Frågor om Cantors teorem

[Rorschach]

Det är fortfarande snurrigt,

Varför tycker du det?

För att ta det du skriver:

Dura, då du tyckte att mitt prat om dimensioner verkade snurrigt, ska jag förklara lite tydligare:
Storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 har av populärvetenskapligt sinnade matematiker förklarats genom en liknelse med förhållandet mellan en oändligt stor yta (oändlig utsträckning i två rumsdimensioner) och en oändligt lång linje (oändlig utsträckning i en rumsdimension). Denna liknelse gör det lättare för fler människor att acceptera tanken att alef1 är större än alef0 även om både alef1 och alef0 är oändligt stora båda två. Liksom alef1 genom en sådan liknelse visas vara större än alef0, tänker jag mig alltså att man bör kunna visa att alef0 är större än en mängd som är i samma grad och/eller i samma sorts betydelse mindre än alef0 som alef0 är mindre än alef1.

Alef1 visas inte vara större än alef0 genom liknelsen och det är då oklart vad det efterföljande ska betyda.

Liksom man kan åskådliggöra storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 genom liknelsen med storleksförhållandet mellan en oändligt stor yta och en oändligt lång linje, alltså ett storleksförhållande mellan något som har utsträckning i två dimensioner och något som har utsträckning i endast en dimension, tänker jag mig alltså att det genom antagande av existensen av en nollte dimension och därefter ställande av den första dimensionen mot den nollte dimensionen, på samma sätt som vi nyss ställde två dimensioner mot en, går att åskådliggöra ett liknande storleksförhållande mellan en oändligt lång linje och en oändligt "hmm:ig" "hmm", där "hmm" (detta substantiv har ännu inte fått något namn av matematikeretablissemanget) är den nollte dimensionens motsvarighet till den första dimensionens "linje", medan "hmm:ig" är det adjektiv (inte heller detta adjektiv har ännu fått något namn av matematikeretablissemanget) som lämpligen kan användas för någots utsträckning i den nollte dimensionen i likhet med hur adjektivet "längd" används för någots utsträckning i den första dimensionen och hur adjektivet "storlek" används för någots utsträckning i två eller fler dimensioner.

dessutom är den informella liknelsen inte rättvisande.

Varför tycker du det?

För att antalet punkter i ett oändligt plan är lika många som antalet punkter på en oändlig linje, eller för den skull, ett ändligt linjesegment (om vi nu pratar om reella tal).

[Dura M]

Allt vi gör eller befattar oss med befattar vi oss med för att vi någonstans tror att det i grunden är ägnat att främja våra överlevnadschanser - i annat fall bör vi inte befatta oss med det.

Nej, så är det givetvis inte. Vi gör inte bara sådant vi tror främjar vår överlevnad, vare sig som individer eller som grupp. Om det sedan borde vara så kan man ju tycka vad man vill om.

Är det inte egentligen ganska troligt att mänsklighetens nuvarande situation är ganska snarlik situationen för den kidnappade i mitt tankeexperiment ovan?

Nej. Tankeexperimentet förefaller oerhört krystat på alla plan.

Detta påstående har jag nu visat vara felaktigt. Matematik är en empirisk vetenskap,

Nope, du har inte visat något sådant. Du har endast lekt med ord.

Dura, då du tyckte att mitt prat om dimensioner verkade snurrigt, ska jag förklara lite tydligare:
Storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 har av populärvetenskapligt sinnade matematiker förklarats genom en liknelse med förhållandet mellan en oändligt stor yta (oändlig utsträckning i två rumsdimensioner) och en oändligt lång linje (oändlig utsträckning i en rumsdimension). Denna liknelse gör det lättare för fler människor att acceptera tanken att alef1 är större än alef0 även om både alef1 och alef0 är oändligt stora båda två.

Till att börja med är det en dålig liknelse. Om en linje motsvarar Alef0 borde ett plan motsvara (Alef0)^2. För att komma till Alef1 skulle du behöva ta till ett oändligdimensionellt objekt.

Men alldeles oavsett det skall man vara väldigt försiktig med att dra slutsatser baserat på liknelser. Formellt sett är sådana slutsatser aldrig giltiga och även i praktiken är det ytterst lätt att hamna snett genom att man drar liknelsen för långt.

