Frågor om Cantors teorem

[Justin Case]

Vad menar du med att 433356 är det korrekta svaret?

Tja, min dator säger det, och jag litar på min dator. Det brukar ge övervägande bra konsekvenser att lita på sin dator. Är inte det din erfarenhet?

Har du kommit fram till det genom att avfyra dina synapser,

På sätt och vis kanske man kan säga det; jag avfyrade synapser som i sin tur fick mina fingrar att knappa in de två faktorerna i min dators miniräknare, och jag avfyrade även synapser som fick mig att uppfatta svaret 433356 som min dator producerade på skärmen. Jag ser min dator som en del av min hjärna. I själva verket tror jag många människor är mer förtrogna med, och på så sätt kan sägas neurologiskt höra mer ihop med, sina elektroniska datorer än med stora delar av sina biologiska hjärnor. Det mesta som sker i våra biologiska hjärnor är fördolt för oss, undermedvetet, vi har knappt någon aning om hur det mesta av vårt biologiska hjärninnehåll fungerar - medan det däremot relativt enkelt går att läsa sig till hur elektroniska datorer fungerar. Genom att låta min elektroniska dator göra en del av min biologiska hjärnas jobb hyr jag så att säga in arbete av "synapser" som inte finns i min biologiska hjärna i biologisk form utan strax utanför min biologiska hjärna i elektronisk form. Justin Case och hans dator utgör tillsammans en mental enhet som kan kallas för en "utvidgad Justin Case". En cyborg, om än inte någon avancerad sådan i jämförelse med vad som komma skall.

och hur vet du i så fall att du avfyrade dem i rätt ordningsföljd?

Vet och vet. Genom liknande erfarenheter tidigare kan jag logiskt sluta mig till att sannolikheten för det är mycket stor. Det är visst det som kallas för att veta. Naturligtvis går det inte att veta något med exakt 100 procents säkerhet. Allt "vetande" är bara sannolikhetsbedömningar.

[Rorschach]

Jag tyckte tvärtom att jag kom fram till att Cantors sats leder till att det måste finnas en nollte dimension osv. Om en nollte dimension osv är en orimlighet (vilket jag inte alls är säker på) anser jag alltså att mitt resonemang ovan visar att även Cantors sats är orimlig.

Vill du verkligen förstå detta måste du dock se på det mängdteoretiskt. Att säga att du bara intresserar dig för tal och inte för mängder blir absurt i en diskussion om Cantors sats. Cantors sats är en mängdteoretisk sats.

Jag antar att det är så matematiker ser på det. Har du något bra tips på läsning som relativt snabbt förklarar enbart det jag undrar över, eller måste man lära sig en massa annat först, för att förstå?

Det är ett relativt vanligt fenomen att försöka visa på det orimliga i Cantors sats. För den intresserade rekommenderas  "An editor recalls some hopeless papers", Bulletin of Symbolic Logic,

http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0401/0401-001.ps

(Det behövs dock ett program för att läsa ps filer.)

[Dura M]

Vad menar du med att 433356 är det korrekta svaret?

Tja, min dator säger det, och jag litar på min dator. Det brukar ge övervägande bra konsekvenser att lita på sin dator. Är inte det din erfarenhet?

Det beror på vem som har programmerat den. En dator kan lika gärna programmeras att svara 462*938 = 433357 eller 462*938 = chokladglass. Så frågan kvarstår: Vad är det som avgör vad som är ett korrekt svar? Det är uppenbarligen inte synapsaktiviteten som avgör, eftersom du har sagt att synapsaktiviteten kan komma i fel ordningsföljd och därmed ge fel resultat.

[Justin Case]

Vad menar du med att 433356 är det korrekta svaret?

Tja, min dator säger det, och jag litar på min dator. Det brukar ge övervägande bra konsekvenser att lita på sin dator. Är inte det din erfarenhet?

Det beror på vem som har programmerat den. En dator kan lika gärna programmeras att svara 462*938 = 433357 eller 462*938 = chokladglass. Så frågan kvarstår: Vad är det som avgör vad som är ett korrekt svar?

