Hur går sannolikhetsläran ihop med mängdläran?
Moderator: Moderatorgruppen
-
Justin Case
- Inlägg: 3552
- Blev medlem: 31 mar 2007 17:46
Ett argument för att andelen datorer som blir potatisar är mycket liten tycks vara att efter påbörjad uppräkning av världens oändligt många datorer skulle andelen datorer som blir potatisar "konvergera" mot ett visst värde. Men med samma sorts argument, nämligen med hänvisning till konvergering, skulle man kunna säga att sifferuppräkningen 1, 3, 2, 6, 4, 9, 5, 12, 7... (en uppräkning riggad för att "visa" att 1/2 av de naturliga talen är jämnt delbara med 3) innebär att man gör större och större "hopp" fram och tillbaka mellan siffrorna man räknar upp, ett beteende som "konvergerar" mot oändligt stora hopp. Denna konvergering mot oändligt stora hopp talar för att det här sättet att räkna upp de naturliga talen är riggat för att missvisande framställa de tal som är jämnt delbara med 3 som vanligare än de är.
Justin, jag ska börja med att tipsa om "non-standard analysis," en modell av talen där man inför oändligheter ungefär som tal på det sätt som du verkar vilja göra. Det skulle kanske intressera dig.
Infinitesimaler var en informell konstruktion på 1800-talet, med vilken man menade ett "tillräckligt litet" tal, som tilläts vara såpass litet att det praktiskt taget var noll i relation till vad det nu var man sysslade med. Dvs "låt d vara ett tal så litet att mitt argument funkar." I den meningen var de fortfarande tal, och lägger man ihop tillräckligt många likadana infinitesimaler kan man fortfarande få hur stora tal som helst. När man började formalisera det där så övergav man infinitesimalerna för gränsvärden, som ju helt undviker "oändligt stora" och "oändligt små" tal.
Så infinitesimaler i meningen "oändligt små tal som inte är noll" existerar inte. Det enda verkligt infinitesimala talet är noll.
Man kan utöka talen med infinitesimaler, som ligger mellan noll och alla andra tal, och då får man även semi-oändliga tal, som är större än alla andra tal. Det borde gå fint att bygga sannolikheter på det, men då skulle man nog inte få något som beskriver verkligheten bättre än utan dem, i praktiken skulle man bara få nya sätt att säga noll. Dessutom blir varje summa av sådana infitesimaler fortfarande bara andra infinitesimaler, aldrig ett. Detta är "non-standard analysis" för den intresserade.
I vilket fall, om man vill använda sig av ett oändligt litet tal d, och kan jag ju fortfarande summera den 2/d gånger, då får jag d*(2/d)=2, vilket är större än ett. Går man inte med på det, då har man mycket att förklara innan man kan hävda att en summa av d däremot kan bli 1.
Du missförstår mig. Ordningen på någon uppräkning av saker har inget att göra med fördelningen på dem. En (diskret) fördelning är något som till varje möjligt utfall ordnar en särskild sannolikhet. Så att man för varje sak i utfallsmängden kan fråga vad den har för sannolikhet, och få ett svar. Det finns ingen ordning inbyggd i detta, utan en unik sannolikhet för varje unikt utfall. Däremot, om man verkligen tänker konstruera en fördelning på ett oändligt antal objekt, är det inte rimligt att skapa en lista över alla objekt och deras sannolikhet, för den skulle bli oändligt lång och inte få plats i en dator eller vad man nu använder. Då är det praktiskt att införa en ordning, så att man kan hänvisa till varje objekt genom att kalla det "utfall n". Det var det jag gjorde. Ordningen är bara ett verktyg för att beskriva fördelningen, den är inte fördelningen.
Nä, jag menade bara att om vi antar att kvantfysiken har rätt, så måste det ju vara så att oavsett hur vi själva räknar på sannolikheten bli p, för annars är det fel. Så om vi genomför tankeexperiment där vi får fram att sannolikheten är 1, så är det ju såklart fel, för att det är den de facto inte.
