Oändligheten och evigheten

[freddemalte]

hmm, förstår inte riktigt frågan. Vill du ha påståendet omskrivet som en funktion från de udda talen till de jämna?

Nä, skippa det - jag får gissa vad det innebär helt enkelt. Kan ju passa på att, ur okunskapens träsk, fråga om man i så fall kan tilldela alla jämna tal (vart och ett) oändligt många udda tal, så att vart och ett av de jämna talen inte är tilldelat ett udda tal som ett annat jämnt tal är tilldelat?

Vänligen

Fredrik

PS. Om du eller någon annan här inte förstår denna fråga så skippa det. DS.

[Dura M]

Kan ju passa på att, ur okunskapens träsk, fråga om man i så fall kan tilldela alla jämna tal (vart och ett) oändligt många udda tal, så att vart och ett av de jämna talen inte är tilldelat ett udda tal som ett annat jämnt tal är tilldelat?

Du kan t.ex. börja med att tilldela talet 2 vartannat udda tal (1,5,9,13,...). Tilldela sedan talet 4 vartannat av de resterande udda talen (3,11,19,27,...), osv. (Med andra ord, tilldela talet 2n talen 2^n * (2k-1) - 1, där n och k är naturliga tal > 0.) På detta sätt kommer varje udda tal paras ihop med ett och endast ett jämnt tal och varje jämnt tal med en oändlig mängd udda.

[freddemalte]

Kan ju passa på att, ur okunskapens träsk, fråga om man i så fall kan tilldela alla jämna tal (vart och ett) oändligt många udda tal, så att vart och ett av de jämna talen inte är tilldelat ett udda tal som ett annat jämnt tal är tilldelat?

Du kan t.ex. börja med att tilldela talet 2 vartannat udda tal (1,5,9,13,...). Tilldela sedan talet 4 vartannat av de resterande udda talen (3,11,19,27,...), osv. (Med andra ord, tilldela talet 2n talen 2^n * (2k-1) - 1, där n och k är naturliga tal > 0.) På detta sätt kommer varje udda tal paras ihop med ett och endast ett jämnt tal och varje jämnt tal med en oändlig mängd udda.

Tack för ett konkret och tydligt samt väldigt intressant svar!

Vänligen

Fredrik

PS. Jag misstänkte att det var så (intuitivt) då en oändlighet torde räcka till allt DS.

[Rorschach]

PS. Jag misstänkte att det var så (intuitivt) då en oändlighet torde räcka till allt DS.

Ah, men det finns olika stora oändliga mängder! Det går exempelvis inte att para ihop de naturliga talen med de reella talen -- där räcker inte den oändliga mängden av naturliga tal till.

[freddemalte]

PS. Jag misstänkte att det var så (intuitivt) då en oändlighet torde räcka till allt DS.

Ah, men det finns olika stora oändliga mängder! Det går exempelvis inte att para ihop de naturliga talen med de reella talen -- där räcker inte den oändliga mängden av naturliga tal till.

Ja, just det! Så är det ju Spännande!!! Det är ju intressant att en oändlighet av något inte kan räcka - men nu är jag med! Tack Rorschach!

[Justin Case]

Låt oss kalla talserien (1,5,9,13,...) för A, och talserien (2,4,6,8...) för B. Anta att alla talen i talserie A är hopparade med varsitt unikt tal i talserie B, enligt 1&2, 5&4, 9&6, 13&8, osv.

Anta att P = påståendet att det finns minst ett tal t i A för vilket gäller att inget tal större än t-17 finns i B. (Om P är sant gäller alltså att talserie A sträcker sig till högre tal än talserie B.)

Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 101, vore P sant.
Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 102, vore P sant.
Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 103, vore P sant.

Observera även att P rentav vore sant med godare och godare marginal ju längre än till nummer 103 talserierna A och B skulle sträcka sig till.

Extrapolering av ovanstående trend ger att:
Om talserierna A och B sträcker sig till tal nummer w (och alltså innehåller uppräkneligt oändligt många tal), är P sant.

