Att lägga till och dra bort i en oändlighet

[Rorschach]

Påståendet "D.v.s. varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S" ovan är fel. Det stycket från wikipedia säger är att det existerar oändliga delmängder av en mängd S som har samma storlek.

Ja och den minsta oändliga mängd man kan plocka ur en uppräkneligt oändlig mängd S har kardinaliten alpeh-null och därmed följer mitt påstående.

...För att förstå varför påståendet är falskt så kan vi försöka hitta ett motexempel. Låt S vara mängden av reella tal. Det är en överuppräknelig mängd. ...".

Om du tittar tillbaka så refererade jag på uppräknelig mängd, vilket är fallet med ett oändligt antal pingisbollar. Och då hävdar jag att ditt motexempel ej är relevant och mitt resonemang håller. Håller du med?

Påståendet "D.v.s. varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S" är fel. Om du vill ändra det till "Varje oändlig delmängd av en uppräkneligt oändlig mängd S är lika stor som S" så kan jag instämma i det. Det har dock inte särskilt mycket att göra med wiki-stycket som du citerade.

Det man kan lägga märke till är att i wiki-stycket tas det ej för givet att S är en uppräkneligt oändlig mängd.

[Rorschach]

Algotezza frågade om oändligheten har reell anknytning.
Ingen har ju sett oändligheten i verkligheten så den måste ju vara en ren tankekonstruktion.

Sen, ni som diskuterar oändligheten missar en poäng i att all oändlighet behöver inte var oändligt stort, oändligheten kan också vara ”det oändligt lilla”, för att citera Newton ang. hans infinitesimalkalkyl. Alltså har oändligheten två riktningar, upp och ner, det oändligt stora och det oändligt lilla.

En intressant fråga är; varför behövs dessa tankekonstruktioner?
Kommer med eget svar senare.

Låt oss anta att det finns en planet som ingen sett, menar du att den måste vara en ren tankekonstruktion?

[ParadOxen]

Om du vill ändra det till "Varje oändlig delmängd av en uppräkneligt oändlig mängd S är lika stor som S" så kan jag instämma i det. Det har dock inte särskilt mycket att göra med wiki-stycket som du citerade.

Det man kan lägga märke till är att i wiki-stycket tas det ej för givet att S är en uppräkneligt oändlig mängd.

Om du tittar igen så hade jag uppräknelig oändlig mängd från början, d.v.s. jag har inte ändrat något utan du som missat detta faktum. Kolla igen så får du se. För att sammanfatta mina två utgångspunkter:

ETT: Jag hade uppräknelig oändlig mängd som utgångspunkt: Oändligt antal pingisbollar som Johan introducerade.

TVÅ: Stödde jag min argumentation på en definition på wiki som inbegriper generella (d.v.s även ouppräkneliga) mängder.

Så ETT begränsade TVÅ så att: ETT+TVÅ => Varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S.

Dessutom börjar detta urarta till vem som sa vad. Kan vi inte lägga det åt sidan och nöja oss med att vi faktiskt är överens när det gäller ovanstående slutsats?

[suchanother]

???

[Rorschach]

Om du vill ändra det till "Varje oändlig delmängd av en uppräkneligt oändlig mängd S är lika stor som S" så kan jag instämma i det. Det har dock inte särskilt mycket att göra med wiki-stycket som du citerade.

Det man kan lägga märke till är att i wiki-stycket tas det ej för givet att S är en uppräkneligt oändlig mängd.

Om du tittar igen så hade jag uppräknelig oändlig mängd från början, d.v.s. jag har inte ändrat något utan du som missat detta faktum. Kolla igen så får du se. För att sammanfatta mina två utgångspunkter:

ETT: Jag hade uppräknelig oändlig mängd som utgångspunkt: Oändligt antal pingisbollar som Johan introducerade.

TVÅ: Stödde jag min argumentation på en definition på wiki som inbegriper generella (d.v.s även ouppräkneliga) mängder.

Så ETT begränsade TVÅ så att: ETT+TVÅ => Varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S.