För att vara lite besserwissrig, tycker jag att du gör två fel här: För det första vill du använda din intuition för matematik med oändligheter. Men vad är intuition mer än ens samlade erfarenheter? Du kan inte räkna med oändliga tal som med vanliga tal, någonstans kommer (KOMMER) något alltid att bli fel.
För det andra, och viktigare, så måste du vara noggrannare med vad du faktiskt menar när du räknar med oändligheten. 3*4 är väldefinerat, och 3^pi, etc. Men vad menar du egentligen när säger (10^-(10^120))*y, att det är <y, etc? Räknar vi med tal är det alltid klart vad vi menar, men eftersom man inte hurshomhelst kan utvidga de ändliga talens räknesätt till oändligheter, måste man vara noggrann, och medveten om att det kan göras på flera sätt, men inget perfekt ur de oändliga talens synvinkel. Vad menas t.ex. med 5*y > y? Hur kan man ens jämföra oändligheter? Oändligheter i sig är ju inte ens definierade.
[Början mattebabbel]
Vi skulle kunna helt enkelt skita i att definiera oändligheten, och bara säga att oändligheter är som tal, men de större än alla ändliga tal, vi har en första oändlighet (O-1), varje oändlighet har en efterföljare som vi kallar, och om O-(n+1) är efterföljare till O-n så är O-(n+1) > O-n, vi kan addera och multiplicera på följande vis, etc. etc. (Detta är typ praktiken ickestandard analys. Och det är nog mest likt det du menar när du pratar om unika oändliga tal)
Men detta kommer inte vara oändligt mer än för vår egen påhittade jämförelse. Någon annan kan lika gärna införa precis samma sak, men säga att dessa oändligheter istället är mindre än alla vanliga tal, förutom noll. Du ville ju dessutom använda dessa för att räkna mängder, och där fyller de ingen funktion.
En mer naturlig definition kanske är att använda sig av oändliga mängder. Vi säger att en mängd innehåller ett oändligt antal element om antalet element däri inte beskrivs av något heltal. Då kan man associera oändliga "tal" med mängder. Jag antar att det är ungefär så du tänker. Men då uppstår frågor om hur vi menar med addition, multiplikation, och <. Vi kan börja med ordningen (<). Det finns ingen självklar ordning av mängder, utan vi måste själva formulera den:
(*) Ett vanligt sätt är förstås kardinalitet, där vi räknar ordnar ändliga mängder efter hur många element som finns i dem. Sedan tittar vi på mekaniken bakom detta och försöker utsträcka den till ändliga mängder. För ändliga mängder visar det sig att: Två mängder har lika många element precis när vi kan para ihop element ur de båda mängderna så att varje element finns med i ett par, men inte fler (Dvs det finns en bijektion mellan mängderna. Kalla detta för att de är =.) mängden A har färre element än B om vi, när vi försöker para ihop elementen två och två, alltid får element i B över (dvs. det finns en surjektion från B till A, men ingen bijektion. Vi säger A<B.) Denna mekanik överför vi helt enkelt till oändliga mängder och vips så kan vi jämföra alla mängder. Vi säger att detta är en fullständig ordning eftersom varje mängd kan jämföras med varje annan mängd.
(**) En annan vanlig ordning är inklusion. Då är A=B bara om A och B är exakt samma mängd, och A < B om B innehåller alla element som A innehåller, och dessutom fler (inklusionsordning.) Detta är en ofullständig ordning, eftersom t.ex. {1,2} varken är större än, mindre än, eller lika med, säg {3}.
Enligt båda ordningarna ovan är de reella talen > heltalen. Men enligt den förra är de rationella talen = heltalen, medan enligt den andra så är det > som gäller. Det är den första definitionen du använder dig av, och om du inte vill acceptera att de jämna heltalen är lika många som alla heltal (säg), då måste du också förklara vad du menar med "lika många."
