Frågor om Cantors teorem

[Justin Case]

Du blandar ihop saker, infinitesimalkalkylen hör till gränsvärderbestämning, speciellt intregralkalkylen där gränsvärdesbestämning är av betydelse, därav just den infinitesimala enheten som i dagen matematik är dx, som är "död materia", alltså dx är ingeting bara en konvention.
Haha, rätt kul att snurra runt,

Om dx är ingenting, varför inte helt enkelt ersätta dx med 0, så har man en term mindre att hålla reda på? Att man laborerar med infinitesimaltal måste väl vara för att de inte är ekvivalenta med 0? Vore de ekvivalenta med 0, skulle man väl bara skriva 0 där man nu skriver infinitesimaltal; det hade väl varit enklare?

Kan talet 1 i teorin delas upp uttömmande i beståndsdelar vilka var och en har storleken dx? I så fall kan dx inte vara noll, för det går inte att (ens i teorin) få talet 1 genom att lägga ihop oändligt många tal av storleken 0. Om å andra sidan talet 1 inte kan (ens i teorin) delas upp uttömmande i beståndsdelar vilka var och en har storleken dx, innebär väl det att det finns ställen på linjen mellan talet 0 och talet 1 som inte innehåller några infinitesimaltal? Vad jag har förstått finns det inga sådana ställen; infinitesimaltalen finns överallt på linjen mellan talet 0 och talet 1.

Så vad är det för mening med att laborera med infinitesimaltalet dx, om det nu inte är någon skillnad mellan infinitesimaltalet dx och 0?

[lösdrivaren]

Ursprungligen var dx ”det oändligt lilla” som i integralen ”summerades”.  dx har endast symbolvärde, inget reellt värde eller uppgift och kan lika gärna tas bort. Ersätt absolut inte dx med 0.

[Justin Case]

"Detta ordinaltal beskriver emellertid väl-ordningen mer än själva mängden. Det faktum att en given mängd kan väl-ordnas på många sätt, gör att en given mängd kan motsvaras av mer än ett ordinaltal. Det är därför inte lämpligt att använda sig av ordinaltal då man är intresserad av att jämföra storleken av en mängd med den hos en annan."

Vad jag bestrider är alltså att det inte skulle vara "lämpligt att använda sig av ordinaltal då man är intresserad av att jämföra storleken av en mängd med den hos en annan". Anta att man vill jämföra mängden w med mängden w+1. Om det då inte är "lämpligt" att använda sig av ordinaltal, förlorar man den där 1:an. Än sen då, kanske du undrar. Men anta att man vill jämföra mängden w med mängden w-1. Och med mängden w-2. Och med mängden w-3, och så vidare nedåt. Om man inte kan anses på detta sätt kunna - ens teoretiskt - räkna sig ned till talet 0, finns det inget fog för att hävda att w är uppräkneligt. Att w är uppräkneligt innebär alltså att vi kommer ned till talet 0. Men om varje steg i den processen är förbisebart, är ju hela processen förbisebar. Därmed får man att w=0. Och det går ju inte.

Vad är w-1 för mängd?

w-1.  

Skälet till varför det inte är lämpligt att använda sig av ordinaltal framgår av det citerade stycket. Beroende på hur man räknar upp exempelvis mängden N av naturliga tal så kommer man fram till olika ordinaltal, exempelvis w, w+6 eller w+234525. Det får då som resultat att N inte är lika stor som N.

Det bestrider jag. Jag bestrider att de olika mängder du här kallar för N bör behandlas som exakt samma mängd allihop. Att de allesamman kallas för N ser jag som en avrundning, ungefär som att man säger att Pi är 3,14 fastän det är lite fel. Om man (har oändligt med tid och) räknar upp de naturliga talen genom att börja på talet 6 och räkna 6, 7, 8, 9..., får man, hävdar jag, en mindre mängd än om man börjar på talet 1 och räknar 1, 2, 3, 4... Om det inte vore så, skulle man tvingas dra slutsatsen att de fem första talen (1 till 5) är irrelevanta för storleken på N (det N som innehåller alla naturliga tal från talet 1 och uppåt), och i så fall måste även talen 6 till 10 vara irrelevanta för storleken på samma N, och likaså talen 11 till 15, och så vidare, uppåt hela vägen genom N tills varje tal som N består av befunnits vara irrelevant för storleken på N. Slutsatsen blir då att alla talen i N är irrelevanta för storleken på N. Men det är orimligt, ty storleken på N är oändlig, och oändligheten är större än 0, vilket innebär att åtminstone några av talen som N består av måste vara relevanta för storleken på N. Annars hade ju N kunnat bestå av inga tal alls och ändå varit oändligt stor, och det vore ju orimligt.

[Justin Case]

Ursprungligen var dx ”det oändligt lilla” som i integralen ”summerades”.  dx har endast symbolvärde, inget reellt värde eller uppgift och kan lika gärna tas bort. Ersätt absolut inte dx med 0.

