Frågor om Cantors teorem

[Euklides]

En sak borde dock inte kunna missförstås: min vederläggning av Hilberts Hotell ovan, här kommer den igen så att ni slipper leta efter den:

Citat:
Anta att vi har ett fullbelagt Hilberts Hotell med lika många rum som det finns naturliga tal, och att plötsligt 100 av gästerna checkar ut. Då frigörs 100 rum. Med följden att t.ex. 100 nyanlända personer kan ta in på hotellet om de vill - även utan att Hilbert behöver flytta på någon av de gäster som redan bor på hotellet. Eller hur? Härmed har vi visat att mängden naturliga tal minus 100 är en mindre mängd än mängden naturliga tal. För om den inte vore det, skulle Hilbert inte få in de 100 nyanlända (åtminstone inte utan att flytta på några av de som redan bor på hotellet). Om du svarar: "det kan han inte; alla rum är fortfarande upptagna!", undrar jag: hur kan 100 gäster checka ut, ta sina grejer med sig och lämna hotellet utan att deras rum blir lediga?


Vad är det för fel på den vederläggningen? Jag ser inget fel på den.

Men en oändlig mängd definieras inte (den legitimeras inte ens) av Hilberts hotell. Däremot används Hilberts hotell för att illustrera just den egenskapen hos oändliga mängder, att även fast man lägger till 1 är den oändliga mängden fortfarande lika stor. Två mängder är lika stora, ändliga som oändliga, när man kan para ihop varje element från ena mängden till ett element i den andra mängden.

Såg att Dura M har försökt förklarat för dig, du måste struntat i att ta till dig, för han säger det klart och tydligt:

Men alldeles oavsett det skall man vara väldigt försiktig med att dra slutsatser baserat på liknelser. Formellt sett är sådana slutsatser aldrig giltiga och även i praktiken är det ytterst lätt att hamna snett genom att man drar liknelsen för långt.

När man sätter upp liknelse gör man det för att illustrera en aspekt. Det känns lite som att dra slutsatsen att Achilles brukade tävlade mot sköldpaddor...

[Justin Case]

En sak borde dock inte kunna missförstås: min vederläggning av Hilberts Hotell ovan, här kommer den igen så att ni slipper leta efter den:

Citat:
Anta att vi har ett fullbelagt Hilberts Hotell med lika många rum som det finns naturliga tal, och att plötsligt 100 av gästerna checkar ut. Då frigörs 100 rum. Med följden att t.ex. 100 nyanlända personer kan ta in på hotellet om de vill - även utan att Hilbert behöver flytta på någon av de gäster som redan bor på hotellet. Eller hur? Härmed har vi visat att mängden naturliga tal minus 100 är en mindre mängd än mängden naturliga tal. För om den inte vore det, skulle Hilbert inte få in de 100 nyanlända (åtminstone inte utan att flytta på några av de som redan bor på hotellet). Om du svarar: "det kan han inte; alla rum är fortfarande upptagna!", undrar jag: hur kan 100 gäster checka ut, ta sina grejer med sig och lämna hotellet utan att deras rum blir lediga?


Vad är det för fel på den vederläggningen? Jag ser inget fel på den.

Men en oändlig mängd definieras inte (den legitimeras inte ens) av Hilberts hotell.

Jag vet att Hilberts Hotell bara är tänkt som en liknelse, men det tycks mig godtyckligt att förvänta sig att den som liknelse skulle ge rättvisande slutsatser när hotellgäster vill flytta in på hotellet, om den inte ger rättvisande slutsatser när några flyttar ut. Minus är ju bara en invertering av plus. Man borde ju få samma resultat genom mitt tankeexperiment (där gäster flyttar ut) som om man helt enkelt vred tillbaka tiden till utgångsläget i originalversionen av Hilberts Hotell. Men det får man inte, för om 100 gäster flyttat in och sedan ut igen, finns det plötsligt tomma rum, något som inte går ihop med premissen att hotellet från början var fullbelagt.