För att gå vidare måste vi också definiera addition och multiplikation. De är ju klara för ändliga tal, men det är absolut inte klart vad man menar med
En praktisk definition är att 5+(oändlig mängd) bara innebär att lägga till fem till varje tal i mängden (vi håller oss till mängder av tal, det borde räcka fint.) Liknande för multiplikation. Men vad ska addition och multiplikation mellan mängder betyda? Tja förslagsvis får man när man adderar två mängder mängden av alla kombinationer av summor av ett tal ur den första mängden, ett ur den andra. Liknande för multiplikation. Om vi definierar det så här, då (10^-(10^120))*y (kalla det q*y= y') bara att vi får alla y:s element dividerade med ett stort heltal. Enligt ordning (*) är då uppenbarligen y=y', för en uppenbar perfekt ihopparning är att para ihop varje element k i y med q*k. Enligt ordningen (**) är kan vi inte säga något förrän vi vet vad y har för element. Men säg att y är alla heltal. Då är y>y' (ja, större än!) för att heltal finns fortfarande i y', men dessutom en drös med fler tal.
Vad kan man annars tänkas mena med (10^-(10^120))*y? Tja, kanske att man tar vart 10^120:e element ur y? Då förutsätter man att y är uppräkneligt, så att man överhuvudtaget kan säga "n:te elementet." Enligt (*) är fortfarande y=y' (jfr hur alla heltal är lika många som all jämna tal.) Men enligt (**) har vi att y<y'! Äntligen! Men då har vi ganska tydligt gjort flera val av definitioner som bara specifikt är till för att en enda liten detalj ska bli rätt. Och nu måste vi dessutom bygga en helt ny sannolikhetsteori på detta, för det är inte såhär man räkna i statistiken.
[Slut mattebabbel]
Så innan man kan säga huruvida x*(oändligheten) är större eller mindre än oändligheten, måste du vara mycket precis med vad du faktiskt menar när du säger oändligheten, multiplikation med oändligheten, och större/mindre än oändligheten. Det finns inga helt naturliga definitioner av dessa, och därför blir otydliga påståenden omöjliga att klara ut. Ursäkta ett väldigt långt inlägg
P.S: Du pratar i ett senare inlägg om hur olika ordning på uppräkning av heltalen kan ge konstiga gränsvärden etc. Det är helt sant, och det finns bra teori som handlar om precis det där med hur ordningen påverkar gränsvärden, och speciellt när det INTE gör det.
Justin Case skrev:Oändligt många utfall med vardera infinitesimal sannolikhet kan väl ha den sammanlagda sannolikheten 1?
...
Så här skulle man kunna stipulera hur en av decimalerna i Pi skulle (tänkas) slumpas fram: "som om en kvantdator som kan utföra oändligt många beräkningar samtidigt skulle gå igenom på en och samma gång alla de oändligt många decimalerna i Pi och välja ut exakt en av dessa oändligt många decimaler och ha exakt samma sannolikhet för att välja den första som för att välja den andra som för att välja den tredje som för att välja den fjärde - ...och så vidare i oändlighet - decimalen i Pi (vilket är en infinitesimal sannolikhet per decimal)".
Infinitesimaler var en informell konstruktion på 1800-talet, med vilken man menade ett "tillräckligt litet" tal, som tilläts vara såpass litet att det praktiskt taget var noll i relation till vad det nu var man sysslade med. Dvs "låt d vara ett tal så litet att mitt argument funkar." I den meningen var de fortfarande tal, och lägger man ihop tillräckligt många likadana infinitesimaler kan man fortfarande få hur stora tal som helst. När man började formalisera det där så övergav man infinitesimalerna för gränsvärden, som ju helt undviker "oändligt stora" och "oändligt små" tal.
Så infinitesimaler i meningen "oändligt små tal som inte är noll" existerar inte. Det enda verkligt infinitesimala talet är noll.
