Justin Case skrev:Rorschach skrev:Jag har ingen aning om vad du menar med att något är lika stort som något annat då du verkar ha förkastat den vanliga definitionen och inte behagat ge någon ny.
Låt mig då i fri form försöka mig på en ny "definition", eller i varje fall en förklaring. Vad jag menar med att något är lika stort som något annat kan jag enklast beskriva med exempel.
Antalet udda tal är lika stort som antalet jämna tal. Varje udda tal kan bijekteras med ett jämnt tal, på t.ex. detta sätt:
1 - 2
3 - 4
5 - 6
7 - 8
osv.
Det är uppenbart att ingen av kolumnerna växer snabbare än den andra. Det, i kombination med bijektionstänk, säger oss att de udda talen är lika många som de jämna. (Eller möjligen ett tal fler. Ett enda tal är väl dock inte mycket att bråka om?)
Däremot är de udda talen inte lika många som de naturliga talen. Man kan visserligen påbörja bijektion mellan de två mängdernas element:
1 - 1
3 - 2
5 - 3
7 - 4
osv.
Men det faktum att talet till vänster bara blir mer och mer större än talet till höger ju längre man fortsätter säger oss att det alltid kommer att finnas tal kvar att "beta av" i den högra kolumnen innan denna kommit ikapp den vänstra. Den kommer alltså aldrig ikapp en vänstra. Det innebär att den helt enkelt inte är lika lång som den vänstra.
De två kolumnerna kan inte vara lika långa om båda kolumnerna innehåller alla de udda talen och den högra kolumnen till skillnad från den vänstra dessutom innehåller alla de jämna talen, och om antalet naturliga tal antas vara detsamma vid uppbyggandet av den högra kolumnen som vid uppbyggandet av den vänstra.
Därför är antalet udda tal mindre än antalet naturliga tal.
Jag vet inte hur detta borde formuleras för att kunna klassificieras som just definition. Men det är i alla fall en förklaring. Och är inte det gott nog?
Förklaringen är rätt oklar. Det verkar som att två mängder är lika stora enligt dig om varje element i den ena mängden kan bijekteras med ett element ur den andra mängden, samt att ingen kolumn växer snabbare än den andra kolumnen. Sen tillämpar vi bijektionstänk och får fram att mängderna är lika stora. Ett antal oklarheter finns dock: vad avses med "bijekteras", betyder det att det finns en bijektion mellan de båda mängderna? Vilka är dessa kolumner som ska komma ifatt varandra och på vilket sätt växer de? Vad är detta "bijektionstänk" som används? Vad betyder det att två kolumner är lika långa? Betyder "Man kan visserligen påbörja bijektion..." att du anser att det inte finns en bijektion mellan de naturliga talen och de udda talen? Sammantaget kan man säga att det är rätt mycket som är oklart.