Jag kommer att tänka på matematikern som spanade på ett hus. Först konstaterade han att huset var tomt. Sedan såg han två personer gå in i huset, och nio månader senare kom tre personer ut. Matematikerns slutledning blev: om det går in en person i huset nu, blir det tomt!

När man sätter upp liknelse gör man det för att illustrera en aspekt.

Ja, och för att det ska finnas anledning att tro att liknelsen leder oss rätt när det gäller den aspekten (i Hilberts Hotells fall hur addition påverkar oändliga mängder), får den aspekten inte framstå som godtycklig, något den dock gör om den inte håller i en variant som bara är en invertering av originalversionen, nämligen hur subtraktion påverkar oändliga mängder.

Om jag t.ex. säger att A är större än B och liknar det vid att en elefant är större än en myra, bör man utifrån detta även kunna förvänta sig att jag håller med om att B är mindre än A, och kunna argumentera övertygande för detta genom t.ex. liknelsen att en myra är mindre än en elefant. Om jag då skulle svara "nä, liknelsen håller bara åt ena hållet, d.v.s. när det faktum att A är större än B liknas vid att en elefant är större än en myra - inte i sin inverterade form", finns det skäl att misstänka att det är något fel på originalversionen av liknelsen, och att A kanske inte alls är större än B. Av liknande skäl bör man misstänka att Hilberts Hotell redan från början var en missvisande liknelse om den är missvisande i sin inverterade form.

Det känns lite som att dra slutsatsen att Achilles brukade tävlade mot sköldpaddor...

Nu gör du en liknelse - mellan:

1) min föreställning att påståendet [Hilberts Hotell kan ta emot gäster fastän det är fullt] ger slutsatsen [ett sådant hotell borde förbli fullt även om gäster flyttade ut], och

2) föreställningen att Xenos paradox skulle ge att Achilles brukade tävla mot sköldpaddor.

Den liknelsen är i sig väldigt lik 2, d.v.s. orimlig, medan 1 är mer lik ovan beskrivna slutsats från [elefanter är större än myror] till [myror är mindre än elefanter]. Det finns rimliga och orimliga liknelser.

[Dura M]

Man borde ju få samma resultat genom mitt tankeexperiment (där gäster flyttar ut) som om man helt enkelt vred tillbaka tiden till utgångsläget i originalversionen av Hilberts Hotell.

Du vänder inte på alla steg så varför skulle du komma tillbaks till utgångsläget?

[Justin Case]

Man borde ju få samma resultat genom mitt tankeexperiment (där gäster flyttar ut) som om man helt enkelt vred tillbaka tiden till utgångsläget i originalversionen av Hilberts Hotell.

Du vänder inte på alla steg så varför skulle du komma tillbaks till utgångsläget?

Vad vore det då att "vänta på alla steg"? Jo, att flytta gästerna från rum 101-200 till de frigjorda rummen 1-100, sedan flytta gästerna från rum 201-300 till rum 101-200, och så vidare uppåt i oändlighet. Men hur länge (den förmodat odödlige) Hilbert än håller på så, om han så utför oändligt många sådana här steg, kommer det alltid att finnas minst hundra rum som är tomma (rum han just flyttat gäster ifrån men ännu inte hunnit flytta gäster till). Det fanns det inte i utgångsläget i originalversionen av Hilberts Hotell.

[Dura M]

Vad vore det då att "vänta på alla steg"? Jo, att flytta gästerna från rum 101-200 till de frigjorda rummen 1-100, sedan flytta gästerna från rum 201-300 till rum 101-200, och så vidare uppåt i oändlighet. Men hur länge (den förmodat odödlige) Hilbert än håller på så, om han så utför oändligt många sådana här steg, kommer det alltid att finnas minst hundra rum som är tomma (rum han just flyttat gäster ifrån men ännu inte hunnit flytta gäster till). Det fanns det inte i utgångsläget i originalversionen av Hilberts Hotell.

Vi har ju redan konstaterat att alla gäster kan flytta samtidigt.

[Justin Case]

(Rättelse: jag menade förstås "vända på alla steg", inte "vänta på alla steg".)