[Dura M]

Om talföljderna fortsätter utan begränsning så finns det inget tal t i A för vilket inget tal större än t-17 finns i B. I så fall gäller alltså inte P. Om du istället tänker dig att talföljderna har en övre gräns men inkluderar tal som w får du nog definiera noggrannare hur du tänker dig detta. Om t.ex. w finns med i talföljd A, vilket tal är då w hopparat med?

[freddemalte]

Anta att det i universum finns oändligt många schimpanser som har två bananer var. Anta kontrafaktiskt att detta är allt om finns i universum. Varje schimpans äter därefter upp en av sina bananer. Hur många bananer är kvar? Oändligt många. Om antalet bananer hade varit endast lika stort som antalet schimpanser, hade det inte blivit några bananer kvar när varje schimpans åt upp en banan. Nu blev det det. Det tyder i min ögon på att det från början fanns fler bananer än schimpanser.

Jag upplever det mer som att det tyder på att du hanterar oändligheten som vore det en begränsad mängd (begränsat antal). Men jag håller med om att det är lurigt, att man (jag i alla fall) intuitivt vill hantera evigheten och oändligheten som vanliga tal (åter igen en begränsning i vår abstraktionsförmåga) alternativt ett tecken på att oändligheten och evigheten egentligen är en produkter av vår fantasi ungefär så som antagligen Tesserakten också är en sådan fantasiprodukt.

Vänligen

Fredrik

[Justin Case]

Anta att det i universum finns oändligt många schimpanser som har två bananer var. Anta kontrafaktiskt att detta är allt om finns i universum. Varje schimpans äter därefter upp en av sina bananer. Hur många bananer är kvar? Oändligt många. Om antalet bananer hade varit endast lika stort som antalet schimpanser, hade det inte blivit några bananer kvar när varje schimpans åt upp en banan. Nu blev det det. Det tyder i min ögon på att det från början fanns fler bananer än schimpanser.

Jag upplever det mer som att det tyder på att du hanterar oändligheten som vore det en begränsad mängd (begränsat antal). Men jag håller med om att det är lurigt, att man (jag i alla fall) intuitivt vill hantera evigheten och oändligheten som vanliga tal (åter igen en begränsning i vår abstraktionsförmåga) alternativt ett tecken på att oändligheten och evigheten egentligen är en produkter av vår fantasi ungefär så som antagligen Tesserakten också är en sådan fantasiprodukt.

Naturligtvis skulle alltsammans bli enklare om universum vore ändligt stort. Men till saken hör att det finns starkare skäl att anta att universum är oändligt stort än att anta att det är ändligt stort. Om man antar att universum är oändligt stort, är det nämligen lättare att förklara vår existens än om universum innehåller endast ett ändligt antal partiklar, t.ex. endast de ca 10^100 partiklar vi genom observationer kan konstatera att universum minst måste innehålla. Om universum är oändligt stort, är det oändligt många gånger närmare 100 procent sannolikt att några sådana som vi skulle ha uppstått, än om universum hade varit endast ändligt stort (t.ex. ca 10^100 partiklar stort). Av Bayes sats* - http://sv.wikipedia.org/wiki/Bayes_sats - följer, vad jag kan se, att universums storlek oändligt mycket mer sannolikt är oändlig än ändlig, då oändligt många gånger fler av de storlekar, som universum skulle kunna ha, i de scenarior i vilka vår existens är given eller åtminstone inte infinitesimalt sannolik, är oändliga, än vad de storlekar, som universum skulle kunna ha, i de scenarior i vilka vi inte sannolikt skulle ha existerat. Av det följer, vad jag kan se, att vi bör vara hundraprocentigt eller åtminstone väldigt nära hundraprocentigt säkra på att universum är oändligt stort.

En liknelse: Om ett kvalster i pälsen på en hund skulle tänka: "det skulle kunna vara så att det bara finns ett enda hårstrå i hela universum, för det är det enda som behövs för att förklara det jag kan observera, nämligen ett hårstrå, det jag bor på", skulle det på något sätt vara något som talade för att endast ett av hundens hårstrån existerade snarare än för att hela hunden existerade? Nej. Och om det finns en hund, varför skulle det då bara finnas en enda hund? Och så vidare.