Vad som avgör vad som är ett korrekt svar, ja, för att svara på det måste man först ha klart för sig vad man menar med "är" i "är ett korrekt svar". Vi kan inte veta vad något "är" mer än vad vi kan veta vad vi uppfattar det vara. Och vilket svar (på exempelvis frågan "vad blir 462*938?") vi uppfattar vara ett korrekt svar avgörs i praktiken av vilket svar som är överlevnadsfrämjande för oss och/eller våra gener att vi uppfattar vara rätt svar. Mer "absolut" än så, mer oavhängigt vår överlevnadsdrift än så, kan och bör det vi kallar vårt "vetande" nog inte vara, för skulle det vara det skulle nog våra överlevnadschanser i onödan riskera att bli mindre än nödvändigt, och det bör vi nog inte låta dem bli.

Vilken fråga är viktigast att inom sig besvara rätt: frågan "vad är absolut sant" eller frågan "vad lönar det sig mest att tro vara sant"? Då risken finns att svaren på dessa två frågor kan vara inkompatibla med varandra, bör vi nog vara på det klara med hur vi bör prioritera för den händelse att de skulle vara inkompatibla med varandra. Jag förespråkar att vi prioriterar att tänka på det sätt som tycks löna sig mest, oavsett om detta tycks vara detsamma som vad som i någon absolut mening är sant eller inte.

Hur vet du att det är 433356 och inte chokladglass som är rätt svar, annat än genom synapsaktiviteten (eller mer korrekt: aktiviteter av olika slag) i din hjärna? Utan denna (synaps- och annan) aktivitet i din hjärna skulle du varken kunna tänka ut rätt svar eller ha någon möjlighet att vare sig kontrollera eller se några argument för att det skulle vara rätt svar.

Vad man än anför för "matematiska" argument för påståendet att 462*938=433356, är tillförlitligheten, i våra och andra människors ögon, hos även dessa "matematiska" argument, helt avhängiga av att synapser avfyras i (en eller flera) människohjärnor som betänker dessa argument.

Och någon annan tillförlitlighet än "tillförlitligheten i våra och andras ögon" (vad det än gäller) kan vi väl knappast diskutera, eftersom detta är den enda tillförlitlighet vi har tillgång till (vad det än gäller)?

(Med "ögon" i "våra och andras ögon" syftar jag naturligtvis både på ordagranna ögon och "inre seende" av den typ som äger rum när vi sluter ögonen och tänker.)

Måste det verkligen existera någon av ditt tänkande oberoende sanning beträffande påståendet 462*938=433356 för att du ska kunna "kontrollera att 462*938=433356" (i den mening matematiker menar med "kontrollera att")? Inte vad jag kan se. Det enda du tycks behöva för att "kontrollera att 462*938=433356" (i den mening matematiker menar med "kontrollera att" är din hjärna (och syre och annat från omvärlden som håller dig vid liv den tid du behöver för att kontrollera att 462*938=433356). Varje sak, företeelse, händelse, fenomen eller samband "i omvärlden" eller "i logiken" eller "i matematiken" du hänvisar till för att "styrka att 462*938=433356" måste ju i vart fall godkännas av din hjärna för att du ska komma att se det som styrkande att 462*938=433356, och alltså är det i grunden fortfarande bara din hjärna det hänger på att det tycks dig sant att 462*938=433356. Att 462*938 tycks dig vara 433356 kan alltså i grunden hänföras till synapsaktiviteten i din hjärna snarare än till något annat. Och att 462*938 tycks dig vara 433356 är ju egentligen allt du har att luta dig mot när du påstår att 462*938=433356, inte sant? Du kan ju inte veta att 462*938 i någon annan mening än att det tycks dig vara sant, eller hur?

Det är uppenbarligen inte synapsaktiviteten som avgör, eftersom du har sagt att synapsaktiviteten kan komma i fel ordningsföljd och därmed ge fel resultat.