Dessutom börjar detta urarta till vem som sa vad. Kan vi inte lägga det åt sidan och nöja oss med att vi faktiskt är överens när det gäller ovanstående slutsats?

Påståendet "Varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S" är fortfarande falskt. Det är ett befängt påstående som har ett enkelt motexempel. Angående att du med en mängd S syftar på mängden av pingisbollar så verkade det rimligare att du syftade på mängden S som nämndes i wiki-inlägget precis innan ditt "D.v.s.". Denna mängd förutsätts inte vara uppräkneligt oändlig.  

Det Johan introducerade var som sagt ett oändligt antal pingisbollar. Till skillnad från naturliga tal som är ett vedertaget begrepp så är det oklart vilken kardinalitet denna oändliga mängd av pingisbollar skulle ha.

[suchanother]

ETT: Jag hade uppräknelig oändlig mängd som utgångspunkt: Oändligt antal pingisbollar som Johan introducerade.

TVÅ: Stödde jag min argumentation på en definition på wiki som inbegriper generella (d.v.s även ouppräkneliga) mängder.

Så ETT begränsade TVÅ så att: ETT+TVÅ => Varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S.

Dessutom börjar detta urarta till vem som sa vad. Kan vi inte lägga det åt sidan och nöja oss med att vi faktiskt är överens när det gäller ovanstående slutsats?

Stämmer inte och du har fel.
"Varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S."
T ex är de naturliga talen en delmängd av de reella talen men ingalunda lika stor.

[Rorschach]

???

'

För att eventuellt göra det mer begripligt:

Algotezza frågade om oändligheten har reell anknytning.
Ingen har ju sett oändligheten i verkligheten så den måste ju vara en ren tankekonstruktion.

Låt oss anta att det finns en planet som ingen sett, menar du att den måste vara en ren tankekonstruktion?

Det finns likheter mellan de två citaten. Är det tillräckligt att ingen har sett ett objekt x för att x skall vara en ren tankekonstruktion?

[Algotezza]

???

'

För att eventuellt göra det mer begripligt:

Algotezza frågade om oändligheten har reell anknytning.
Ingen har ju sett oändligheten i verkligheten så den måste ju vara en ren tankekonstruktion.

Låt oss anta att det finns en planet som ingen sett, menar du att den måste vara en ren tankekonstruktion?

Det finns likheter mellan de två citaten. Är det tillräckligt att ingen har sett ett objekt x för att x skall vara en ren tankekonstruktion?

Planeten är väl också en tankekonstruktion om du bara antar dess existens.

Med vänlig hälsning Algotezza

[Algotezza]

???

'

För att eventuellt göra det mer begripligt:

Algotezza frågade om oändligheten har reell anknytning.
Ingen har ju sett oändligheten i verkligheten så den måste ju vara en ren tankekonstruktion.

Låt oss anta att det finns en planet som ingen sett, menar du att den måste vara en ren tankekonstruktion?

Det finns likheter mellan de två citaten. Är det tillräckligt att ingen har sett ett objekt x för att x skall vara en ren tankekonstruktion?

Planeten är väl också en tankekonstruktion om du bara antar dess existens. Kan du visa att den finns har du i någon mening sett den, i betydelsen erfarit att den finns.

Med vänlig hälsning Algotezza

[ParadOxen]

Påståendet "Varje oändlig delmängd av en mängd S är lika stor som S" är fortfarande falskt. Det är ett befängt påstående som har ett enkelt motexempel. Angående att du med en mängd S syftar på mängden av pingisbollar så verkade det rimligare att du syftade på mängden S som nämndes i wiki-inlägget precis innan ditt "D.v.s.". Denna mängd förutsätts inte vara uppräkneligt oändlig.  

Det Johan introducerade var som sagt ett oändligt antal pingisbollar. Till skillnad från naturliga tal som är ett vedertaget begrepp så är det oklart vilken kardinalitet denna oändliga mängd av pingisbollar skulle ha.