Sammanfattningsvis har ditt dimensionsprat ingen som helst relevans för frågan om 2^x = Alef0 har någon lösning.

Om man anser att man inte behöver gå igenom alla de naturliga talen ett och ett för att kontrollera om en teori som uttalar sig om samtliga naturliga tal stämmer, vad hindrar då att man gör ett misstag, som t.ex. att anta att alla naturliga tal är jämnt delbara med talet 60 (t.ex. bara för att man upptäckt att de sex första naturliga talen är det)?

Man visar förstås att det gäller för alla tal innan man påstår att det gäller för alla tal. Man visar det bara inte för ett tal i taget, utan för alla på en gång.

Sedan kan man förstås göra misstag, men det är en annan fråga.

[Justin Case]

Storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 har av populärvetenskapligt sinnade matematiker förklarats genom en liknelse med förhållandet mellan en oändligt stor yta (oändlig utsträckning i två rumsdimensioner) och en oändligt lång linje (oändlig utsträckning i en rumsdimension). Denna liknelse gör det lättare för fler människor att acceptera tanken att alef1 är större än alef0 även om både alef1 och alef0 är oändligt stora båda två.

Till att börja med är det en dålig liknelse. Om en linje motsvarar Alef0 borde ett plan motsvara (Alef0)^2. För att komma till Alef1 skulle du behöva ta till ett oändligdimensionellt objekt.

Föreställ dig ett rutpapper med oändligt många rutor på längden och oändligt många rutor på bredden, ett papper där rutan i övre vänstra hörnet står för talet 0, rutan strax under denna för talet 1, osv, så att varje unikt naturligt tal representeras av varsin ruta i den rutkolumn som är allra längst till vänster på pappret. Vidare har varje ruta i denna vänstraste rutkolumn oändligt många rutor till höger om sig, och dessa rutor står för de övriga reella talen, så att varje unikt reellt tal mellan 0 och 1 representeras av varsin ruta på rutrad 1, i stigande ordning från vänster till höger, en ruta per unikt reellt tal, och varje unikt reellt tal mellan 1 och 2 representeras av varsin ruta på rutrad 2, osv.

Ett sådant rutpapper har bara två dimensioner, inte oändligt många. De naturliga talen sträcker sig oändligt långt i den första dimensionen på detta rutpapper. De reella talen upptar en oändligt stor yta, d.v.s. sträcker sig oändligt långt i papprets två dimensioner. Skulle ett papper, vars vänstraste rutrad representerar de naturliga talen, behöva ha oändligt många dimensioner för att kunna representera alla de reella talen? Varför? Två dimensioner tycks mig räcka gott.

(Observera att jag inte förutsätter att de reella talen skulle skrivas ut i rutorna. För att få plats med dem måste man ta till en tredje dimension, djupdimensionen, t.ex. genom att ha oändligt många sådana här rutpapper ovanpå varandra. Men då skulle vi fortfarande inte vara uppe i oändligt många dimensioner, bara tre. Och hur som helst har jag aldrig förutsatt att de reella talen skulle behöva skrivas ut, bara att de ska representeras (t.ex. av varsin ruta).)

[Justin Case]

Jag vet att det finns oändligt många gånger fler reella tal mellan t.ex. 0 och 1 än vad det finns naturliga tal, men det betyder bara att nämnda rutpapper är oändligt många gånger bredare än vad det är långt. Det betyder inte att det behöver ha fler än två dimensioner. Det är ju inget ovanligt med saker som är bredare än vad de är långa, eller hur? Men tar ju inte till fler rumsdimensioner än tre för att förklara hur en penna kan vara längre än vad den är tjock, till exempel.

[Justin Case]

Den beskrivning, av hur alef(1) förhåller sig till alef(0), som ger korrekta slutsatser i frågeställningen vad x är om alef(0) förhåller sig till x som alef(1) förhåller sig till alef(0), behöver inte nödvändigtvis vara beskrivningen "2^alef(0)=alef(1)" - även om det i och för sig råkar vara sant att 2^alef(0)=alef(1). Ett exempel på liknande fenomen:

x, 10, 100.

Vad är x?

Rätt svar kan tyckas vara 1. Men det kan tänkas att det mest relevanta förhållandet mellan 100 och 10 inte är att 10*10=100, utan att 10^2=100. Då kan det tänkas att man istället bör tänka "10 är kvadratroten ur 100, alltså måste x vara kvadratroten ur 10", och då kommer man fram till ett annat tal än 1.