Vad vi egentligen menar med ordet "fel i påståendet "synapsaktiviteten kom i fel ordningsföljd" är att det skedde oönskade hjärnaktiviteter, hjärnaktiviteter som inte optimalt gynnar hjärnans innehavares geners överlevnad. Det är mer överlevnadsgynnande för generna att genernas innehavares hjärna utför de hjärnaktiviteter som man brukar beskriva som att "räkna rätt" än att den utför de hjärnaktiviteter som man brukar beskriva som att "räkna fel". Detta är grunden till diskrepansen mellan vad som definieras som "räkna rätt" och "räkna fel". Om du var kidnappad av en psykopat som älskade felräkning och som 18 timmar om dygnet ägnade sig åt att lära dig sitt sätt att räkna, d.v.s. ett sätt du nu anser vara matematiskt helt åt skogen fel, och han övertygat dig om att ditt liv hängde på att du inom ett halvår av sådan hårdträning i felräkning av sådan träning lärt dig att - "med ryggmärgen", spontant alltid, fullt accepterande och utan några som helst betänkligheter - räkna på sådana sätt som idag av de flesta matematiker skulle kallas för att "räkna fel", skulle du nog tids nog komma att ha börjat (uppriktigt, även inför dig själv, inom dig själv, helt övertygat) definiera det du idag definierar som "att räkna fel" som att räkna rätt, och vice versa. Tror du inte?

Människor som växt upp i galna sekter, men som senare i livet befriats från dessa sekters klor, och upptäckt, lärt sig och så småningom kommit att acceptera och anamma som sin egen världsbild den världsbild vi andra anser vara riktig, kan intyga att man faktiskt kan tro fel om själva verklighetens beskaffenhet och ändå uppriktigt uppleva denna tro som ett oantastligt vetande, lika övertygat som du är övertygad om att 462*938=433356 oavsett vad vi människor tror och tänker om saken. Att du är övertygad om att 462*938=433356 och tycker dig se oantastliga matematiska bevis för att 462*938=433356 innebär alltså inte att 462*938=433356 oavhängigt av vad människor (bland annat du) tror och tänker om saken.

I grunden är vår föreställning om det riktiga i vad vi kallar "att räkna rätt", "korrekt matematik", "matematiskt rätt", "matematiskt sant", och liknande, inte beroende av någon absolut, universellt gällande matematisk sanning om hur tal och räknesätt fungerar och "hur man ska (i någon universell mening "ska") räkna" - utan den är bara avhängig vad som framstår för oss (eller i vart fall för vårt undermedvetna / våra instinkter) som överlevnadsfrämjande för oss (eller egentligen för våra gener).

[Dura M]

Om du var kidnappad av en psykopat som älskade felräkning och som 18 timmar om dygnet ägnade sig åt att lära dig sitt sätt att räkna, d.v.s. ett sätt du nu anser vara matematiskt helt åt skogen fel, och han övertygat dig om att ditt liv hängde på att du inom ett halvår av sådan hårdträning i felräkning av sådan träning lärt dig att - "med ryggmärgen", spontant alltid, fullt accepterande och utan några som helst betänkligheter - räkna på sådana sätt som idag av de flesta matematiker skulle kallas för att "räkna fel", skulle du nog tids nog komma att ha börjat (uppriktigt, även inför dig själv, inom dig själv, helt övertygat) definiera det du idag definierar som "att räkna fel" som att räkna rätt, och vice versa. Tror du inte?

Det är möjligt, men det låter som en konstig beskrivning av vad matematiker i allmänhet sysslar med.

Alltså, jag är naturligtvis helt med på att vi är fria att definiera våra matematiska begrepp som vi vill och att vi kan skapa olika matematiska system efter eget gottfinnande. Jag har aldrig förfäktat någon "absolut, universellt gällande matematisk sanning". Detta tycker jag att jag har varit tydlig med både i den här och andra diskussioner. Det är du som verkar ha svårt att acceptera vissa matematiska definitioner med hänvisning till att de strider mot din intuition, och som hävdar att matematikerns roll är att "utforska hur den egna hjärnan svarar på olika kombinationer av tankar" (dvs att matematik går ut på att fånga ens egna matematiska intuitioner). Därifrån har du nu via en massa prat om synapsavfyrningar glidit över till att tala om matematik som någon slags överlevnadsövning. Jag vet inte var du kommer landa någonstans men man kan ju hoppas på att du på väg i rätt riktning. Du kanske kan återkomma när du har sorterat upp dina tankar lite bättre.

