Att lägga till och dra bort i en oändlighet

[Algotezza]

Finns oändliga mängder annat än som matematisk idé? Varvid man ger dem de egenskaper man önskar... som passar ens matematiska teorier...

menar i alla fall Algotezza

[Krenek]

Finns oändliga mängder annat än som matematisk idé? Varvid man ger dem de egenskaper man önskar... som passar ens matematiska teorier...

menar i alla fall Algotezza

Såvitt jag vet har ingen observerat något oändligt, eller iaf inget som man kan skilja från ändligt i någon betydelsefull mening. I applicerad matematik kan du alltid klara dig utan oändlighet (även om det kan användas som approximationer till ändliga saker). Infinite set-theory är infekterar med  många paradoxer och problem. För allt du vill göra i praktiken har oändlighet ingen egentlig mening mer än som något som kan underlätta beräkningar.

[Doe]

En oändligt liten del av helheten är 0%. Som av en händelse råkar det vara den exakta skillnaden mellan svarta och vita bollar i detta fantastiska pingisuniversum

Men vad blir det om bollarna adderas?

undrar Algotezza

Det spelar ingen roll. Eftersom varje boll utgör en oändligt liten del av helheten, är det tveksamt om ens oändligt många bollar kan göra någon skillnad.

[Algotezza]

En oändligt liten del av helheten är 0%. Som av en händelse råkar det vara den exakta skillnaden mellan svarta och vita bollar i detta fantastiska pingisuniversum

Men vad blir det om bollarna adderas?

undrar Algotezza

Det spelar ingen roll. Eftersom varje boll utgör en oändligt liten del av helheten, är det tveksamt om ens oändligt många bollar kan göra någon skillnad.

Gör det någon skillnad om oändlighet bara är en idé som ej är förverkligad i vår fysiska värld?

undrar Algotezza

[Justin Case]

Såvitt jag vet har ingen observerat något oändligt

Vad är det då egentligen att observera något? Om jag uppfattar det som att det står en dataskärm framför mig, kan jag påstå att jag observerar en dataskärm, men vad som egentligen sker är ju bara att min hjärna utifrån signaler från ögonen undermedvetet drar slutsatsen att där står en dataskärm. Det kunde t.ex. vara ett hologram, eller en dröm, eller en hallucination istället för en riktig dataskärm. Egentligen tycker jag inte föreställningen att "det finns saker som är oändliga" är väsenskild från föreställningar som att "det finns en dataskärm framför mig". Alltsammans är egentligen bara slutsatser dragna utifrån sinnesintryck. Sinnesintrycken ensamma är inte observation. Både tanken att det finns oändlighet och att det finns t.ex. dataskärmar är slutsatser baserade på sinnesintryck och tolkande av sinnesintrycken medelst någon form av "tänkande" (medvetet eller undermedvetet tänkande). Så om vi tycker att det verkar som att dataskärmar finns, och vi tycker att det verkar som att oändlighet torde finnas, är väl skillnaden bara en gradskillnad i hur säkra vi känner oss på att respektive sak finns. Inte en artskillnad. Att kalla endast det ena för observation är att försöka göra en gradskillnad till en artskillnad, något som tycks mig godtyckligt och vilseledande.

Infinite set-theory är infekterar med  många paradoxer och problem.

I högre grad än de paradoxer man ställs inför om man hävdar att inget kan vara oändligt?

För allt du vill göra i praktiken har oändlighet ingen egentlig mening mer än som något som kan underlätta beräkningar.

För att utilitarism ska vara meningsfullt om universum är oändligt, får inte det faktum att universum är oändligt innebära att universums därmed oändliga innehåll av lycka och lidande innebär att det är omöjligt att påverka den sammanlagda mängden lycka respektive den sammanlagda mängden lidande i universum. Man skulle kunna tro att utilitaristen lugnt kan strunta i möjligheten att universum är oändligt, och handla som om det är ändligt. Men om det verkligen finns en chans att universum är oändligt - utan att därmed nödvändigtvis vara "så pass intensivt oändligt" att det inte spelar någon roll vad vi gör - har nog frågan, om huruvida universum är oändligt eller inte (och "hur pass intensivt oändligt" det är om det är oändligt) stor betydelse för vad som är utilitaristiskt rätt att göra. Om universum är oändligt kommer det att existera i evighet, något som inte är säkert om det är ändligt. Om universum kommer att existera i evighet bör en utilitarist rimligen lägga mer vikt vid extremt långsiktigt siktande strategier, än om så inte är fallet. För utilitaristen kan det alltså mycket väl tänkas vara viktigt att sätta sig in i oändlighetsmatematik (eller något åt det hållet).