Man kan utöka talen med infinitesimaler, som ligger mellan noll och alla andra tal, och då får man även semi-oändliga tal, som är större än alla andra tal. Det borde gå fint att bygga sannolikheter på det, men då skulle man nog inte få något som beskriver verkligheten bättre än utan dem, i praktiken skulle man bara få nya sätt att säga noll. Dessutom blir varje summa av sådana infitesimaler fortfarande bara andra infinitesimaler, aldrig ett. Detta är "non-standard analysis" för den intresserade.
I vilket fall, om man vill använda sig av ett oändligt litet tal d, och kan jag ju fortfarande summera den 2/d gånger, då får jag d*(2/d)=2, vilket är större än ett. Går man inte med på det, då har man mycket att förklara innan man kan hävda att en summa av d däremot kan bli 1.
Justin Case skrev:Sannolikheten är bestämd av fördelningen ("si och så många väteatomer existerar i universum för varje syreatom som existerar i universum"), men inte av någon särskild ordningsföljd vid tänkt uppräkning av atomerna, vad jag kan se. Antalen väteatomer respektive syreatomer i universum, även om båda dessa antal är oändligt stora, måste väl vara desamma oavsett vilken ordningsföljd atomerna (tänks) räknas upp i?
...
Datorn i fråga kanske inte har något givet "nummer i ordningen", men det är inte principiellt annorlunda än att t.ex. du inte har något givet "nummer i ordningen av de människor som existerar på denna planet just nu". Om man vill veta hur stor andel av det totala antalet människor på jorden du utgör, finns det inget som säger att man måste välja sätt att räkna upp människor på denna planet, t.ex. räkna upp dem i just den ordning de kom till världen, till exempel. Vilken annan metod för uppräkning av de ändligt många människorna i fråga är lika rimlig som den, och man skulle inte ens behöva räkna upp dem alls, om representationer av var och en av dem istället kunde köras genom en kvantdator, allihop samtidigt. Även om kvantdatormetoden användes, skulle man få veta att du utgör lite drygt 1/7000000000 av människorna på jorden. Så det faktum att en given dator som blir en potatis inte har något givet "nummer i ordningen av oändligt många datorer i universum" borde inte vara något problem, vad jag kan se.
Du missförstår mig. Ordningen på någon uppräkning av saker har inget att göra med fördelningen på dem. En (diskret) fördelning är något som till varje möjligt utfall ordnar en särskild sannolikhet. Så att man för varje sak i utfallsmängden kan fråga vad den har för sannolikhet, och få ett svar. Det finns ingen ordning inbyggd i detta, utan en unik sannolikhet för varje unikt utfall. Däremot, om man verkligen tänker konstruera en fördelning på ett oändligt antal objekt, är det inte rimligt att skapa en lista över alla objekt och deras sannolikhet, för den skulle bli oändligt lång och inte få plats i en dator eller vad man nu använder. Då är det praktiskt att införa en ordning, så att man kan hänvisa till varje objekt genom att kalla det "utfall n". Det var det jag gjorde. Ordningen är bara ett verktyg för att beskriva fördelningen, den är inte fördelningen.
Justin Case skrev:Å andra sidan vet vi ju faktiskt redan lite om svaret: Kvantfysik säger oss att sannolikheten för att datorn skall bli en potatis är p (som i pytteliten.) Så oavsett vilken fördelningen är, så är den sådan att sannolikheten att din dator ska vara en av dem som strax skall bli en potät är exakt p.
Ska inte p multipliceras med oändligheten, eftersom det, om universum innehåller oändligt många datorer, i varje ögonblick finns oändligt många datorer som har sannolikheten p för att bli en potatis?
Nä, jag menade bara att om vi antar att kvantfysiken har rätt, så måste det ju vara så att oavsett hur vi själva räknar på sannolikheten bli p, för annars är det fel. Så om vi genomför tankeexperiment där vi får fram att sannolikheten är 1, så är det ju såklart fel, för att det är den de facto inte.