[Justin Case]

Allt vi gör eller befattar oss med befattar vi oss med för att vi någonstans tror att det i grunden är ägnat att främja våra överlevnadschanser - i annat fall bör vi inte befatta oss med det. Matematiken kan och bör inte säga oss något annat än vad det främjar våra överlevnadschanser att den säger oss, det var väl egentligen allt jag försökte säga. Varför skulle evolutionen ha fått oss att vilja hålla fast vid något som vi inte någonstans tror främjar våra överlevnadschanser?

[Justin Case]

Om du var kidnappad av en psykopat som älskade felräkning och som 18 timmar om dygnet ägnade sig åt att lära dig sitt sätt att räkna, d.v.s. ett sätt du nu anser vara matematiskt helt åt skogen fel, och han övertygat dig om att ditt liv hängde på att du inom ett halvår av sådan hårdträning i felräkning av sådan träning lärt dig att - "med ryggmärgen", spontant alltid, fullt accepterande och utan några som helst betänkligheter - räkna på sådana sätt som idag av de flesta matematiker skulle kallas för att "räkna fel", skulle du nog tids nog komma att ha börjat (uppriktigt, även inför dig själv, inom dig själv, helt övertygat) definiera det du idag definierar som "att räkna fel" som att räkna rätt, och vice versa. Tror du inte?

Det är möjligt, men det låter som en konstig beskrivning av vad matematiker i allmänhet sysslar med.

Är det inte egentligen ganska troligt att mänsklighetens nuvarande situation är ganska snarlik situationen för den kidnappade i mitt tankeexperiment ovan? Vi har genom tiderna utvecklat det vi kallar "matematik" utifrån vad som (varteftersom) visat sig gynna vår överlevnad. Som jag visat med kidnappningsexemplet är ett system vi utvecklat för att gynna vår överlevnad inte nödvändigtvis ett system som korrekt beskriver verkligheten. Det kan innebära att vår matematik är ett system som egentligen (till viss del, till stor del, främst eller rentav enbart) levererar lögner, dock sådana lögner som det hittills lönat sig för oss att tro på, likt det lönar sig för den kidnappade i mitt tankeexperiment att räkna fel och lära sig att felräkning ska betraktas som rätträkning. Om det är sanning vi egentligen vill nå, är kanske alltså vår nuvarande matematik ett villospår, lögner. Så länge det lönar sig för oss att tro på dessa lögner (och det gör det nog fortfarande till viss del, av de skäl som gjort att det lönat sig för oss att ta fram matematiken i fråga in the first place), kan det tyckas dumt att avskaffa dessa lögner och ersätta dem med något sannare, men jag tror tiden kan vara inne för det nu. Mycket inom kvantfysiken strider mer och mer emot våra intuitioner, sedan flera årtionden tillbaka. Kanske beror detta på att det är något grundläggande fel i den matematik människor idag (och därmed även dagens kvantfysiker) använder? Ett fel som känns som rätt eftersom det lett oss rätt så länge, liksom Newtons världsbild fungerade så bra tills Einstein och kvantfysikerna kom och ställde den på ända...

[Justin Case]

Empirin utgörs av att matematikern utforskar hur hans/hennes hjärna svarar på olika kombinationer av tankar.

Nope, det kanske är vad du sysslar med men det är inte vad matematiker sysslar med.

Detta påstående har jag nu visat vara felaktigt. Matematik är en empirisk vetenskap, då den hos varje utövare för sin framgång är fullständigt avhängig av sin utövares återkommande observerande av vad som händer vid de avfyranden av synapser i utövarens hjärna som utgör allt det tänkande som kallas matematiskt tänkande (liksom allt annat tänkande).

[Justin Case]

Svaret på din ursprungliga fråga ("Så hur är det egentligen med x, i ekvationen 2^x=Alef0? Är det mindre än Alef0 eller inte?") är alltså att det inte finns något x som löser ekvationen. Vet inte varför du har svårt att ta det till dig. Att en ekvation kan sakna lösning borde inte vara någon nyhet.

