Avantgardet skrev:matematiken är "kartritande", det är inte en empirisk vetenskap,
Matematiken är ett kartritande
och en empirisk vetenskap. Empirin utgörs av att matematikern utforskar hur hans/hennes hjärna svarar på olika kombinationer av tankar. Liksom en schackspelare utforskar vilka kombinationer av drag som leder till vinst eller på annat sätt (t.ex. genom "vackert spel") gör att hens belöningssystem ger henom stor tillfredsställelse, utforskar matematikern hur hen, inom ramarna för andra regler, kan kombinera symboler och tankar (eller egentligen: kombinera synapser och neuroner vars samspel utgör matematikerns upplevelse av att hen kombinerar symboler och tankar) för att uppnå tillfredsställelse. Ur dessa rön drar sedan matematikern slutsatsen att även andra matematiker, som tänker på "samma" sätt enligt "samma" regler, kommer att uppnå en liknande tillfredsställelse. Droger kan ge minst lika starkt övertygande upplevelse av sanning, som matematiken ger matematikern. Att matematikern uppfattar mänsklighetens nuvarande matematik, med dess axiom, som ovedersäglig, kan, liksom i knarkarens fall, bero på en "hallucinationsartad upplevelse av att se sanning och logik och sammanhang där dessa saker inte finns", så att saker som egentligen inte är logiska och sammanhängande i matematiken verkar fullt logiska och sammanhängande för matematikern. Skillnaden mot skadliga droger är bara att matematiken är en överlevnadsfrämjande drog. Om varje matematiker genast hade upptäckt sig bli kolossalt mycket lyckligare av att tänka inkoherent än av att tänka koherent, inom matematiken, hade säkert ingen matematiker idag trott på koherent matematik. Belöningssystemet styr vårt beteende och tänkande. Att vi tenderar betrakta det vi kallar "logik" och "koherens" som om de hade ett egenvärde bortom sin instrumentella funktion att främja vår lycka och (våra geners) överlevnad, beror på att vi (om än bara instinktivt och nästan helt omedvetet) uppfattar det som att vi, allt annat lika, blir lyckligare av att upprätthålla denna trosföreställning än av att inte upprätthålla den. Denna preferens har sållats fram av evolutionen för sitt överlevnadsfrämjande värdes skull, snarare än för att den skulle ge oss en korrekt bild av verkligheten.
Matematiken må vara inbördes koherent, men det går säkert att skapa hur många olika vetenskaper som helst som är inbördes koherenta i samma utsträckning som matematiken är. Detsamma gäller kanske matematikens skönhet. Om matematiken inte hade något mer än inbördes koherens och skönhet att komma med, vore den nog inte mer intressant för mänskligheten än vad t.ex. schack är. Schack är lika koherent inbördes som matematik är, och är en jätterolig lek, inget ont om schack. Men vad som gör matematiken så oerhört mycket större och bättre och viktigare än schack är att mänskligheten har så mycket mer
nytta av matematiken än vad den har av schack. Att matematiken är till så mycket nytta för mänskligheten beror på att den kan användas för att göra kartor av verkligheten, kartor som sedan visar sig främja vår överlevnad och öka vår lycka. Skulle inte matematiken ha denna fördel, skulle den vara blott en konstform/spel, och vore då förmodligen inte värd all den energi man idag lägger på den.
Men.Att de "kartor över verkligheten" vi kan göra med vår matematik, enligt de axiom vår nuvarande matematik har, har främjat vår överlevnad hittills, det betyder inte nödvändigtvis att dessa kartor är så korrekta beskrivningar av verkligheten som vi skulle kunna prestera med en annan matematik med andra axiom. Detta kan ha betydelse när matematiken sträcker sig utanför de områden där den historiskt visat sig främja mänsklighetens överlevnad. Hittills har matematiken visat sig främja mänsklighetens överlevnad främst vid sin behandling av sådant i tillvaron som är ändligt till sin natur. Den har inte i samma mån visat sig ha överlevnadsfrämjande funktion vid behandling av sådant som inte är ändligt till sin natur.