Men om man får frågan:
x, 10, 100, 1000, 10000, 100000.
Vad är x?
Då är svaret ganska självklart 1.

Och om man får frågan:
x, 10, 100, 10000, 100000000, 10000000000000000
Vad är x?
Då är svaret ganska självklart kvadratroten ur 10.

Därför tänker jag att om man vet hur alef(1) förhåller sig till alef(0), hur alef(2) förhåller sig till alef(1), hur alef(3) förhåller sig till alef(2) och hur alef(4) förhåller sig till alef(3), borde man kunna vara ganska säker på att den definition av hur alef(1) förhåller sig till alef(0) som tycks vara den adekvata också ger rätt svar på frågan "vad är x om alef(0) förhåller sig till x som alef(1) förhåller sig till alef(0)".

[Dura M]

Föreställ dig ett rutpapper med oändligt många rutor på längden och oändligt många rutor på bredden, ett papper där rutan i övre vänstra hörnet står för talet 0, rutan strax under denna för talet 1, osv, så att varje unikt naturligt tal representeras av varsin ruta i den rutkolumn som är allra längst till vänster på pappret. Vidare har varje ruta i denna vänstraste rutkolumn oändligt många rutor till höger om sig, och dessa rutor står för de övriga reella talen, så att varje unikt reellt tal mellan 0 och 1 representeras av varsin ruta på rutrad 1, i stigande ordning från vänster till höger, en ruta per unikt reellt tal, och varje unikt reellt tal mellan 1 och 2 representeras av varsin ruta på rutrad 2, osv.

Nu är ju inte de reella talen uppräkningsbara, så detta att lista de reella talen i ett intervall, ett efter ett "i stigande ordning från vänster till höger", går inte att göra på ett sådant sätt att alla talen i intervallet kommer med. (Hade det gått hade de reella talen haft kardinaliteten Alef0.) Det är alltså lite oklart vad det är du vill att jag skall föreställa mig.

Jag vet att det finns oändligt många gånger fler reella tal mellan t.ex. 0 och 1 än vad det finns naturliga tal, men det betyder bara att nämnda rutpapper är oändligt många gånger bredare än vad det är långt. Det betyder inte att det behöver ha fler än två dimensioner. Det är ju inget ovanligt med saker som är bredare än vad de är långa, eller hur? Men tar ju inte till fler rumsdimensioner än tre för att förklara hur en penna kan vara längre än vad den är tjock, till exempel.

Tja, varför inte nöja dig med en dimension i så fall? Liknelsen ter sig bara mer och mer poänglös.

Den beskrivning, av hur alef(1) förhåller sig till alef(0), som ger korrekta slutsatser i frågeställningen vad x är om alef(0) förhåller sig till x som alef(1) förhåller sig till alef(0), behöver inte nödvändigtvis vara beskrivningen "2^alef(0)=alef(1)" - även om det i och för sig råkar vara sant att 2^alef(0)=alef(1).

Om vi skall vara lite noggranna så är det inte visat att 2^Alef0 = Alef1. Cantors sats visar att de reella talen har högre kardinalitet än de naturliga talen, dvs att 2^Alef0 > Alef0. Att de reella talen har kardinalitet Alef1, dvs att 2^Alef0 = Alef1 är den så kallade kontinuumhypotesen, vilken är oavgörbar i vanlig mängdlära (ZFC).

[Justin Case]

Nu är ju inte de reella talen uppräkningsbara, så detta att lista de reella talen i ett intervall,

Jag trodde inte att man ansåg att man kan betrakta en oändligt låg rad rutor (innehållandes oändligt många rutor) som ett intervall. Är det inte bara ändliga mängder som anses kunna betraktas som intervall?