OK, jag ger mig. Jag har varit otydlig. Jag skulle ha gjort två saker som jag tydligen brustit i:

1) Att jag menade uppräkneligt antal pingisbollar när jag refererade till S.

2) Att anta att det inses med lätthet att ett oändligt antal pingisbollar är lika många som de naturliga talen.

Ok då fixar jag till detta:

1) Anser att jag redan har fixat nu, för ingen kan väl invända mot vad jag faktiskt menade men brast i att förmedla.

2) Eftersom jag kan numrera alla pingisbollar med ett nummer så har jag skapat en bijektion och då har de naturliga talen och pingisbollarna samma kardinalitet, d.v.s. lika stora.

Kommenterar inte mer om vad jag sagt eller menat eftersom jag anser att det borde vara självklart på detta forum med tänkande individer. Jag lovar att hädanefter vara tydligare i mina inlägg och ber om ursäkt för att jag bidragit till att denna tråd har helt urartat.

[Justin Case]

För att spara tid för de läsare som inte vill läsa en lång diskussion om "vem som sagt vad och avsett vad", kanske ni två som fört den diskussionen skulle vilja skicka varsin förfrågan till moderator om att ta bort de onödiga inläggen i fråga? De inläggen kunde ersättas med ett enda, typ:

"Om mängden pingisbollar är uppräkneligt oändlig, är varje oändligt stor delmängd av pingisbollarna lika stor som den totala mängden pingisbollar. Detsamma anses dock inte behöva gälla om mängden pingisbollar är ouppräkneligt oändlig".

[Justin Case]

Jag har funderat och funderat över det där påstådda "beviset" (Cantors teorem) för att mängden reella tal har större kardinalitet än vad mängden naturliga tal har. Jag tror jag förstår varför man upplever det som tungt vägande i diskussionen. Det tilltalar vår logisk-matematisk-analytiska sida. Vad jag dock inte förstår är varför matematikerna upplever att det så självklart övertrumfar den motstridiga intuitionen att "inget kan vara större än oändligheten" (exempel på den sistnämnda intuitionen är intuitionen att "ingen mängd pingisbollar kan vara större än en given oändlig mängd pingisbollar"). Enligt denna sistnämnda intuition är matematikers indelande av oändliga mängder i "uppräkneligt" och "ouppräkneligt" oändliga mängder bara rena tankekonstruktioner, att jämföra med jultomten. Är något oändligt stort, är det väl bara nonsens att dilla om uppräknelighet? Oändlghet är väl till sin natur aldrig uppräknelig, kan intuitionisten hävda.

I diskussionen verkar det som att båda läger har accepterat den outtalade indelningen av parterna i å ena sidan "de som föredrar att lita på det som tycks logiskt/matematiskt bevisat" (d.v.s. de som köper Cantors teorem och alltså anser att det finns olika stora oändliga mängder) och å andra sidan "de som föredrar att lita på intuition" (de som hävdar att det inte kan finnas olika stora oändliga mängder). En sådan uppdelning finner jag godtycklig. Båda litar både på logik och intuition, bara på olika sätt. Det är oklart för mig varför man ska se det som att det ena lägret litar mer på logik och det andra mer på intuition.

Anta att vi ingenstans kände ( /kände på oss) att matematiska bevis och logisk koherens hade något värde. Då skulle vi inte uppleva Cantors teorem som övertygande för fem öre. Att vi upplever det som övertygande, i den mån vi gör det, förutsätter alltså någon sorts intuition. Intuition är alltså någonting omistligt även för Cantors teorems försvarare. Därmed är Cantors teorem inte självklart mer pålitligt än vår intuition att "inget kan vara större än oändligheten". Vilket av dessa två läger som än har rätt och vilket som än har fel, har det läger som har fel fel på grund av att dess intuition leder fel. Vilken intuition känns lättast att krossa? Intuitionen som talar till förmån för Cantors teorem eller intuitionen som säger att det inte kan finnas en mängd pingisbollar som är större än en oändligt stor mängd pingisbollar? Jag tycker det är väldigt svårt att välja!