Att få in gäster i Hilberts Hotell trots att det är fullbelagt, och att få ut gäster ur det utan att det upphör vara fullbelagt, är alltså tydligen möjligt endast om alla gäster flyttar samtidigt, en händelse som är omöjlig att föreställa sig och alltså utgör en svaghet i tankeexperimentet. Är det inte rimligt att förvänta sig (och varför är det inte det, i så fall) att, om oändliga mängder inte kan påverkas av att man lägger till eller tar bort ändliga mängder från dem, Hilberts Hotell skulle fungera lika bra som liknelse för att visa detta även om Hilbert skulle flytta gästerna hundra i taget, och hålla på så och flytta gäster i evighet?

[Dura M]

Är det inte rimligt att förvänta sig (och varför är det inte det, i så fall) att, om oändliga mängder inte kan påverkas av att man lägger till eller tar bort ändliga mängder från dem, Hilberts Hotell skulle fungera lika bra som liknelse för att visa detta även om Hilbert skulle flytta gästerna hundra i taget, och hålla på så och flytta gäster i evighet?

Det är först när omflyttningen är klar som alla gäster har fått sina nya rum. Att konstatera att vissa gäster står utan rum eller att vissa rum står utan gäster under pågående omflyttning är att missa poängen. Därför ser jag det som pedagogiskt att formulera tankeexperimentet så att alla flyttar samtidigt. Det håller fokus på det som är väsentligt.

[Justin Case]

Är det inte rimligt att förvänta sig (och varför är det inte det, i så fall) att, om oändliga mängder inte kan påverkas av att man lägger till eller tar bort ändliga mängder från dem, Hilberts Hotell skulle fungera lika bra som liknelse för att visa detta även om Hilbert skulle flytta gästerna hundra i taget, och hålla på så och flytta gäster i evighet?

Det är först när omflyttningen är klar som alla gäster har fått sina nya rum. Att konstatera att vissa gäster står utan rum eller att vissa rum står utan gäster under pågående omflyttning är att missa poängen.

Att Hilbert överhuvudtaget måste ta tillgripa något sådant som "operation omflyttning" visar egentligen redan det att den sammantagna mängden gäster som vill bo på hotellet är större än mängden gäster som det finns plats för på hotellet. Annars skulle han väl inte behöva tillgripa den metoden. Då skulle han helt enkelt kunna strunta i de nyanlända gästerna, då deras antal är så litet att det försvinner i relation till de oändligt många som redan bor på hotellet (vilket framgår av att hotellet, trots att det från början är fullbelagt, ändå har plats för dessa nyanlända gäster också). Då det är orimligt att strunta i nyanlända gäster, kan det inte stämma att en oändlig mängd A plus en ändlig mängd B är lika med A.

Detta är, vad jag kan se, en minst lika rimlig slutsats av vad vi kommit fram till i den här trådens Hilberts-Hotell-diskussion, som någon annan tänkbar slutsats.

Därför ser jag det som pedagogiskt att formulera tankeexperimentet så att alla flyttar samtidigt. Det håller fokus på det som är väsentligt.

...liksom sossarna ser det som pegagogiskt att i statistisken över arbetslöshet inte räkna de personer som befinner sig i "arbetsmarknadspolitiska åtgärder" som arbetslösa; att räkna inte räkna dessa människor som arbetslösa håller fokus på det "väsentliga", enligt sossarna.

[Dura M]

Då skulle han helt enkelt kunna strunta i de nyanlända gästerna, då deras antal är så litet att det försvinner i relation till de oändligt många som redan bor på hotellet (vilket framgår av att hotellet, trots att det från början är fullbelagt, ändå har plats för dessa nyanlända gäster också).

Snurrigt resonemang. För övrigt kan Hilberts Hotell ta emot oändligt många nyanlända gäster om så skulle önskas.

[Rorschach]

Trist att tråden har dött ihop! Visst är det intressant att man beroende på hur man räknar upp de naturliga talen så kommer man till olika resultat? Undrar om alla de oändligt många gästerna till hotellet får plats oberoende av i vilken ordning de flyttar in?