Men om man kan betrakta t.ex. alef(0), mängden naturliga tal, som ett intervall, undrar jag: hur stor andel av detta intervall utgörs av de naturliga tal som inte är större än att vilket som helst av dem skulle kunna skrivas ut i siffror under detta år (2010) med hjälp av den här planetens alla skrivare? En infinitesimal andel, eller hur? Universum anses kunna vara vad som helst mellan ca 46 miljarder ljusår i diameter och upp till oändligt stort. Med "oändligt stort" menar man i detta sammanhang (t.ex./bl.a.) minst alef(0) ljusår i diameter. Om gruppen tänkbara universumstorlekar som refereras till med uttrycket "allt mellan 46 miljarder ljusår och alef(0) ljusår" kan betraktas som ett intervall, måste det vara rimligt att fråga sig: hur stor andel av detta intervall utgörs av tänkbara universumstorlekar som är så små att vilken som helst av dem skulle kunna skrivas ut under detta år (2010) med hjälp av denna planets alla skrivare? Svaret på den frågan är: en infinitesimal andel, oändligt när noll procent av nämnda intervall. Detta innebär att om ingen särskild av de tänkbara universumstorlek kan antas med större sannolikhet vara universums verkliga storlek än någon annan, det vill säga att var och en av dessa måste behandlas som lika sannolikt varande universums verkliga storlek, så följer logiskt - vad jag kan se - att universum med oändligt nära hundra procents sannolikhet är så stort att dess storlek inte skulle kunna skrivas ut under detta år (2010) med hjälp av denna planets alla skrivare. Ser du något fel i det resonemanget?

ett efter ett "i stigande ordning från vänster till höger", går inte att göra på ett sådant sätt att alla talen i intervallet kommer med. (Hade det gått hade de reella talen haft kardinaliteten Alef0.) Det är alltså lite oklart vad det är du vill att jag skall föreställa mig.

Att mängden naturliga tal skulle vara uppräkningsbar, d.v.s. möjlig att räkna upp, medan mängden reella tal inte är det, framstår för mig som religion. Jag kan inte tänka mig att det skulle gå att räkna upp alla de naturliga talen, mer än vad jag kan tänka mig att det skulle gå att räkna upp alla de reella talen. Båda projekten skulle ta oändligt lång tid att genomföra. Om vi har oändligt lång tid på oss och alltså kan räkna upp oändligt många tal (t.ex. de naturliga talen), vad säger då att vi inte har så lång tid på oss att vi rentav kan räkna upp alla de reella talen också? Jag ser inte varför det sistnämnda skulle vara mer kontraintuitivt än det förstnämnda - båda är i samma grad kontraintuitiva för mig.

Som sagt är rutpappret jag pratar om oändligt många rutor långt och oändligt många rutor brett, så såvida det inte går att lista tal med en hastighet om oändligt många tal i sekunden, går det naturligtvis inte att inom en ändlig tidsrymd lista alla de reella talen, men under de förutsättningarna går ju inte heller de naturliga talen att lista inom en ändlig tidsrymd.

Tja, varför inte nöja dig med en dimension i så fall?

För att liknelsen med dimensioner åskådliggör att det finns olika stora oändliga mängder.

Jag anser för övrigt att det finns oändligt många olika stora oändliga mängder som är större än mängden naturliga tal men mindre än både mängden reella tal och 2^alef(0) (vare sig dessa är samma sak eller inte). Har Cantor eller någon annan motbevisat det?

Matematiker accepterar att Cantor bevisat att 2^alef(0) är större än alef(0); varför är de då så motvilliga att anta att även t.ex. 2*alef(0) är större än alef(0)? På mitt oändligt långa och oändligt breda rutpapper vore två kolumner av rutor ändå två kolumner, vilket är mer än en kolumn. Visserligen framstår kanske skillnaden mellan om det är en eller två kolumner som irrelevant i perspektivet att kolumnerna är oändligt långa (oändlighetens storhet förtar liksom pluttiga förhållanden som förhållandet mellan två och ett, tänker man sig kanske). Men motsvarande tycks mig i så fall måsta vara fallet även för storleksförhållandet mellan en alef(0) tecken lång rutkolumn och t.ex. en enda ruta, när detta pluttigt lilla storleksförhållande ställs i relation till den mycket större rutmängd som får plats på alef(0) rutpapper som vardera innehåller alef(0) rutor i längd och alef(0) rutor i bredd (och alltså innehåller alef(0)^3 rutor). Ändå anses alef(0)^3 inte vara större än alef(0). Varför skulle inte alef(0) bli större av att multipliceras ett par gånger med alef(0), när t.ex. talet 1 blir större av att multipliceras ett par gånger med alef(0)?