[Doe]

urzäkta ztavningen, och ztäll aldrig glazet för nära tangentbordet.

En oändligt liten del av helheten är 0%. Som av en händelse råkar det vara den exakta skillnaden mellan svarta och vita bollar i detta fantastiska pingisuniversum

Men vad blir det om bollarna adderas?

undrar Algotezza

Det spelar ingen roll. Eftersom varje boll utgör en oändligt liten del av helheten, är det tveksamt om ens oändligt många bollar kan göra någon skillnad.

Gör det någon skillnad om oändlighet bara är en idé som ej är förverkligad i vår fysiska värld?

undrar Algotezza

zå klart. eller rättare, det går inte öht att fylla oändligheten. pingizbollar är i detta zammanhang lite zom mintkakor. det får alltid platz en till, typ.

den faktizka oändligheten, zom väl är nödvändig zom zpelplatz för det ändliga, kan innehålla evig upprepning, av bl a lycka. men den kan ockzå innehålla evig tomhet, evig förnyelze eller en evig förkylning.

utanför bb-zonen har bb ännu inte inträffat. utanför bb-zonen exizterar varken vi, vår lycka eller våra pingizbollar.

zå vi tänker ozz att du, zom lycklig, plazeraz i en tomhet utanför bb-zonen, och allt du känner till om var du är kommer övertyga dig om att hela univerzum är lyckligt.

denna ofattbara oändlighet. din ofattbara obetydlighet. all vår ofattbara meningzlözhet. det är grunden för hela din ofattbara frihet att välja hur du lever.

oändligheten dödar inte utilitarizmen eller några andra idéer. den kan bara öka värdet av varje val du zjälv gör. helt enkelt för att den dödar alla moraliztizka eller högre makt-bazerade argument för dina handlingar. och den enda zom finnz kvar är du.

[Algotezza]

Med vänlig hälsning Algotezza

[Doe]

:smt015

Med vänlig hälsning Algotezza

haha. jupp, zka aldrig göra om det

[Rorschach]

Så fort det oändligt förekommande har att sätta sig i relation till något annat oändligt förekommande så uppstår det en relativitet som i sin tur ger oss ett oändligt relativt förhållande. Det ger oss en till dimension på den oändliga mängden.
/Johan

Japp. För att uppnå detta så måste du konvertera oändligt många vita bollar på en och samma gång. Och det är helt riktigt att du då inför en ny dimension. Ta som exempel de naturliga talen och de realla talen. Dessa två mångder är ej lika stora (japp det finns olika stora oändliga mängder) eftersom du ej kan skapa en bijektion dem emellan. Det du då i princip har gjort är att lägga till en dimension, dvs du har gått från en linjär endimensionell mängd till ett tvådimensionellt, dvs ett plan. Och på så sätt har du i samma veva utökat antalet element som fanns urspungligen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality:

Cardinal arithmetic can be used to show not only that the number of points in a real number line is equal to the number of points in any segment of that line, but that this is equal to the number of points on a plane and, indeed, in any finite-dimensional space. These results are highly counterintuitive, because they imply that there exist proper subsets and proper supersets of an infinite set S that have the same size as S, although S contains elements that do not belong to its subsets, and the supersets of S contain elements that are not included in it.

Det är oklart vad du menar med att gå från "...en linjär endimensionell mängd till ett tvådimensionellt, dvs plan" och på vilket sätt detta skulle påverka kardinaliteten. Har du lust att utveckla det?

[Bertie]

[/quote]Det är oklart vad du menar med att gå från "...en linjär endimensionell mängd till ett tvådimensionellt, dvs plan" och på vilket sätt detta skulle påverka kardinaliteten. Har du lust att utveckla det?[/quote]

Även jag är lite nyfiken på vad som kan menas med detta.

Jag är ny på forumet men gick med just p.g.a. denna tråd om oändligheter. Naturligtvis finns oändligt mycket att säga i ämnet, så jag får nöja mig med några noteringar.