[Justin Case]

Dura M har nyligen i en annan tråd sagt att jag får svar i kardinaltal för att jag frågar i kardinaltal. Men här nedan och vid många andra tillfällen har jag inte frågat i kardinaltal. Jag har bara pratat om oändliga mängder, utan att specificera om jag pratar om dem som kardinaltal eller som ordinaltal eller som något annat. Ändå tycks man alltid utgå från att man ska svara på frågor om oändligheter utifrån kardinaltals-utgångspunkt - men man säger inte detta, utan man hävdar bara helt sonika att oändliga tal inte blir större av att tillföras ändliga tal. Som om detta var den "rätta" oändlighetsmatten, snarare än bara en av minst två lika rimliga varianter.

Jag har - hittills kanske mestadels undermedvetet - försökt komma underfund med varför matematiker automatiskt alltid pratar i termer av kardinaltal snarare än ordinaltal när de pratar oändlighet. Jag har kanske inte ställt frågan som jag borde. Nu ställer jag den: Varför pratar matematiker automatiskt alltid i termer av kardinaltal snarare än ordinaltal när de pratar oändlighet?

Att de gör det har, antar jag, gett mig det undermedvetna intrycket att det är ordinaltalsmatte som är "rätt oändlighetsmatte", medan ordinaltalen är mer "spekulativa". Det var kanske en felaktig slutsats, men vad skulle jag dra för slutsats när alla bara hela tiden upprepade att en oändlig mängd inte blir större av att man lägger till en ändlig mängd - något som ju bara är sant i kardinaltalsmatte och inte i ordinaltalsmatte?

Här läst en del av inläggen och tror att Dura M måste vara ganska frustrerad. Justin Case du tycks inte förstå huvudpoängen i hela debatten, nämligen vad matematik egentligen är. Dura M förklarar och förklarar och du kör bara på med dina lyckokalkyler som inte har något alls med matematik att göra. Kanske elakt att säga så, men du framstår lite som envist dum här.

Citat:
Justin Case skrev:
Måste inte ett av följande två påståenden vara sant och ett falskt: "man kan öka mängden lycka i universum", "man kan inte öka mängden lycka i universum"?

Om A+B>A oavsett hur stort A är och givet att B>0, kan man öka mängden lycka i universum. Om A+B=A givet att A är en oändlig mängd och B inte är större än A, kan man inte öka mängden lycka i universum. Vilketdera är sant? Vad säger matematiken egentligen? Säger den att "vilket man vill" av de här två alternativen är sant? Så kan det väl inte vara? Huruvida mängden lycka i universum ökar eller inte, av att tillföras ett ändligt lyckotillskott, måste väl vara antingen sant eller falskt?


Matematiken säger ingenting om mängden lycka i universum. Varför skulle den göra det? Om DU har något DU vill säga om mängden lycka i universum så gör det, med eller utan matematik, men förvänta dig inte att matematiken skall berätta för dig hur det ligger till.


Jag förutsatte naturligtvis att vi kan tillföra ändliga mängder lycka större än noll, till universum. Min fråga är: ökar sådant tillförande av lycka universums lyckosumma, givet att universums lyckosumma redan från början är oändligt stor? Det måste det finnas ett svar på. Jag tror inte att matematiken ensam kan svara på det. Min förhoppning är att någon som kan matematik bra kan svara på det. En person som kan matematik bra är ju något mer än bara matematik, inte sant?

Om lyckan skulle vara oändlig från början såsom du postulerar, säger matematiken att det inte skulle medföra någon föränding om man la till B i lycka. Det är just så en oändlig mängd definieras.
Men om man nu kunde mäta lyckan så hade man snarare gått andra hållet. Dvs, om det visar sig att trots att man lägger till en lycka till all lycka så ökar inte den totala lyckan => all lycka i världen oändlig

[Dura M]

Dura M har nyligen i en annan tråd sagt att jag får svar i kardinaltal för att jag frågar i kardinaltal. Men här nedan och vid många andra tillfällen har jag inte frågat i kardinaltal. Jag har bara pratat om oändliga mängder, utan att specificera om jag pratar om dem som kardinaltal eller som ordinaltal eller som något annat.