Justin Case skrev:Om p är t.ex. 10^-(10^120), får man då ((10^-(10^120))*oändligheten)/oändligheten, vilket enligt den etablerade matematiken är detsamma som oändligheten genom oändligheten. Detta ger den kontraintuitiva implikationen att varje dator i universum har samma sannolikhet för att i nästa sekund förvandlas till en potatis som för att inte göra det. För att undvika denna kontraintuitiva implikation föreslår jag att den etablerade matematiken ändras, så att den ger att x*y inte behöver vara lika med y bara för att x är ett ändligt tal större än noll och y är ett oändligt tal.
...
Det kan jag tänka mig, men i så fall kanske det finns vissa svar som är konstigare (d.v.s. mindre trovärdiga) än andra. Jag tycker att den idag etablerade matematiken sådan den är idag ger konstigare svar än vad vi borde nöja oss med i sammanhanget. Jag tycker exempelvis att tanken att (10^-(10^120))*y < y, om y är oändligt stort, är mindre konstig än tanken att (10^-(10^120))*y = y. Talet (10^-(10^120))*y kan vara oändligt stort, men mindre än det oändligt stora y. Att det finns olika stora oändligt stora tal (och mängder) är ju accepterat i den etablerade matematiken (de reella talen anses ju vara fler än de naturliga). Varför då inte även acceptera att det finns ännu fler olika stora oändliga tal (och mängder) än vad man inom den etablerade matematiken hittills accepterat, så att varje unikt ändligt tal större än noll multiplicerat med ett oändligt tal y blir ett oändligt tal med unik storlek?
För att vara lite besserwissrig, tycker jag att du gör två fel här: För det första vill du använda din intuition för matematik med oändligheter. Men vad är intuition mer än ens samlade erfarenheter? Du kan inte räkna med oändliga tal som med vanliga tal, någonstans kommer (KOMMER) något alltid att bli fel.
För det andra, och viktigare, så måste du vara noggrannare med vad du faktiskt menar när du räknar med oändligheten. 3*4 är väldefinerat, och 3^pi, etc. Men vad menar du egentligen när säger (10^-(10^120))*y, att det är <y, etc? Räknar vi med tal är det alltid klart vad vi menar, men eftersom man inte hurshomhelst kan utvidga de ändliga talens räknesätt till oändligheter, måste man vara noggrann, och medveten om att det kan göras på flera sätt, men inget perfekt ur de oändliga talens synvinkel. Vad menas t.ex. med 5*y > y? Hur kan man ens jämföra oändligheter? Oändligheter i sig är ju inte ens definierade.
[Början mattebabbel]
Vi skulle kunna helt enkelt skita i att definiera oändligheten, och bara säga att oändligheter är som tal, men de större än alla ändliga tal, vi har en första oändlighet (O-1), varje oändlighet har en efterföljare som vi kallar, och om O-(n+1) är efterföljare till O-n så är O-(n+1) > O-n, vi kan addera och multiplicera på följande vis, etc. etc. (Detta är typ praktiken ickestandard analys. Och det är nog mest likt det du menar när du pratar om unika oändliga tal)
Men detta kommer inte vara oändligt mer än för vår egen påhittade jämförelse. Någon annan kan lika gärna införa precis samma sak, men säga att dessa oändligheter istället är mindre än alla vanliga tal, förutom noll. Du ville ju dessutom använda dessa för att räkna mängder, och där fyller de ingen funktion.