Ett annat argument för universums oändlighet:
Om man börjar räkna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... osv, och om man betänker att vart och ett av de tal man i praktiken uppnår genom en sådan uppräkning tycks gå att finna en verklighetsmotsvarighet till i det verkliga livet, t.ex. "jag är en", "jag och min partner är två", "vår familj är tre, snart fyra", "jag har fem fingrar på ena handen", "jag har tio fingrar och tio tår", "det finns ungefär 10^100 partiklar i den del av universum min art än så länge kan observera från just denna del av universum**", och så vidare - vad är det som säger att denna trend skulle ta slut någon gång? Varför inte ställa den frågan, snarare än frågan "vad är det som säger att denna trend inte skulle ta slut någon gång?"?

Freddemalte, du liknar föreställningen om verklig oändlighet vid existensen av verkliga tesserakter. Tesserakten är fullt föreställbar genom att man låter tiden utgöra den fjärde dimensionen i tesserakten. Visserligen skiljer sig tidsdimensionen från rumsdimensionerna på det sättet att den bara kan påverkas av oss människor i en enda riktning (enligt fysikern och kosmologen Max Tegmark utgörs denna skillnad i Einsteins ekvationer av inget mer än skillnad mellan ett plustecken och ett minustecken: http://www.youtube.com/watch?v=2pLCOizNSLI), men vad vi människor förmår göra borde inte behöva definiera vad som är "möjligt att göra" (givet att det inte är så att de enda medvetna varelser som finns i universum är just människor, något som väl torde vara oändligt osannolikt givet att universum är oändligt stort. Om universum är oändligt stort, tycks mig det faktum att just människor inte kan resa bakåt i tiden inte säga särskilt mycket om huruvida någon civilisation kan resa bakåt i tiden eller ej. Kanske är t.ex. Jesus, Mohammed, Krishna, Jultomten, Spagettimonstret och så vidare resultat av sådana bakåtresor i tiden gjorda av andra civilisationer än mänskligheten. Det faktum att de flesta medlemmarna av mänskligheten inte har några erfarenheter av något Spagettimonster bevisar inte Spagettimonstrets icke-existens oändligt mycket mer än vad det faktum att de flesta människor faktiskt inte har någon erfarenhet av vare sig Jesus eller Mohammeds eller Krishnas etcetera existens bevisar icke-existensen av dessa fenomen.


*) Bayes sats säger att man bör uppdatera sina sannolikhetsbedömningar på basis av sina observationer. Vår observation att vi överhuvudtaget existerar ger, vad jag kan se, enligt Bayes sats, slutsatsen att universum oändligt många gånger mer sannolikt måste vara oändligt stort än vad det skulle kunna vara ändligt stort. Ett av många bevis för Bayes sats förträfflighet: "Satsen och Bayes namn har blivit smått berömd i interneteran genom att den har implementerats i Bayesiska skräppostfilter för att på ett statistiskt sätt kunna separera skräp-e-post från önskad e-post." http://sv.wikipedia.org/wiki/Bayes_sats

**) Vad jag har förstått kan vi människor i denna tid (2010) observera lika många ljusår av universum i alla riktningar från jorden. Vad är statistiskt sett sannolikheten för att det skulle vara så, om det vi kan observera hade varit allt som finns? Mycket nära noll, eller hur? För det skulle ju kräva att vi var universums medelpunkt. Och har inte Kopernikus och Galileo lärt oss att vi snarare ska utgå från att vi inte är universums medelpunkt?

[Justin Case]

Om talföljderna fortsätter utan begränsning så finns det inget tal t i A för vilket inget tal större än t-17 finns i B. I så fall gäller alltså inte P. Om du istället tänker dig att talföljderna har en övre gräns men inkluderar tal som w får du nog definiera noggrannare hur du tänker dig detta. Om t.ex. w finns med i talföljd A, vilket tal är då w hopparat med?

Du frågar efter ett tal som du vet är för stort för att jag ska kunna uttrycka det i siffror - precis som är fallet med varje oändligt stort tal. Talserie A ökar dubbelt så snabbt som talserie B. Om man vill veta vilket tal w i A är hopparat med i B, får man ta w/2. Du tror inte att det går att ta w/2. Jag tror att det går. Det går bara inte att uttrycka kvoten i siffror, den är för stor för det.