Ämnet för tråden är Cantors sats, vilket är en sats som rör kardinalitet. Du har genomgående använt begrepp som Alef0 och Alef1, vilka brukar beteckna oändliga kardinaltal. Du har talat om uppräkneliga och överuppräkneliga mängder, vilka definieras i termer av kardinalitet. Du har talat om Hilberts hotell, som är ett sätt att illustrera kardinaltalens egenskaper. Ja, du har även uttryckligen talat om kardinalitet och kardinaltal, så tacka fan för att vi har diskuterat kardinaltal. Vad hade du väntat dig?

Trots detta har du fått förslag både från mig och andra att titta i andra riktningar.

Inlägget du har letat fram, där du inte talar om kardinaltal, besvarade jag också i allmänna ordalag, så jag förstår inte vad det är du gnäller om.

[Justin Case]

Dura M har nyligen i en annan tråd sagt att jag får svar i kardinaltal för att jag frågar i kardinaltal. Men här nedan och vid många andra tillfällen har jag inte frågat i kardinaltal. Jag har bara pratat om oändliga mängder, utan att specificera om jag pratar om dem som kardinaltal eller som ordinaltal eller som något annat.

Ämnet för tråden är Cantors sats, vilket är en sats som rör kardinalitet. Du har genomgående använt begrepp som Alef0 och Alef1, vilka brukar beteckna oändliga kardinaltal. Du har talat om uppräkneliga och överuppräkneliga mängder, vilka definieras i termer av kardinalitet. Du har talat om Hilberts hotell, som är ett sätt att illustrera kardinaltalens egenskaper. Ja, du har även uttryckligen talat om kardinalitet och kardinaltal, så tacka fan för att vi har diskuterat kardinaltal. Vad hade du väntat dig?

Trots detta har du fått förslag både från mig och andra att titta i andra riktningar.

Inlägget du har letat fram, där du inte talar om kardinaltal, besvarade jag också i allmänna ordalag, så jag förstår inte vad det är du gnäller om.

Jag ber om ursäkt. Jag borde ha tagit saker och ting i en annan ordning redan från början. Bakgrunden till alltsammans är att jag - innan jag började fråga om oändlighet här på filosofiforum - frågade mig själv varför det verkar råda någon sorts konsensus om att det faktum att "oändligheten är oändligheten" innebär att exempelvis något oändligt stort x plus exempelvis sig självt blir x (jag ska fortsättningsvis kalla detta koncept för "x+x=x" underförstående att x är en oändlig mängd). Jag tyckte att även om x är oändligt stort, så måste väl x+x>x. Skillnaden mellan ett oändligt stort universum innehållande en viss mängd materia per kubikljusår och ett lika stort universum innehållande dubbelt så mycket materia per kubikljusår ser jag som en viktig skillnad. Jag tycker inte att man ska ignorera sådana skillnader när man representerar universa av t.ex. dessa två slag med symboler i matematiska uträkningar. Låter man sådana skillnader försvinna, går ju information förlorad, och det är väl synd. En sådan intuition var min utgångspunkt innan jag började diskutera oändligheter. Jag såg därefter att matematiker verkar kalla en oändlig mängd för alef0 och prata i termer av kardinaltal. Det föll sig därför naturligt för mina syften att använda den vokabulären. Jag visste inte då att matematiker tyckte (och jag tycker fortfarande inte att det är uppenbart att de tycker) att man lika gärna kan behandla oändliga mängder på ett sätt som innebär att x+x>x, d.v.s. med ordinaltal. Så småningom upptäckte jag att en del matematiker pratar om ordinaltal också, och att enligt ordinaltalsmatte x+x>x. Men eftersom kardinaltalstänkande (om än ofta inte explicit sådant) verkade vara nästan det enda matematiker verkade bruka använda vid sitt hanterande av oändliga mängder, antog jag att matematikerna inte ansåg det vara lika "riktigt" att behandla oändliga mängder som ordinaltal som att behandla dem som kardinaltal. Därför fortsatte jag prata i termer av kardinaltal, därför stannade jag kvar inom de ramarna när jag försökte visa att x+x>x, eller att det åtminstone borde kunna vara minst lika rätt att hävda att x+x>x som att x+x=x. När du sedan sagt saker i stil med "inget hindrar dig att definiera att x+x>x", har jag inte kunnat få ihop det med det faktum att matematiker ändå ständigt och jämnt verkar utgå från att det i första hand är kardinaltal som gäller när man ska hantera oändliga mängder. Jag har därför tolkat dina svar av typen "inget hindrar dig att definiera att x+x>x" som uttalade i samma anda som jag kunde tänka mig skulle ligga bakom ett uttalande som "inget hindrar dig att definiera att 1+1=7", d.v.s. som att det är fritt fram för mig att syssla med "hittepå-matte" om jag vill det. Jag vill inte använda "hittepå-matte", för jag tror inte att det ger optimalt korrekta slutsatser om vad ett oändligt stort universum innebär att jag bör göra med mitt liv.