Först en historisk notering. Ett gammalt argument mot existensen av oändliga mängder var att de vore paradoxala. Tag till exempel de naturliga talen 1, 2, 3, ... Definiera en funktion f så att f(n) = 2n, där n är ett naturligt tal. f "räknar upp" de jämna talen 2, 4, 6, ... genom att "para" varje jämt tal med ett naturligt tal. Det är inte svårt att visa att f är en bijektion mellan de naturliga och jämna talen, d.v.s. att för varje värde (jämnt tal) finns ett, och endast ett, argument för vilket funktionen antar detta värde; och (i det här fallet) varje jämt tal är värdet på f för något argument. Men då gäller att de jämna talen är lika många som de naturliga!

Detta resonemang är naturligtvis endast paradoxalt under premissen att de jmna talen är hälften så många som de naturliga. Nu definierar vi (Dederkind)oändlighet som liktalighet med en äkta delmängd av sig själv. Vad det förra resonemanget visade var alltså att de naturliga talen är oändligt många, nämligen \aleph_0 stycken.

'\aleph_0' representerar här första bokstaven i det hebreiska alfabetet och 0 är ett index.

Någon i diskussionen sade att det finns olika stora oändligheter. Det är riktigt och inte så svårt att se. Betrakta mängden av alla naturliga tal N = {1, 2, 3, ...} En delmängd av N är en mängd av naturliga tal. Det är klart (?) att vi kan bilda mängden av alla delmängder till N, P´N, som vi kallar potensmängden till N. Det är klart att P´N är oändlig. ANTAG nu att vi kan räkna upp mängderna i P´N, d.v.s. att vi har en bijektion g från N på P´N. Till exempel kanske det gäller att g(2) = {2, 1004, 56987}. Då är det klart att 2 tillhör g(2); vi skriver det '2 \in g(2)'. I andra fall kan vi ha att  det inte gäller att x \in g(x). Bilda nu mängden av alla sådan (tal) x, d.v.s. mängden av alla x sådana att det inte gäller att x \in g(x); något vi skriver {x: x \notin g(x)}. Denna mängd är en delmängd av N och det följer av antagandet om g att det finns något tal k sådant att g(k) = {x: x \notin g(x)}. Nu gäller att k \in g(k) om och endast om k \notin g(k). En motsägelse! Vi förkastar antagandet och har därmed visat att P´N och N är olika stora. (Det är i princip Cantors teorem som vi har visat, nämligen att för varje mängd gäller att |x| < eller = |P´x| ('|y|' kan läsas som antalet y:n).

Så vad händer då om vi betraktar ett oändligt universum med (oändligt många) pingisbollar av olika färg? Ja om vi delar upp pingisbollarna i två (oändliga) mängder så får vi samma situation som när vi delar upp de naturliga talen i jämna och udda tal. Resten kan läsaren tänka ut själv m.h.a ovanstående.

Tycker man att det inte räcker så kan man läsa mängdteori som en nätkurs på Göteborgs universitet, filosofiska institutionen.

[ParadOxen]

Det är oklart vad du menar med att gå från "...en linjär endimensionell mängd till ett tvådimensionellt, dvs plan" och på vilket sätt detta skulle påverka kardinaliteten. Har du lust att utveckla det?

Även jag är lite nyfiken på vad som kan menas med detta.

Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality):

In mathematics, the cardinality of a set is a measure of the "number of elements of the set". For example, the set A = {1, 2, 3} contains 3 elements, and therefore A has a cardinality of 3. There are two approaches to cardinality – one which compares sets directly using bijections and injections, and another which uses cardinal numbers.

Above, "cardinality" was defined functionally. That is, the "cardinality" of a set was not defined as a specific object itself. However, such an object can be defined as follows.

The relation of having the same cardinality is called equinumerosity, and this is an equivalence relation on the class of all sets. The equivalence class of a set A under this relation then consists of all those sets which have the same cardinality as A. There are two ways to define the "cardinality of a set":

The cardinality of a set A is defined as its equivalence class under equinumerosity.  A representative set is designated for each equivalence class. The most common choice is the initial ordinal in that class. This is usually taken as the definition of cardinal number in axiomatic set theory.


The cardinality of the natural numbers is denoted aleph-null, while the cardinality of the real numbers is denoted c, and is also referred to as the cardinality of the continuum.

D.v.s. kardinaliteten ändras från aleph-null till c, där c > aleph-null

[Johan Ågren]

Välkommen Bertie! Alltid trevligt när yrkesfilosofer tittar in (även om mycket av informationen mest blir kuriosa för en annan).