Dels tänker jag att A och B kan vara olika stora med tanke på att t.ex. mängden naturliga tal och mängden reella tal är olika stora.

Dels tänker jag att ett oändligt antal schimpanser (låt säga w schimpanser), som var och en haft två bananer, och som därefter ätit upp en banan vardera, torde ha en banan kvar vardera. Utifrån det faktum att antalet uppätna bananer (eller tomma bananskal eller hur man vill uttrycka det) då är lika stort som antalet schimpanser, plus det faktum att det finns oändligt många bananer kvar, slutleder jag att det ursprungliga antalet bananer var större än antalet schimpanser. Vore det inte det, skulle bananerna ha tagit slut när varje schimpans åt upp varsin banan. Och om du motsäger detta, underförstår du själv att det finns olika stora multiplar av mängden naturliga tal. Så oavsett hur du tolkar detta tankeexperiment, visar det att det finns olika stora multiplar av mängden naturliga tal.

Dels tänker jag så här: Anta att det finns oändligt många identiska kopior av mänskligheten, och rentav oändligt många kopior av varje händelseutveckling som mänskligheten kan genomgå från och med nu och oändligt långt fram i tiden. Hur skulle vi då kunna motivera oss till att handla gott snarare än ont? Jo, så här: Alla dessa identiska kopior av mänskligheten står inför samma problem: det tycks inte spela någon roll vad man själv gör, för ens påverkan tycks drunkna i den stora massan. Men om ingen gör något, blir det oändligt mycket mindre gjort än om alla gör något. Därför måste det trots allt spela roll vad varje enskild individ gör. Om det inte spelade någon som helst roll vad var och en av de människor som tillhör en oändlig mängd människor gjorde, skulle den oändliga mängden människor göra samma sak oavsett vad alla dess beståndsdelar gjorde. Men så är det ju inte. Varje oändlig mängd människor gör ju vad dess beståndsdelar gör. Varje enskild ändlig beståndsdel kan alltså visa sig ha varit avgörande för vad det oändliga hela gjorde.

Det är lite som idag, valdagen. Egentligen kan man säga att varje människa förlorar på att gå och rösta. Den energi och tid en genomsnittlig svensk lägger ned på att rösta kommer statistiskt sett inte att betala tillbaka sig för just den svensken i form av pengar eller någon annan sorts samhällsnytta, när man räknat samman allt. Med nästan 100% säkerhet påverkar en enskild svensk väljare inte valutgången ett dyft genom sitt röstande. Ändå går långt över hälften av svenska folket och röstar. Detta eftersom man räknar med att tillräckligt många andra röstar på det parti man själv röstar på, för att det ska vara meningsfullt att man själv röstar på det partiet. På samma sätt tänker jag om mänskligheten i ett oändligt universum. En moraliskt tänkande varelse som kan påverka endast en ändlig del av ett oändligt stort universum (där det finns oändligt många moraliskt tänkande varelser som var och en kan påverka endast ändligt stora delar av universum) bör utgå från att han/hon kan påverka den sammantagna oändligt stora mängden gott och ont i universum, trots att han/hon själv är ändlig och har endast ändlig påverkan.


(Rösta på Piratpartiet förresten!)

[Justin Case]

Låt oss kalla talserien (1,5,9,13,...) för A, och talserien (2,4,6,8...) för B. Anta att alla talen i talserie A är hopparade med varsitt unikt tal i talserie B, enligt 1&2, 5&4, 9&6, 13&8, osv.

Anta att P = påståendet att det finns minst ett tal t i A för vilket gäller att inget tal större än t-17 finns i B. (Om P är sant gäller alltså att talserie A sträcker sig till högre tal än talserie B.)

Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 101, vore P sant.
Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 102, vore P sant.
Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 103, vore P sant.

Observera även att P rentav vore sant med godare och godare marginal ju längre än till nummer 103 talserierna A och B skulle sträcka sig till.

Extrapolering av ovanstående trend ger att:
Om talserierna A och B sträcker sig till tal nummer w (och alltså innehåller uppräkneligt oändligt många tal), är P sant.

Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 101, vore P sant med ännu större marginal än om talserierna A och B bara sträckte sig till tal nummer 100.
Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 102, vore P sant med ännu större marginal än om talserierna A och B bara sträckte sig till tal nummer 101.
Om talserierna A och B bara skulle sträcka sig till tal nummer 103, vore P sant med ännu större marginal än om talserierna A och B bara sträckte sig till tal nummer 102.

Och så vidare.

Vi ser här en trend, som pekar i en enda riktning hela tiden: ju högre nummer, desto större marginal är P sant med.

Det tycks mig då fullständigt orimligt att P plötsligt skulle upphöra att vara sant någon gång. Det är ju inte i alls den riktning det går, om man ser på trenden ovan. Oändligheten ligger i den riktning trenden går i. Alltså borde logiskt sett P vara sant med oändligt stor marginal när talserierna A och B sträcker sig oändligt långt.

Dura M, du påstår att det ändå inte är så, och du lägger fram argument för det, men jag ser inte varför du tycker att dina argument är mer övertygande än mina. Jag tycker att mina argument är minst lika övertygande som dina.

[Justin Case]

Anta att det i universum finns oändligt många schimpanser som har två bananer var. Anta kontrafaktiskt att detta är allt om finns i universum. Varje schimpans äter därefter upp en av sina bananer. Hur många bananer är kvar? Oändligt många. Om antalet bananer hade varit endast lika stort som antalet schimpanser, hade det inte blivit några bananer kvar när varje schimpans åt upp en banan. Nu blev det det. Det tyder i min ögon på att det från början fanns fler bananer än schimpanser.

Jag upplever det mer som att det tyder på att du hanterar oändligheten som vore det en begränsad mängd (begränsat antal). Men jag håller med om att det är lurigt, att man (jag i alla fall) intuitivt vill hantera evigheten och oändligheten som vanliga tal (åter igen en begränsning i vår abstraktionsförmåga) alternativt ett tecken på att oändligheten och evigheten egentligen är en produkter av vår fantasi ungefär så som antagligen Tesserakten också är en sådan fantasiprodukt.

Matematikerna hanterar oändliga mängder som om de vore i någon mån jämförbara med ändliga mängder. De hävdar t.ex. att man kan skriva w, w+1, w+2 osv, och att dessa mängder är olika stora, trots att w är oändligt stort. Det tyder på att oändliga mängder har något gemensamt med ändliga mängder. Vad tyder då på att de inte skulle böra behandlas som ändliga mängder? Vad jag kan se får man inga övertygande svar från matematiker på den frågan. Bara påståenden. De påstår exempelvis att en oändlig mängd x gånger två inte är större än x. Jag ser inga bevis.

Det känns som när man diskuterar med en kreationist. Många av de saker kreationisten säger om sin skapare har väldigt mycket gemensamt med hur människor är. Men när man kommer till hur mäktig och god skaparen är, och lägger fram teodice-problemet, har kreationisten bara påståenden om skaparens förträfflighet att komma med, inga bevis. Detsamma tycks mig gälla för matematikerna när det kommer till oändliga mängder. Visst, de kommer med argument som de kallar för bevis, men jag tycker att jag lagt fram minst lika övertygande motargument (se föregående inlägg), och varför skulle inte dessa lika gärna kunna kallas bevis?

[freddemalte]

Anta att det i universum finns oändligt många schimpanser som har två bananer var. Anta kontrafaktiskt att detta är allt om finns i universum. Varje schimpans äter därefter upp en av sina bananer. Hur många bananer är kvar? Oändligt många. Om antalet bananer hade varit endast lika stort som antalet schimpanser, hade det inte blivit några bananer kvar när varje schimpans åt upp en banan. Nu blev det det. Det tyder i min ögon på att det från början fanns fler bananer än schimpanser.

Jag upplever det mer som att det tyder på att du hanterar oändligheten som vore det en begränsad mängd (begränsat antal). Men jag håller med om att det är lurigt, att man (jag i alla fall) intuitivt vill hantera evigheten och oändligheten som vanliga tal (åter igen en begränsning i vår abstraktionsförmåga) alternativt ett tecken på att oändligheten och evigheten egentligen är en produkter av vår fantasi ungefär så som antagligen Tesserakten också är en sådan fantasiprodukt.