En mer naturlig definition kanske är att använda sig av oändliga mängder. Vi säger att en mängd innehåller ett oändligt antal element om antalet element däri inte beskrivs av något heltal. Då kan man associera oändliga "tal" med mängder. Jag antar att det är ungefär så du tänker. Men då uppstår frågor om hur vi menar med addition, multiplikation, och <. Vi kan börja med ordningen (<). Det finns ingen självklar ordning av mängder, utan vi måste själva formulera den:
(*) Ett vanligt sätt är förstås kardinalitet, där vi räknar ordnar ändliga mängder efter hur många element som finns i dem. Sedan tittar vi på mekaniken bakom detta och försöker utsträcka den till ändliga mängder. För ändliga mängder visar det sig att: Två mängder har lika många element precis när vi kan para ihop element ur de båda mängderna så att varje element finns med i ett par, men inte fler (Dvs det finns en bijektion mellan mängderna. Kalla detta för att de är =.) mängden A har färre element än B om vi, när vi försöker para ihop elementen två och två, alltid får element i B över (dvs. det finns en surjektion från B till A, men ingen bijektion. Vi säger A<B.) Denna mekanik överför vi helt enkelt till oändliga mängder och vips så kan vi jämföra alla mängder. Vi säger att detta är en fullständig ordning eftersom varje mängd kan jämföras med varje annan mängd.
(**) En annan vanlig ordning är inklusion. Då är A=B bara om A och B är exakt samma mängd, och A < B om B innehåller alla element som A innehåller, och dessutom fler (inklusionsordning.) Detta är en ofullständig ordning, eftersom t.ex. {1,2} varken är större än, mindre än, eller lika med, säg {3}.
Enligt båda ordningarna ovan är de reella talen > heltalen. Men enligt den förra är de rationella talen = heltalen, medan enligt den andra så är det > som gäller. Det är den första definitionen du använder dig av, och om du inte vill acceptera att de jämna heltalen är lika många som alla heltal (säg), då måste du också förklara vad du menar med "lika många."
För att gå vidare måste vi också definiera addition och multiplikation. De är ju klara för ändliga tal, men det är absolut inte klart vad man menar med
En praktisk definition är att 5+(oändlig mängd) bara innebär att lägga till fem till varje tal i mängden (vi håller oss till mängder av tal, det borde räcka fint.) Liknande för multiplikation. Men vad ska addition och multiplikation mellan mängder betyda? Tja förslagsvis får man när man adderar två mängder mängden av alla kombinationer av summor av ett tal ur den första mängden, ett ur den andra. Liknande för multiplikation. Om vi definierar det så här, då (10^-(10^120))*y (kalla det q*y= y') bara att vi får alla y:s element dividerade med ett stort heltal. Enligt ordning (*) är då uppenbarligen y=y', för en uppenbar perfekt ihopparning är att para ihop varje element k i y med q*k. Enligt ordningen (**) är kan vi inte säga något förrän vi vet vad y har för element. Men säg att y är alla heltal. Då är y>y' (ja, större än!) för att heltal finns fortfarande i y', men dessutom en drös med fler tal.
Vad kan man annars tänkas mena med (10^-(10^120))*y? Tja, kanske att man tar vart 10^120:e element ur y? Då förutsätter man att y är uppräkneligt, så att man överhuvudtaget kan säga "n:te elementet." Enligt (*) är fortfarande y=y' (jfr hur alla heltal är lika många som all jämna tal.) Men enligt (**) har vi att y<y'! Äntligen! Men då har vi ganska tydligt gjort flera val av definitioner som bara specifikt är till för att en enda liten detalj ska bli rätt. Och nu måste vi dessutom bygga en helt ny sannolikhetsteori på detta, för det är inte såhär man räkna i statistiken.
[Slut mattebabbel]
Så innan man kan säga huruvida x*(oändligheten) är större eller mindre än oändligheten, måste du vara mycket precis med vad du faktiskt menar när du säger oändligheten, multiplikation med oändligheten, och större/mindre än oändligheten. Det finns inga helt naturliga definitioner av dessa, och därför blir otydliga påståenden omöjliga att klara ut. Ursäkta ett väldigt långt inlägg
P.S: Du pratar i ett senare inlägg om hur olika ordning på uppräkning av heltalen kan ge konstiga gränsvärden etc. Det är helt sant, och det finns bra teori som handlar om precis det där med hur ordningen påverkar gränsvärden, och speciellt när det INTE gör det.
Quidquid latine dictum sit, altum sonatur
Vilka är online
Användare som besöker denna kategori: 5 och 0 gäster