Doe,

zå klart. eller rättare, det går inte öht att fylla oändligheten. pingizbollar är i detta zammanhang lite zom mintkakor. det får alltid platz en till, typ.

Beror på med vilken princip man använder. Om halva magen är full med mintkakor, och dessa sedan dubbleras så finns inget utrymme kvar, i teorin.

Det är även denna princip som vi bör utgå från om man matematiskt försöker stödja etiska förhållningssätt. Om logiken är universell så borde även den etiska konverteringen ske universellt; holistiskt (enligt mintkakeprincipen ovan), och Boström har tappat sitt argument.

/Johan

[Doe]

Doe,

zå klart. eller rättare, det går inte öht att fylla oändligheten. pingizbollar är i detta zammanhang lite zom mintkakor. det får alltid platz en till, typ.

Beror på med vilken princip man använder. Om halva magen är full med mintkakor, och dessa sedan dubbleras så finns inget utrymme kvar, i teorin.

Det är även denna princip som vi bör utgå från om man matematiskt försöker stödja etiska förhållningssätt. Om logiken är universell så borde även den etiska konverteringen ske universellt; holistiskt (enligt mintkakeprincipen ovan), och Boström har tappat sitt argument.

/Johan

Jo, det går nog att fylla magen med mintkakor. Men jag tycker nog ändå att det förutsätter att magen är ändlig. Ska magen vara oändlig, går det väl varken att få den halv- eller helfull.

Alltså; vad som krävs för ett oändligt universum, är inte innehåll, utan tomhet. Eller?

Och pratar man oändligt antal av något, så är väl oändligheten i sig talet; lika för alla oändligheter. Vad jag inte greppar är hur man skulle kunna säga att det ena oändliga antalet är mindre än det andra, när båda var för sig måste kunna fylla ett oändligt rum.

Det är mycket möjligt att frågorna redan besvarats, men jag blir lätt bortkollrad av matematiska uppställningar.

Vet inte; kanske menar jag bara att oändligheter inte kan jämföras, utan helt enkelt i sig är allt.

[Rorschach]

Det är oklart vad du menar med att gå från "...en linjär endimensionell mängd till ett tvådimensionellt, dvs plan" och på vilket sätt detta skulle påverka kardinaliteten. Har du lust att utveckla det?

Även jag är lite nyfiken på vad som kan menas med detta.

Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality):

In mathematics, the cardinality of a set is a measure of the "number of elements of the set". For example, the set A = {1, 2, 3} contains 3 elements, and therefore A has a cardinality of 3. There are two approaches to cardinality – one which compares sets directly using bijections and injections, and another which uses cardinal numbers.

Above, "cardinality" was defined functionally. That is, the "cardinality" of a set was not defined as a specific object itself. However, such an object can be defined as follows.

The relation of having the same cardinality is called equinumerosity, and this is an equivalence relation on the class of all sets. The equivalence class of a set A under this relation then consists of all those sets which have the same cardinality as A. There are two ways to define the "cardinality of a set":

The cardinality of a set A is defined as its equivalence class under equinumerosity.  A representative set is designated for each equivalence class. The most common choice is the initial ordinal in that class. This is usually taken as the definition of cardinal number in axiomatic set theory.


The cardinality of the natural numbers is denoted aleph-null, while the cardinality of the real numbers is denoted c, and is also referred to as the cardinality of the continuum.

D.v.s. kardinaliteten ändras från aleph-null till c, där c > aleph-null

Ingenting i förklaringen från wikipedia förklarar vad som menas med gå från "...en linjär endimensionell mängd till ett tvådimensionellt, dvs plan".

[Rorschach]

Så vad händer då om vi betraktar ett oändligt universum med (oändligt många) pingisbollar av olika färg? Ja om vi delar upp pingisbollarna i två (oändliga) mängder så får vi samma situation som när vi delar upp de naturliga talen i jämna och udda tal. Resten kan läsaren tänka ut själv m.h.a ovanstående.

Tycker man att det inte räcker så kan man läsa mängdteori som en nätkurs på Göteborgs universitet, filosofiska institutionen.

Vad menar du med att vi får samma situation när vi delar upp pingisbollarna som när vi delar upp de naturliga talen i udda och jämna? För att vara mer specifik, vad innebär "samma situation"?