Jag upplever Cantors sats mest som ett (godtyckligt) av många möjliga sätt att visa att det finns olika stora mängder. Jag anser även att t.ex. alef(0)+1 är större än alef(0). Det stödjer jag på ett sådant här resonemang: anta att minst alef(0) människor måste betala skatt för att det ska bli möjligt att bygga ett svart hål. Om det finns mänskligheter på exakt alef(0) planeter i universum, är detta ett projekt som med väldigt nära 100 procents säkerhet blir genomfört (eftersom det räcker med att endast t.ex. en enda människa i var googolte mänsklighet betalar skatt för att det projektet ska bli genomfört). Men betyder det att vi på denna planet lika gärna kan strunta i att betala skatt, och att det svarta hålet exakt lika sannolikt ändå blir byggt? Innebär inte en sådan passivitet från vår sida en minskad sannolikhet för att ett svart hål blir byggt? Inget hindrar ju, vid en sådan passivitet från vår sida, att även så pass många av de övriga alef(0) människorna i universum tänker likadant som vi ("det kan inte vara avgörande att just vi betalar skatt") och struntar i att betala skatt, att sammantaget färre än alef(0) människor betalar skatt. Det rationella tycks mig i en sådan situation vara att agera som om ens bidrag till projektet kan vara avgörande, trots att ens bidrag har endast infinitesimal påverkan på sannolikheten för att projektet blir genomfört. Det här tankeexperimentet visar att infinitesimal inte bör behandlas som lika med noll (för om alltför många människor i universum skulle göra detta i nämnda sammanhang, och därmed strunta i att betala skatt, skulle nämnda projekt inte bli genomfört). På samma sätt tycks det mig rimligt att inte heller skillnaden mellan alef(0)+1 och alef(0) bör behandlas som noll, då den procentuella skillnaden mellan alef(0)+1 och alef(0) är infinitesimal och inte noll.

[Justin Case]

Du kanske undrar: vad är då tal nummer alef(0)+1 för tal? Det är t.ex. det antal gäster som bor på Hilberts hotell när Hilbert hyst in ännu en gäst utöver de alef(0) som sedan tidigare bor där.

Anta att x gäster på Hilberts hotell skulle tänka "även om jag checkar ut, kommer det fortfarande att finnas alef(0) gäster kvar på det här hotellet", och ledd av detta resonemang checka ut. Anta att x är så stort att det genom de x utcheckningarna upphör att finnas alef(0) gäster på hotellet. Då hade bevisligen de x gästerna, eller åtminstone några av dem, fel i sina antaganden.

Låt oss föreställa oss följande rad påståenden (av vilka vi initialt inte behöver acceptera alla som nödvändigtvis sanna):
Att Andersson checkade ut påverkade antalet gäster på Hilberts hotell.
Att Bertilsson checkade ut påverkade antalet gäster på Hilberts hotell.
Att Claesson checkade ut påverkade antalet gäster på Hilberts hotell.
.
.
.
Och så vidare. Låt oss tänka oss att vi på detta sätt går igenom alla de x gästernas namn och påstår samma sak om var och en av dem som vi påstått om Andersson, Bertilsson och Claesson.

Alla dessa påståenden kan inte vara falska. Om de alla vore falska, skulle Hilberts hotell fortfarande innehålla alef(0) gäster efter att x gäster checkat ut. Men det gör det inte. Alltså måste några eller alla av dessa påståenden vara sanna - närmare bestämt alef(0) av dem. Vi inser alltså att x måste ha varit alef(0). Varje gäst checkade alltså ut, och varje gästs utcheckning påverkade personligen antalet gäster på Hilberts hotell. Alltså får inte ens talet 1 behandlas som noll, ens när det förekommer i samband med alef(0).

Av detta följer bl.a. att alef(0)+1 är större än alef(0).

[Dura M]

Jag trodde inte att man ansåg att man kan betrakta en oändligt låg rad rutor (innehållandes oändligt många rutor) som ett intervall. Är det inte bara ändliga mängder som anses kunna betraktas som intervall?

Vad pratar du om? De reella talen mellan 0 och 1 utgör ett intervall och de skall enligt dig representeras av rutorna på första raden - ett tal i varje ruta "i stigande ordning från vänster till höger". Detta går inte att göra på ett sådant sätt att alla talen i intervallet kommer med. Hade det gått hade de reella talen varit uppräkningsbara och alltså haft samma kardinalitet som de naturliga talen.