Jag är alltså inte alls övertygad om att mängden reella tal är större än mängden naturliga tal.

Jag tror dock som sagt att det lönar sig mer (och det är en helt annan sak) att utgå från att det finns olika stora oändliga mängder även om det faktamässigt sett inte finns mer som talar för att det är så i verkligheten än vad det finns som talar för motsatsen. Jag har, om något, relativt svårare att se att vi skulle ha något att vinna på att utesluta att det kan finnas olika stora oändliga mängder - även om det faktiskt inte kan finnas olika stora oändliga mängder - än vad jag har att se att vi kan vinna något på att anta att Cantors teorem stämmer. Det är så att säga Cantors teorem som statistiskt sett torde ge mest "utdelning" att utforma sitt liv efter, av de två motstridiga sätten att se på oändlighet. Att man bör "leva som om Cantors teorem stämde" följer alltså inte direkt av att (man tror att) Cantors teorem är en faktamässigt sann beskrivning av verkligheten, utan är istället en följd av strategiska överväganden som i det här fallet inte är beroende av att man tror att Cantors teorem stämmer. Liknelse: man behöver inte tro (=finna det minst 50% sannolikt) att man kommer att få nytta av en stöldförsäkring för att det ska vara vettigt att köpa en stöldförsäkring.

Det är kanske även ungefär som att en viss grupp cancerpatienter, som har högst 2% chans att bli friska, men som genom självhypnos eller andra alternativmedicinska tricks får sig själva att uppriktigt tro att det är minst 50% chans att de kommer att bli friska, visserligen lurar sig själva grovt och alltså fortfarande bara har max 2% chans att bli friska i verkligheten, men att de har närmare 2% chans att bli friska än vad de patienter har som helt i faktamässig enlighet med verkligheten är fullt på det klara med att de har högst 2% chans att överleva (dessa kanske i snitt bara har 1% chans att överleva, på grund av det sämre mående deras (nästan alltid befogade) brist på framtidstro medför).

Det kan helt enkelt på vissa områden "vara rätt att tro faktamässigt fel". Observera att även de optimistiska cancerpatienterna i exemplet ovan tror väldigt fel nästan i alla fall, bara i aningen färre fall än de pessimistiska som å andra sidan tror mer "rätt". Men att detta räcker för att det ska vara rationellt av dem att välja att bli irrationella och tro fel om sina statistiska framtidsutsikter.

Låt oss dock för klarhets skull vara klara över att Cantors teorem verkligen inte är ett bevis, men att det troligen ändå är bäst (eller minst lika bra) att utforma sitt liv som det vore rationellt att man gjorde om Cantors teorem stämde.

[Justin Case]

Jag tror å andra sidan att det kan vara så att ett oändligt antal pingisbollar (oavsett om det är s.k. uppräkneligt oändligt eller s.k. ouppräkneligt oändligt) verkligen ökar redan av att bara ökas genom multiplicering med ett ändligt tal. Jag tänker på hur jag ser på lycka och lidande. Jag är hellre lycklig måndag till lördag varje vecka, och olycklig varje söndag, i en evighet, än tvärtom, i samma evighet. Detta trots att det i båda fallen enligt matematiken borde vara fråga om samma kardinalitet lycka och samma kardinalitet lidande. På liknande sätt är att det kanske även är så att t.ex. sju gånger Aleph-0 är större än Aleph-0, att två gånger mängden reella tal är större än mängden reella tal etc. (emellertid gäller i så fall - naturligtvis - Cantors teorem, att mängden reella tal är större än mängden naturliga tal).

[Justin Case]

En annan sak som jag inte blir klok på:
Mängdlära säger att mängden [två upphöjt till Aleph-0] har större kardinalitet än Aleph-0, medan det inte finns någon mängd med större kardinalitet än Aleph-0 men mindre kardinalitet än mängden [två upphöjt till Aleph-0].