Vi tycks alltså ha att välja mellan att acceptera att ekvationen 2^x=Alef0 saknar lösning, och att acceptera att det finns en nollte dimension som innebär att det finns ett x som är lösningen till ekvationen. Att vi inte vet vilket tal detta x är betyder ju inte nödvändigtvis att det inte finns något tal x som löser ekvationen. Ekvationer brukar har lösningar. När de inte har lösningar, brukar man kunna förstå varför. I det här fallet tycks det mig inte lättare att förstå varför denna ekvation skulle sakna lösning än att föreställa sig en nollte dimension som innebär att ekvationen har en (om än för oss tills vidare okänd) lösning. Fysikerna pratar ju idag om elva eller fler dimensioner, något de tycker verkar nödvändigt för att maximalt tillfredsställande förklara elementarpartiklars beteende. Om de kan tänka sig en elfte dimension, varför skulle det då vara så orimligt med en nollte dimension? Vi är till vardags bekanta med endast tre dimensioner, eller fyra, med tidsdimensionen. Steget från att acceptera fyra till att acceptera elva dimensioner är åtminstone i viss mening större än steget från att vi accepterar existensen av den första dimensionen till att acceptera existensen av en nollte dimension. Elva minus fyra är ett större tal än ett minus noll, inte sant? Ja, det är rentav ett större tal än fyra minus noll.

Dura, då du tyckte att mitt prat om dimensioner verkade snurrigt, ska jag förklara lite tydligare:
Storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 har av populärvetenskapligt sinnade matematiker förklarats genom en liknelse med förhållandet mellan en oändligt stor yta (oändlig utsträckning i två rumsdimensioner) och en oändligt lång linje (oändlig utsträckning i en rumsdimension). Denna liknelse gör det lättare för fler människor att acceptera tanken att alef1 är större än alef0 även om både alef1 och alef0 är oändligt stora båda två. Liksom alef1 genom en sådan liknelse visas vara större än alef0, tänker jag mig alltså att man bör kunna visa att alef0 är större än en mängd som är i samma grad och/eller i samma sorts betydelse mindre än alef0 som alef0 är mindre än alef1. Liksom man kan åskådliggöra storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 genom liknelsen med storleksförhållandet mellan en oändligt stor yta och en oändligt lång linje, alltså ett storleksförhållande mellan något som har utsträckning i två dimensioner och något som har utsträckning i endast en dimension, tänker jag mig alltså att det genom antagande av existensen av en nollte dimension och därefter ställande av den första dimensionen mot den nollte dimensionen, på samma sätt som vi nyss ställde två dimensioner mot en, går att åskådliggöra ett liknande storleksförhållande mellan en oändligt lång linje och en oändligt "hmm:ig" "hmm", där "hmm" (detta substantiv har ännu inte fått något namn av matematikeretablissemanget) är den nollte dimensionens motsvarighet till den första dimensionens "linje", medan "hmm:ig" är det adjektiv (inte heller detta adjektiv har ännu fått något namn av matematikeretablissemanget) som lämpligen kan användas för någots utsträckning i den nollte dimensionen i likhet med hur adjektivet "längd" används för någots utsträckning i den första dimensionen och hur adjektivet "storlek" används för någots utsträckning i två eller fler dimensioner.

[Justin Case]

Min poäng var just att matematik inte är en empirisk vetenskap. Det finns inte någon "terräng av tal" där ute att undersöka och jämföra våra teorier med. Föreställningen att man skulle behöva gå igenom alla tal "empiriskt", "ett och ett", för att kunna bevisa ett talteoretiskt påstående är fullständigt felaktig.

Om man anser att man inte behöver gå igenom alla de naturliga talen ett och ett för att kontrollera om en teori som uttalar sig om samtliga naturliga tal stämmer, vad hindrar då att man gör ett misstag, som t.ex. att anta att alla naturliga tal är jämnt delbara med talet 60 (t.ex. bara för att man upptäckt att de sex första naturliga talen är det)? Om ingen människa någonsin haft tid att kontrollera om alla de naturliga talen är jämnt delbara med talet 60, finns det naturligtvis risk för att inte alla naturliga tal är jämnt delbara med talet 60, inte sant? Visserligen upptäcker man talet 7 ganska snart som varande en felande länk i det fallet, för talet 7 kommer ju relativt tidigt i serien av naturliga tal. Men vi har inte vid bedömandet av varje till synes bevisat teorem beträffande de naturliga talen (t.ex. Cantors teorem) förmånen att stöta på den felande länken på en lika lättupptäckt plats i serien naturliga tal. Kanske finns det t.ex. ett väldigt högt naturligt tal som, när man tar 2 upphöjt till det, blir alef0? Jag avvisade i början av den här tråden möjligheten av ett sådant tal, men när jag nu tänker efter, finner jag inte ett sådant tal svårare att tänka sig än t.ex. fysikernas elva dimensioner. Varför ska man vara mindre öppen för en del kontraintuitiva antaganden än för andra?