Att mängden naturliga tal skulle vara uppräkningsbar, d.v.s. möjlig att räkna upp, medan mängden reella tal inte är det, framstår för mig som religion.

Det beror nog helt enkelt på att du inte förstår vad som menas med att en mängd är uppräkningsbar. (Tips: Det handlar inte om hur lång tid det skulle ta att räkna upp dem i praktiken.)

För att liknelsen med dimensioner åskådliggör att det finns olika stora oändliga mängder.

Nope, liknelsen åskåliggör inte den olikheten överhuvudtaget. Du stipulerar att rutmönstret är "oändligt många gånger bredare än vad det är långt". Du utgår redan från den olikhet som skall åskådliggöras.

Matematiker accepterar att Cantor bevisat att 2^alef(0) är större än alef(0); varför är de då så motvilliga att anta att även t.ex. 2*alef(0) är större än alef(0)? På mitt oändligt långa och oändligt breda rutpapper vore två kolumner av rutor ändå två kolumner, vilket är mer än en kolumn. Visserligen framstår kanske skillnaden mellan om det är en eller två kolumner som irrelevant i perspektivet att kolumnerna är oändligt långa (oändlighetens storhet förtar liksom pluttiga förhållanden som förhållandet mellan två och ett, tänker man sig kanske). Men motsvarande tycks mig i så fall måsta vara fallet även för storleksförhållandet mellan en alef(0) tecken lång rutkolumn och t.ex. en enda ruta, när detta pluttigt lilla storleksförhållande ställs i relation till den mycket större rutmängd som får plats på alef(0) rutpapper som vardera innehåller alef(0) rutor i längd och alef(0) rutor i bredd (och alltså innehåller alef(0)^3 rutor). Ändå anses alef(0)^3 inte vara större än alef(0). Varför skulle inte alef(0) bli större av att multipliceras ett par gånger med alef(0), när t.ex. talet 1 blir större av att multipliceras ett par gånger med alef(0)?

Det följer av hur kardinaltalen definieras. Inte konstigare än så.

[Algotezza]

Uppräkningsbar mängd: om man kan finna två tal i en viss  matematiskt definierad mängd som inte har något tal/några tal som tillhör mängden i fråga mellan sig är mängden uppräkningsbar. Man kan gå från ett tal till ett annat utan att behöva hoppa över några tal där emellan. 1, 2, 3... mend et funkar ej med decimaltal där man kan skriva ut oändligt antal decimaler.

Hur "tar du klivet" du från ett reellt tal till "nästa" utan att hoppa över minst ett reellt tal däremellan?

Det handlar inom matematiken bl.a. om definitioner och att fatta dem så bokstvaligt man kan. Till skillnad från religon som är försök att definiera (klä i ord) det som inte går att definiera bokstavligt. Bara uppleva - bortom ord. Om ens det.

/Algotezza

[Dura M]

Uppräkningsbar mängd: om man kan finna två tal i en viss  matematiskt definierad mängd som inte har något tal/några tal som tillhör mängden i fråga mellan sig är mängden uppräkningsbar. Man kan gå från ett tal till ett annat utan att behöva hoppa över några tal där emellan. 1, 2, 3... mend et funkar ej med decimaltal där man kan skriva ut oändligt antal decimaler.

Fast även de rationella talen är uppräkneliga trots att de inte uppfyller dina kriterier. Det går inte att gå från ett rationellt tal till ett annat utan att "hoppa över några tal där emellan", men det går ändå att stega sig igenom de rationella talen på ett sådant sätt att varje tal kommer med, förr eller senare (bara inte i turordning).

[Algotezza]

Uppräkningsbar mängd: om man kan finna två tal i en viss  matematiskt definierad mängd som inte har något tal/några tal som tillhör mängden i fråga mellan sig är mängden uppräkningsbar. Man kan gå från ett tal till ett annat utan att behöva hoppa över några tal där emellan. 1, 2, 3... mend et funkar ej med decimaltal där man kan skriva ut oändligt antal decimaler.

Fast även de rationella talen är uppräkneliga trots att de inte uppfyller dina kriterier. Det går inte att gå från ett rationellt tal till ett annat utan att "hoppa över några tal där emellan", men det går ändå att stega sig igenom de rationella talen på ett sådant sätt att varje tal kommer med, förr eller senare (bara inte i turordning).

Ja, de rationella talen utgör ju inte ett kontinuum.

