men finner inget, trots timmar av letande i min analysbok.

Kursen är tänkt att kunna klaras efter bara ett halvårs studier av naturvetenskaplig matematik så det borde ju inte vara så svårt.

Tack för hjälpen oavsett.

[hovnarr]

Jag tänkte att du kunde använda den första restriktionen för att teckna ett uttryck för f(x), men det är något besynnerligt med den:

(x,y)(f(x+y)=f(x)f(y))

Sitter parentestecknen rätt? I så fall ser jag inte att det är ett villkor överhuvudtaget. Vad har den godtyckliga punkten (x,y) där att göra?

I alla fall, om f(x+y) = f(x)f(y) vilket det står i den högra stora parentesen, då är ju f(x) = f(x+y)/f(y). Variabeln x+y kan vi kalla för z. Är det möjligt att teckna en allmän integral F(x) om f(x) = f(z)/f(y)? Hittar ingen sån regel heller tyvärr.

Finns det inget facit till uppgiften? Eller en lärare att fråga?

[NFM]

Jag uttryckte mig väldigt klantigt. Det jag menar är att det gäller för alla x och alla y att f(x+y)=f(x)f(y). Jag ber om ursäkt för det.

[hovnarr]

Ingen fara. Om det inte finns facit kanske du har anteckningar kring härledningen av funktionen e^x som är användbara? För det luktar ju e^x om hela talet (stämmer med villkoren och visa att-satsen). Alternativt googla andra härledningar av e^x... Kan nog inte hjälpa till mer än så tyvärr :/

[NFM]

Jag ska höra med mina kursare imorgon. Annars får jag veta på tisdag.

Jag kan skriva ned lösningen här när jag vet, ifall någon är nyfiken.

Tack för hjälpen!

[suchanother]

Jag är något  undrande här över din ekvation f(x)F(1)=F(x+1)-F(x).

Bör var f(x)F(1)-F(0)=F(x+1)-F(x) istället?

Låt [ f(t)dt, {a,b} ] vara integralen från a till b, då är
(1) [ f(t)dt, {x,x+1} ]=F(x+1)-F(x), enl. definitionen på Riemann-integral.
Gör substitutionen y=t-x, vi får då integralen från 0 till 1 och funktionen f(t)=f(y+x)=f(y)f(x).
(1) blir då [ f(t)dt, {x,x+1} ]=[ f(y+x)dy,{0,1} ]=f(x)[f(y)dy,{0,1} ]=f(x)(F(1)-F(0)) och vi får f(x)F(1)-F(0)=F(x+1)-F(x).

(f.ö. är villkoret f(0)=1 redan uppfyllt av förutsättningen f>0, f(x+y)=f(x)f(y) med y=0)

[Dura M]

Bör var f(x)F(1)-F(0)=F(x+1)-F(x) istället?

F(x) betecknar inte primitiv funtion utan integralen F(x) = [ f(t) dt, {0, x} ], så F(0) = 0 enligt definitionen.

Annars snygg lösning.

[suchanother]

Har du rätt i. Glömde att vi hade en bestämd integral.