[Rorschach]

Empirin utgörs av att matematikern utforskar hur hans/hennes hjärna svarar på olika kombinationer av tankar.

Nope, det kanske är vad du sysslar med men det är inte vad matematiker sysslar med.

Detta påstående har jag nu visat vara felaktigt. Matematik är en empirisk vetenskap, då den hos varje utövare för sin framgång är fullständigt avhängig av sin utövares återkommande observerande av vad som händer vid de avfyranden av synapser i utövarens hjärna som utgör allt det tänkande som kallas matematiskt tänkande (liksom allt annat tänkande).

Det var en underlig betydelse av "empirisk vetenskap", då allt som innefattar något som helst tänkande inkluderas.

[Rorschach]

Dura, då du tyckte att mitt prat om dimensioner verkade snurrigt, ska jag förklara lite tydligare:
Storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 har av populärvetenskapligt sinnade matematiker förklarats genom en liknelse med förhållandet mellan en oändligt stor yta (oändlig utsträckning i två rumsdimensioner) och en oändligt lång linje (oändlig utsträckning i en rumsdimension). Denna liknelse gör det lättare för fler människor att acceptera tanken att alef1 är större än alef0 även om både alef1 och alef0 är oändligt stora båda två. Liksom alef1 genom en sådan liknelse visas vara större än alef0, tänker jag mig alltså att man bör kunna visa att alef0 är större än en mängd som är i samma grad och/eller i samma sorts betydelse mindre än alef0 som alef0 är mindre än alef1. Liksom man kan åskådliggöra storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 genom liknelsen med storleksförhållandet mellan en oändligt stor yta och en oändligt lång linje, alltså ett storleksförhållande mellan något som har utsträckning i två dimensioner och något som har utsträckning i endast en dimension, tänker jag mig alltså att det genom antagande av existensen av en nollte dimension och därefter ställande av den första dimensionen mot den nollte dimensionen, på samma sätt som vi nyss ställde två dimensioner mot en, går att åskådliggöra ett liknande storleksförhållande mellan en oändligt lång linje och en oändligt "hmm:ig" "hmm", där "hmm" (detta substantiv har ännu inte fått något namn av matematikeretablissemanget) är den nollte dimensionens motsvarighet till den första dimensionens "linje", medan "hmm:ig" är det adjektiv (inte heller detta adjektiv har ännu fått något namn av matematikeretablissemanget) som lämpligen kan användas för någots utsträckning i den nollte dimensionen i likhet med hur adjektivet "längd" används för någots utsträckning i den första dimensionen och hur adjektivet "storlek" används för någots utsträckning i två eller fler dimensioner.

Det är fortfarande snurrigt, dessutom är den informella liknelsen inte rättvisande.

[Justin Case]

Det var en underlig betydelse av "empirisk vetenskap", då allt som innefattar något som helst tänkande inkluderas.

Vad jag underförstått riktar min kritik mot är egentligen själva indelningen av vetenskap i empirisk och "icke-empirisk" vetenskap. Denna indelning framstår för mig som lika godtycklig och distraherande som om man skulle dela in matematiska teorier utifrån huruvida de kommit till i matematikerns eget hem eller någonstans utanför hans hem, t.ex. i en park eller på ett universitet.

[Justin Case]

Det är fortfarande snurrigt,

Varför tycker du det?

dessutom är den informella liknelsen inte rättvisande.

Varför tycker du det?

[Rorschach]

Det var en underlig betydelse av "empirisk vetenskap", då allt som innefattar något som helst tänkande inkluderas.

Vad jag underförstått riktar min kritik mot är egentligen själva indelningen av vetenskap i empirisk och "icke-empirisk" vetenskap. Denna indelning framstår för mig som lika godtycklig och distraherande som om man skulle dela in matematiska teorier utifrån huruvida de kommit till i matematikerns eget hem eller någonstans utanför hans hem, t.ex. i en park eller på ett universitet.

Betydelsen inkluderar även knyppling och kroki.