Men man kan väl sätta upp dem i något slags uppräknelig storleksordning trots allt - även om man måste pendla fram  och åter "över" de naturliga talens hela dimension frö att göra det i praktiken.

/Algotezza

[Justin Case]

men det går ändå att stega sig igenom de rationella talen på ett sådant sätt att varje tal kommer med, förr eller senare (bara inte i turordning).

Ingen har lyckats med det, alltså kan ingen veta om det går eller inte.

[Justin Case]

Uppräkningsbar mängd: om man kan finna två tal i en viss  matematiskt definierad mängd som inte har något tal/några tal som tillhör mängden i fråga mellan sig är mängden uppräkningsbar.

Enligt den definitionen är den mängd, som utgörs av de två delmängderna "alla reella tal under 1" och "alla naturliga tal över 1", uppräkningsbar. Men det anses den väl inte vara. Din definition tycks mig alltså strida mot vad matematiker brukar utgå från.

Man kan gå från ett tal till ett annat utan att behöva hoppa över några tal där emellan.

Det funkar ej heller för varje par av på varandra följande tal som finns i mängden naturliga tal, eftersom 1) man inte kan stega sig igenom dem allihop, och eftersom 2) det finns naturliga tal som är större än någon av oss kan tänka.

Hur "tar du klivet" du från ett reellt tal till "nästa" utan att hoppa över minst ett reellt tal däremellan?

Per definition hoppar man ju inte över något reellt tal om man verkligen, som du säger, tar klivet från ett reellt tal till nästa. På det kan någon svara att man inte kan "ta klivet från ett reellt tal till nästa". Men hur kan det uteslutas att något sådant är möjligt? Någon kan svara: "man kan alltid konstruera ett tal av en tredje unik storlek mellan två reella tal", men hur vet man att detta alltid är möjligt? Det kanske är möjligt beträffande de minsta skillnader mellan reella tal som vi idag kan föreställa oss, men vi kan väl egentligen inte veta att det är möjligt hur långt som helst bortom denna vår föreställningsbarriär?

Det handlar inom matematiken bl.a. om definitioner och att fatta dem så bokstvaligt man kan.

Fatta dem bokstavligt är precis vad jag tycker att jag gör när jag fattar "uppräknelig" som "möjlig att räkna upp".

Till skillnad från religon som är försök att definiera (klä i ord) det som inte går att definiera bokstavligt.

Eller - troligare - försök att definiera något som egentligen är ett feltänk från början till slut.

[Justin Case]

Jag trodde inte att man ansåg att man kan betrakta en oändligt låg rad rutor (innehållandes oändligt många rutor) som ett intervall. Är det inte bara ändliga mängder som anses kunna betraktas som intervall?

Vad pratar du om? De reella talen mellan 0 och 1 utgör ett intervall och de skall enligt dig representeras av rutorna på första raden - ett tal i varje ruta "i stigande ordning från vänster till höger". Detta går inte att göra på ett sådant sätt att alla talen i intervallet kommer med.

Samma sak kan i så fall sägas om de naturliga talen. Både när du påstår att de naturliga talen "går att" få in i en kolumn i mitt rutnät, och när jag påstår att de reella talen i så fall lika gärna "går att" få in på en rad i mitt rutnät, utgår vi ju från att man underförstått ska tolka orden "går att" så, att den bedrift som åsyftas, trots att den egentligen inte rent faktiskt är möjlig för någon/några att utföra, ändå på något sätt liksom är "teoretiskt utförbar". Jag ser inte den principiella skillnaden härvidlag mellan "går att" i påståendet "de naturliga talen går att få in i en kolumn i rutnätet" och "går att" i påståendet "de reella talen går att få in på en rad i rutnätet".

Hade det gått hade de reella talen varit uppräkningsbara och alltså haft samma kardinalitet som de naturliga talen.

Cirkelresonemang. Man har ju valt att definiera ordet "uppräkningsbar" just så att mängden naturliga tal, givet den valda definitionen av "uppräkningsbar", är den största "uppräkningsbara" mängden. Självklart får man då som slutsats att, enligt denna definition, de reella talen inte är "uppräkningsbara" men att de naturliga talen är det.