Man kan jämföra diskrepansen, mellan vad som gäller för det oändliga och vad som gäller för det ändliga, med diskrepansen mellan sanning och lögn. Naturläkaren som ljuger och säger till den med ungefär 99% säkerhet dödsdömde cancerpatienten att han med 100% säkerhet kommer att bli frisk från sin cancer om han börjar äta en massa alger och meditera hela dagarna, kan kanske öka patientens överlevnadschanser från 1,0% till 1,2% genom att denna lögn får honom mer motiverad att leva, mer uppåt, mer positiv, mer optimistisk. Om naturläkaren skulle säga honom sanningen: "du har upp till 1,2% chans att överleva sin cancer, om du ser till att vara maximalt motiverad att leva och maximalt positiv; låt mig nu försöka göra dig sådan!", skulle patienten antagligen ha mindre än 1,2% chans, kanske max 1,0% chans att överleva. Lögnen slutar inte vara en lögn för att den är motiverad ur moralisk synvinkel. En lögn är ofta välgörande. Och det stannar inte vid lögner som man själv vet är lögner. Ty för att naturläkaren ska kunna leverera sina lögner maximalt övertygande med optimal effekt på patienten, måste naturläkaren själv tro på dem (eller vara en mycket skicklig skådespelare, vilket han kanske inte har tid att utbilda sig till). Även självlurendrejeri kan således vara motiverat. Även patienten kan till en början veta att naturläkaren ljuger, men kan vinna på att välja att låta sig luras mer och mer av denne, tills han uppriktigt tror på lögnen, så att han lever mer överlevnadsfrämjande och därmed får större överlevnadschanser än vad som skulle ha blivit fallet annars - om än inte tillnärmelsevis så stora som lögnen säger.
Detta är ett av många exempel på att det långtifrån alltid tycks vara optimalt för mänsklighetens överlevnad att ha en så korrekt bild av verkligheten som möjligt. Att ha en lite inkorrekt, rosaskimrande bild av verkligheten är ofta berättigat.
Det är inte alls långsökt att tänka sig att även vår matematik, som vi utformat den, ger oss verklighetsbeskrivningar som objektivt sett är mindre korrekta än vad som hade varit möjligt med en annan sorts matematik, men att denna andra sorts matematik å andra sidan inte hade främjat vår överlevnad lika mycket.
Utilitarismen är överordnad matematiken, så att om matematiken säger en sak, och rent faktiskt har rätt i vad den säger, medan världen däremot skulle bli maximalt lycklig endast om vi hade en faktamässigt felaktig trosföreställning, en trosföreställning som vore oförenlig med det matematiken säger, bör vi välja den trosföreställningen framför att tro på det matematiken säger. Detta av samma typ av skäl som cancerpatienten ovan hade skäl att låta sig luras av sin naturläkare. Det innebär bland annat att det faktum att bijektion, som används för att "bevisa" Cantors sats, är korrekt matematik i normala fall, där den bevisligen generellt har varit överlevnadsfrämjande, inte behöver innebära att den är optimalt överlevnads- och lyckofrämjande när den appliceras i oändlighetssammanhang. Och det relevanta är hur överlevnads- och lyckofrämjande den är, inte hur korrekt den är som beskrivning av verkligheten.
(Maximering av mänsklighetens överlevnad är ett så tillräckligt instrument för lyckomaximering att man för enkelhets skull kan sätta likhetstecken mellan maximering av mänsklighetens överlevnad och lyckomaximering.)
Det kan, som sagt, dessutom vara så att vår uppfattning om vad matematiken har att säga om oändligheter inte är korrekt ens i betydelsen "objektivt korrekt som verklighetsbeskrivning".
Föreställ dig ett naturfolk som inte kan räkna längre än till 100. Alla de tal som vi uppfattar som ändliga tal över 100, uppfattar de som oändligheten, alltsammans. De drar alla tal över 100 över en kam och behandlar dem som lika stora allihop: oändligt stora. De har aldrig hittills upptäckt det matematiskt felaktiga i denna praxis, för de har aldrig drabbats av några kännbara negativa konsekvenser av den. De lyckas nämligen aldrig samla ihop fler än 100 av något föremål/matvara, för innan dess hinner antalet (frukter, nötter eller vad det nu är de samlat) minska på grund av hunger, röta eller stöld, eller så orkar de helt enkelt inte räkna så långt och upptäcker därför aldrig att de förlorar på att tro att man inte kan räkna längre än de gör.
Liksom ett sådant folk, utan att upptäcka det, tror fel när det gäller hur en väsentlig del av matematiken fungerar, kan vi, utan att ha upptäckt det, ha trott fel angående bijektion, när vi fått för oss att bara för att bijektion av talen i två talserier alltid verkar ge korrekta slutsatser när talserierna är ändliga, ger samma sorts behandling med bijektion korrekta slutsatser även när talserierna är oändliga.
Eller en annan liknelse: bara för att talen 1, 2, 3, 4, 5, 6 vart och ett är jämt delbart med 60, betyder det inte att talet 7 är det. Inte heller betyder det att t.ex. regeln "om och endast om det är sant om ett tal att talet 60 är jämnt delbart med det, är det ett naturligt tal" är en adekvat slutsats av det faktum att 1, 2, 3, 4, 5, 6 är de sex första naturliga talen och att talet 60 är jämnt delbart med vart och ett av dem. Nu kan vi räkna längre än till talet 6, men du kanske förstår liknelsen med användandet av bijektion på oändliga talserier. En regel gäller inte nödvändigt för alla tal eller talserier bara för att den gäller för alla tal eller talserier vi hittills kontrollerat att den gäller för. Att man med regeln "ett tal är ett naturligt tal om talet 60 är jämnt delbart med det" har hittat något som är gemensamt för alla talen 1-6 men inte för t.ex. talet 7, betyder inte att regeln i fråga är adekvat för att bestämma vilka tal som är naturliga tal och vilka som inte är det. På samma sätt: att man med bijektion av tal kan tyckas kunna bevisa att två talserier A och B är lika stora kanske är en adekvat metod endast när A och B är ändliga, inte när t.ex. A utgörs av alla naturliga tal och B utgörs av [alla naturliga tal och så talet 1,7 också]. Detta bör man misstänka i synnerhet om man redan utgår från - vilket ju matematiker gör - att oändliga tal/mängder inte i alla avseenden får behandlas som om de vore ändliga.