Och om ordinaltal inte är mer av "hittepå-matte" än vad kardinaltal är, kan jag inte förstå varför matematiker så självklart alltid utgår från att oändliga mängder ska hanteras som kardinaltal om inget annat sagts.

Jag borde ha varit tydlig med att min kritik (den du citerar ett utdrag ur ovan) var menad till matematiker i största allmänhet, inte till någon särskild person. Matematiker i största allmänhet verkar alltid besvara frågor av typen "oändligheten plus oändligheten, blir det en större oändlighet?" med "nej" - alltså även när frågeställaren aldrig pratat om alef0, kardinaltal, Cantors sats, Hilberts hotell eller något annat som kunde föra tankarna till kardinaltalsmatte snarare än ordinaltalsmatte. Det är det jag undrar hur det kommer sig. Det var det jag borde ha frågat. Matematiker tycks favorisera - som a priori-utgångspunkt - kardinaltalstänk framför ordinaltalstänk, när de ska hantera oändlighet. Vad beror det på?

[Rorschach]

Och om ordinaltal inte är mer av "hittepå-matte" än vad kardinaltal är, kan jag inte förstå varför matematiker så självklart alltid utgår från att oändliga mängder ska hanteras som kardinaltal om inget annat sagts.

Ofta när man pratar om oändliga mängder så är det hur pass stora de är som är av intresse och när man beskriver hur stor en mängd A är så använder man det minsta ordinaltalet vilket kan användas för att räkna upp elementen i A, vilket också är ett sätt att definiera kardinaltalet för A. Om vi då har en oändligt uppräknelig mängd och sedan utökar vi den mängden med ytterligare ett element så har den mängden fortfarande samma kardinalitet, det vill säga det minsta ordinaltalet vilket kan användas för att räkna upp elementen i mängden är fortfarande det samma.

[Justin Case]

Ofta när man pratar om oändliga mängder så är det hur pass stora de är som är av intresse och när man beskriver hur stor en mängd A är så använder man det minsta ordinaltalet vilket kan användas för att räkna upp elementen i A,

Anta att vi har den oändliga mängden w+1. Vad anser man vara "det minsta ordinaltalet vilket kan användas för att räkna upp elementen i w+1"?  w+1 eller w (eller något större ordinaltal än w+1)?

vilket också är ett sätt att definiera kardinaltalet för A. Om vi då har en oändligt uppräknelig mängd och sedan utökar vi den mängden med ytterligare ett element så har den mängden fortfarande samma kardinalitet, det vill säga det minsta ordinaltalet vilket kan användas för att räkna upp elementen i mängden är fortfarande det samma.

Så först har man t.ex. w+1. Varför översätter man det sedan till kardinaltal? Om man översätter w+1 till alef0 förlorar man information - helt i onödan, tycks det mig. Är det inte bättre att behålla så mycket information man kan (förslagsvis så länge det inte blir alltför besvärligt i förhållande till vad man vinner på det - ungefär som att man inte avrundar 2:50 till hela kronor om det inte finns starkare skäl för, än emot, sådan avrundning)?