Matematikerna hanterar oändliga mängder som om de vore i någon mån jämförbara med ändliga mängder. De hävdar t.ex. att man kan skriva w, w+1, w+2 osv, och att dessa mängder är olika stora, trots att w är oändligt stort. Det tyder på att oändliga mängder har något gemensamt med ändliga mängder. Vad tyder då på att de inte skulle böra behandlas som ändliga mängder? Vad jag kan se får man inga övertygande svar från matematiker på den frågan. Bara påståenden. De påstår exempelvis att en oändlig mängd x gånger två inte är större än x. Jag ser inga bevis.

Det känns som när man diskuterar med en kreationist. Många av de saker kreationisten säger om sin skapare har väldigt mycket gemensamt med hur människor är. Men när man kommer till hur mäktig och god skaparen är, och lägger fram teodice-problemet, har kreationisten bara påståenden om skaparens förträfflighet att komma med, inga bevis. Detsamma tycks mig gälla för matematikerna när det kommer till oändliga mängder. Visst, de kommer med argument som de kallar för bevis, men jag tycker att jag lagt fram minst lika övertygande motargument (se föregående inlägg), och varför skulle inte dessa lika gärna kunna kallas bevis?

Jag förstår vad du menar. Antingen har du och matematikern olika syn på vad som avses med oändlighet (och därför behandlar ni oändligheten olika), eller så har ni samma syn på oändligheten men olika uppfattningar om hur den kan behandlas. Jag vet inte vilket som är fallet, men det jag kan säga är att för min egen del har jag alldeles för lite kunskaper i den högre matematiken för att kunna bedöma hur oändlighetsbegreppet kan hanteras inom ramen för det kompetensområdet. Min syn på oändligheten (eller evigheten) är mycket, mycket enkel. Den går helt enkelt ut på att det som är oändligt aldrig tar slut. Om något aldrig tar slut kan man alltså inte behandla detta med addition, subtraktion, multiplikation eller division och samtidigt anse att man har förändrat situationen, dvs att det aldrig tar slut. Däremot kan man kanske tillämpa dessa på oändligheten om man accepterar oändligheten som resultat, ett fenomen som man inte stöter på när det gäller begränsade mängder av något. Frågan är väl dock om det då är meningsfullt att kalla det för matematiska operationer. Vad gäller större och mindre är det väl relativa begrepp och synes mig inte kunna appliceras på något som aldrig tar slut.

Vänligen

Fredrik

[Mr.M]

Hur var det nu igen..
energin blir oändlig när massan kommer upp i ljusets hastighet.
Det enda som har ljusets hastighet är energi...och fotoner.
det är en partikel utan massa med ljusets hastighet. (stundom våg stundom partikel, beroende på omständigheterna)
så en foton är oändlig.
Men som vi vet är ljuset begränsad. det tar 8a minuter för ljuset att nå hit..

så denna oändlighet borde finns i fotonens (ljusets) eget begränsade rum.

[Rorschach]

Matematikerna hanterar oändliga mängder som om de vore i någon mån jämförbara med ändliga mängder. De hävdar t.ex. att man kan skriva w, w+1, w+2 osv, och att dessa mängder är olika stora, trots att w är oändligt stort.

Visst behandlar matematiker oändliga mängder som att de är jämförbara med ändliga mängder. Ett exempel är att en oändlig mängd är större en ändlig mängd. Det som avses med att w<w+1 är inte att mängden w har en annan storlek än mängden w+1, utan de två mängderna har samma kardinalitet.

Det tyder på att oändliga mängder har något gemensamt med ändliga mängder. Vad tyder då på att de inte skulle böra behandlas som ändliga mängder? Vad jag kan se får man inga övertygande svar från matematiker på den frågan. Bara påståenden. De påstår exempelvis att en oändlig mängd x gånger två inte är större än x. Jag ser inga bevis.

Det är fritt fram att försöka bevisa motsatsen.

... (se föregående inlägg), och varför skulle inte dessa lika gärna kunna kallas bevis?

För att slutsatsen inte är rätt, vilket Dura M påpekade.