Å andra sidan torde inte det, i sig, utgöra nåt problem för Justin, som ju har sin universallösning i "evigheten" och "oändligheten", och torde så vara nöjd.
Det är en felaktig slutsats! Jag är inte nöjd! Ett problem med tanken, att t.ex. 2 gånger en oändlig mängd M, eller t.ex. M+1, eller M^2, skulle vara detsamma som M, är att den leder till en orimlig slutsats angående hur vi bör leva. Eftersom universum redan är oändligt stort och alltså innehåller oändligt många civilisationer och alltså innehåller oändligt mycket lidande redan som det är, innebär antagandet, att man inte kan öka en oändlig mängd genom någon sådan räkneoperation som nämnts (plus, gånger eller upphöjt till ett ändligt tal), att man inte kan öka den sammantagna mängden lidande i universum genom att tillföra ytterligare lidande, så länge man inte tillför väldigt, väldigt mycket mer lidande än vad det redan finns i universum, nämligen minst 2 upphöjt till den mängden (något som torde vara omöjligt även om hela mänskligheten skulle gå in för det till hundra procent i evigheter). Den slutsatsen skulle befria oss alla helt och hållet från allt moraliskt ansvar för våra handlingar. En sådan moral vore oacceptabel. För att vi ska ha någon anledning att avstå från onda handlingar och/eller sträva efter att göra gott, måste ändligt stora lycko- och/eller lidandetillskott ha betydelse
trots att universum redan innehåller oändligt mycket lycka och lidande redan som det är. Om det inte har någon betydelse vad vi gör, kan vi lika gärna leva som om det hade betydelse vad vi gör. Det omvända gäller däremot inte. Så länge sannolikheten är det minsta över noll för att matematikerna tänkt fel när de kommit fram till att oändliga mängders storlek inte påverkas av ändliga tillskott, är det därmed bäst att utgå från att de tänkt fel där. Varken vi eller världen har så att säga något att förlora på det, bara vinna. Därför är vi moraliskt skyldiga att utgå från att matematikerna tänkt fel och att oändliga mängders storlek faktiskt påverkas av ändliga tillskott.
Man kan tro att det bara är utilitarism och annan s.k. aggregativ etik som får problem om oändliga mängders storlek inte påverkas av ändliga tillskott - medan t.ex. rättighetsetik inte skulle ha detta problem. Men rättighetsetik har ett ännu värre problem: sin illusion om att det alls i någon mån är möjligt att undvika att kränka andras rättigheter. Detta problem förvärras ytterligare om oändliga mängder inte påverkas av att ändliga mängder läggs till dem. Eftersom det finns oändligt många identiska exemplar av var och en av oss i universum (eftersom universum är oändligt stort), kommer vi alla att kränka varandra på varenda tänkbart sätt samtidigt, i vartenda ögonblick hela tiden, oavsett hur mycket vi försöker undvika det. Oändligt många exemplar av mig kommer alltid, i varje ögonblick, att å det grövsta kränka andras rättigheter, hur många exemplar av mig jag än försöker få att låt bli. Detta eftersom kvantfluktuationer gör att alla beteenden som överhuvudtaget är fysiskt möjliga, för varje individ i varje ögonblick, oundvikligen äger rum, från varje persons sida i varje ögonblick - bara inte från varje persons
exemplars sida. Alltså kan jag aldrig någonsin undvika att kränka folks rättigheter maximalt, och alltså finns det ingen anledning att ens försöka undvika detta. Detta alltså om det vore sant att oändliga mängders storlek inte kunde ökas genom tillskott av ändliga mängder.
Vi har alltså att välja mellan följande:
1) Att utgå från att oändliga mängders storlek inte kan ökas genom tillskott av ändliga mängder, och därför tvingas acceptera att det inte finns någon anledning att försöka leva bra och försöka respektera andras rättigheter överhuvudtaget, eftersom allt hemskt som kan hända händer oändligt mycket hela tiden, och därför
lika mycket hela tiden, i vilket fall som helst, vad man än gör.
2) Att utgå från att oändliga mängders storlek
kan ökas genom tillskott av ändliga mängder, och att det således
har betydelse hur vi lever.
Jag föreslår 2.