Hur är det med en sådan mängd som [1,99 upphöjt till Aleph-0]? Har den samma kardinalitet som mängden [2 upphöjt till Aleph-0]?

Hur är det då med en sådan mängd som [1,0000000001 upphöjt till Aleph-0]? Har den samma kardinalitet som mängden [2 upphöjt till Aleph-0]? Gäller detta även om man lägger till nollor, ända tills antalet nollor i "1,000000...1 upphöjt till Aleph-0" är Aleph-0? Får man alltså plötsligt 1, från att dessförinnan (vid ett godtyckligt ändligt antal nollor ovan) alltid ha fått samma kardinalitet som [2 upphöjt till Aleph-0]? Hoppas alltså Aleph-0 "över" helt, så att man hoppar direkt från mängden [2 upphöjt till Aleph-0] ned till mängden 1, utan att någonstans passera Aleph-0? Betyder det i så fall att oavsett hur många nollor man tänker sig efter ettan och kommatecknet i mängden [1,000000...1 upphöjt till Aleph-0] så kan den mängd som därmed uttrycks bara antingen vara en milt uttryckt större kardinalitet än Aleph-0 eller en milt uttryckt mindre kardinalitet än Aleph-0? Problemet med det (om det är så) är att det måste finnas ett sådant antal nollor, i alla fall i teorin, att man kan skriva mängden [1,00000...1 upphöjt till Aleph-0] med ett sådant antal decimalnollor som behövs mellan "1," och den avslutande ettan som behövs för att den mängd som uttrycks inom klamrarna ska ha samma kardinalitet som Aleph-0.

Om svaret är att det inte går att meningsfullt tala om sådant som [1,000...(ändligt antal nollor)...0001 upphöjt till Aleph-0], tänker jag att det måste gå: det måste väl finnas en delmängd av de reella talen som råkar vara exakt så stor att den teoretiskt (om man hade en evighet på sig) skulle kunna skrivas på det sätt som ovan föreslagits inom klamrar? Eller finns det något matematiskt bevis för att någon sådan mängd inte kan finnas? I så fall: finns det ett bevis för att inget decimaltal mellan 1 och 2 kan upphöjas till Aleph-0 på ett meningsfullt sätt, fastän både 1 och 2 kan det, och fastän det måste finnas en oändlig mängd tal som man tycker teoretiskt borde kunna, men inte kan, skrivas genom att utnyttja det i praktiken "oändligt" stora "glappet" mellan 1 och 2 i uttrycken [1 upphöjt till Aleph-0] och [2 upphöjt till Aleph-0]?

[Dura M]

Vad jag dock inte förstår är varför matematikerna upplever att det så självklart övertrumfar den motstridiga intuitionen att "inget kan vara större än oändligheten" (exempel på den sistnämnda intuitionen är intuitionen att "ingen mängd pingisbollar kan vara större än en given oändlig mängd pingisbollar").

...

Jag tror å andra sidan att det kan vara så att ett oändligt antal pingisbollar (oavsett om det är s.k. uppräkneligt oändligt eller s.k. ouppräkneligt oändligt) verkligen ökar redan av att bara ökas genom multiplicering med ett ändligt tal.

Så din intuition säger både att alla oändligheter måste vara lika stora och att en oändlighet kan vara dubbelt så stor som en annan.

Intuitionen ger alltså inte mycket till vägledning i frågan.

Återstår då att ägna sig åt matematik istället. Vad man gör då är att man definierar sina begrepp noggrant och studerar vilka logiska konsekvenser det medför. Sålunda definierar man begrepp som bijektivitet och kardinalitet. Sedan upptäcker man (leder i bevis) att det finns oändliga mängder (t.ex. N och R) för vilka ingen bijektiv avbildning är möjlig och som därmed är av olika kardinalitet. Inte knepigare än så.

Om detta sedan har någon relevans "i verkligheten" har liksom inte med saken att göra. Matematiken har inte som huvudsaklig uppgift att modellera verkligheten. Det finns andra vetenskaper som ägnar sig åt det.