Jag är med på att mängden reella tal är större än mängden naturliga tal. Dock anser jag att det måste finnas en massa kardinaliteter mellan dessa två. Att det inte skulle finnas det framstår för mig som lika orimligt som att det inte skulle finnas en massa reella tal mellan vilka två olika stora reella tal vi än kan (och då menar jag "i praktiken kan") komma på. Mängden naturliga tal och mängden reella tal är två mängder vi antar finnas tack vare att vi i praktiken kommit att tänka på var och en av dem. Att vi ännu inte i praktiken kan komma på kardinaliteter mellan dem betyder ju inte att det inte finns sådana - liksom det faktum att vi inte i praktiken ännu lyckats komma att tänka på vart och ett av de reella tal som finns inte betyder att dessa reella tal inte finns.

Att mängden naturliga tal skulle vara uppräkningsbar, d.v.s. möjlig att räkna upp, medan mängden reella tal inte är det, framstår för mig som religion.

Det beror nog helt enkelt på att du inte förstår vad som menas med att en mängd är uppräkningsbar.

Liknelse: De religiösa tycker sig "förstå" att det finns en Gud, och de ser ateisters oförmåga att "förstå" Gud som ett tecken på att, ja, att ateister helt enkelt bara är oförmögna att "förstå" Gud. Naturligtvis kan de religiösa själva veta vad de själva menar med ordet "Gud", men att detta som de menar med ordet "Gud" skulle existera, det är en föreställning ateisterna kan ha goda skäl att tvivla på. På liknande sätt tycker jag mig ha goda skäl att tvivla på att det skulle existera något sådant som det som brukar åsyftas med ordet "uppräknelig" i påståendet "mängden naturliga tal är en uppräknelig mängd".

För att liknelsen med dimensioner åskådliggör att det finns olika stora oändliga mängder.

Nope, liknelsen åskåliggör inte den olikheten överhuvudtaget. Du stipulerar att rutmönstret är "oändligt många gånger bredare än vad det är långt". Du utgår redan från den olikhet som skall åskådliggöras.

Vad jag ansåg åskådliggöras var att man åtminstone kan tänka sig (i en "teoretisk mening") att det skulle kunna finnas något som är oändligt många gånger bredare än vad det är långt (men vars bredd ändå är större än infinitesimal), åtminstone lika lätt som man kan tänka sig att det istället förhåller sig som du påstår (med de naturliga respektive reella talen). (Detta påstående kan vara sant t.ex. genom att båda sakerna är lika omöjliga att (ens teoretiskt) tänka sig - något som åtminstone skulle innebära att din syn på hur det här med oändliga mängder fungerar inte är mer överensstämmande med verkligheten än min).

Matematiker accepterar att Cantor bevisat att 2^alef(0) är större än alef(0); varför är de då så motvilliga att anta att även t.ex. 2*alef(0) är större än alef(0)? På mitt oändligt långa och oändligt breda rutpapper vore två kolumner av rutor ändå två kolumner, vilket är mer än en kolumn. Visserligen framstår kanske skillnaden mellan om det är en eller två kolumner som irrelevant i perspektivet att kolumnerna är oändligt långa (oändlighetens storhet förtar liksom pluttiga förhållanden som förhållandet mellan två och ett, tänker man sig kanske). Men motsvarande tycks mig i så fall måsta vara fallet även för storleksförhållandet mellan en alef(0) tecken lång rutkolumn och t.ex. en enda ruta, när detta pluttigt lilla storleksförhållande ställs i relation till den mycket större rutmängd som får plats på alef(0) rutpapper som vardera innehåller alef(0) rutor i längd och alef(0) rutor i bredd (och alltså innehåller alef(0)^3 rutor). Ändå anses alef(0)^3 inte vara större än alef(0). Varför skulle inte alef(0) bli större av att multipliceras ett par gånger med alef(0), när t.ex. talet 1 blir större av att multipliceras ett par gånger med alef(0)?

Det följer av hur kardinaltalen definieras. Inte konstigare än så.

Det svaret är som om en gudstroende, som svar på frågan "varför skulle det finnas en sådan varelse som den Gud ni tror på?" skulle svara: "Det följer av hur Gud definieras*. Inte konstigare än så."

(*) Den gudstroende kan tillägga: "Han (Gud) definieras nämligen som den allsmäktige skapare som skapat oss och som existerar, för Han existerar, det gör Han, det följer av hur Han (Gud) definieras; inte konstigare än så".)