Om dx endast har symbolvärde och inget reellt värde, och lika gärna kan tas bort, varför skulle det då vara fel att ersätta dx med 0? Om du har "1+dx" och där lika gärna kan ta bort "dx" (och plustecknet före "dx"), så att du får "1", är det väl i princip samma sorts situation som om du hade "1+0" och lika gärna kunde ta bort "0" (och plustecknet före "0"), så att du fick "1"? Jag ser inte den principiella skillnaden.

Du påstår att dx inte har någon uppgift. Men nog har det väl en uppgift om det ska summeras i integralen? Att summera dx och på så sätt få något nytt är väl att ge dx en uppgift?

[Rorschach]

Vad är w-1 för mängd?

w-1.  

Det gjorde inte saken tydligare.

Skälet till varför det inte är lämpligt att använda sig av ordinaltal framgår av det citerade stycket. Beroende på hur man räknar upp exempelvis mängden N av naturliga tal så kommer man fram till olika ordinaltal, exempelvis w, w+6 eller w+234525. Det får då som resultat att N inte är lika stor som N.

Det bestrider jag. Jag bestrider att de olika mängder du här kallar för N bör behandlas som exakt samma mängd allihop. Att de allesamman kallas för N ser jag som en avrundning, ungefär som att man säger att Pi är 3,14 fastän det är lite fel. Om man (har oändligt med tid och) räknar upp de naturliga talen genom att börja på talet 6 och räkna 6, 7, 8, 9..., får man, hävdar jag, en mindre mängd än om man börjar på talet 1 och räknar 1, 2, 3, 4... Om det inte vore så, skulle man tvingas dra slutsatsen att de fem första talen (1 till 5) är irrelevanta för storleken på N (det N som innehåller alla naturliga tal från talet 1 och uppåt), och i så fall måste även talen 6 till 10 vara irrelevanta för storleken på samma N, och likaså talen 11 till 15, och så vidare, uppåt hela vägen genom N tills varje tal som N består av befunnits vara irrelevant för storleken på N. Slutsatsen blir då att alla talen i N är irrelevanta för storleken på N. Men det är orimligt, ty storleken på N är oändlig, och oändligheten är större än 0, vilket innebär att åtminstone några av talen som N består av måste vara relevanta för storleken på N. Annars hade ju N kunnat bestå av inga tal alls och ändå varit oändligt stor, och det vore ju orimligt.

ehh? Var skulle jag påstått att N är olika mängder? Dina olika exempel på uppräkningar, "6, 7, 8, 9,..." räknar inte upp N utan en äkta delmängd av N. Vidare är resonemanget snurrigt som vanligt. Du utgår från en oändlig mängd A. Ur A tar du bort ett godtyckligt element a. A\{a} är då fortfarande en oändlig mängd. Från det drar du slutsatsen att oavsett vilket element du tar bort så har den resulterande mängden samma storlek som den tidigare mängden. Sen trasslar du till det och får för dig att du då kan sluta dig till att du kan plocka bort alla elementen.

[Justin Case]

Rorschach skrev:
Vad är w-1 för mängd?
Justin Case skrev:
w-1.  
Rorschach skrev:
Det gjorde inte saken tydligare.


Så här då: Mängden w-1 är:

de naturliga talen från 1 och uppåt men utan ett av de talen (vilket som helst).

Är det en tillfredsställande beskrivning?

Anta att du vet hur det ofattbart groteskt stora men ändock ändliga talet BB(100) är definierat (nämligen utifrån Busy Beaver), och någon frågar dig "Vad är BB(100)-1 för mängd?". Skulle du då anse det meningsfullt att försöka beskriva vad BB(100)-1 är för mängd på något sätt utöver just sättet "BB(100)-1"?

ehh? Var skulle jag påstått att N är olika mängder? Dina olika exempel på uppräkningar, "6, 7, 8, 9,..." räknar inte upp N utan en äkta delmängd av N.

...som enligt dig och andra emellertid ändå är lika stor som N. Detta, att denna äkta delmängd av N (talen 6, 7, 8, 9...) skulle vara lika stor som N (talen 1, 2, 3, 4...), det bestrider jag, och i mitt förra inlägg visade jag varför de två mängderna inte bör betraktas som lika stora. Det var hela poängen med mitt förra inlägg.

Vidare är resonemanget snurrigt som vanligt. Du utgår från en oändlig mängd A. Ur A tar du bort ett godtyckligt element a. A\{a} är då fortfarande en oändlig mängd.

Det får vara hur det vill med det. Jag påstår att mängden man drog bort elementet från i vilket fall som helst minskat i storlek av att man drog bort elementet i fråga. Varken du eller någon annan har visat varför det är orimligt att anse att den skulle minska i storlek. Vi kanske i vissa sammanhang av pragmatiska skäl ändå lite slarvigt bör kalla denna nya mindre mängd (som man får när man tar N minus talen 1 till 5) för "lika stor som N", men det är egentligen inte helt korrekt, och det är befogat endast av samma sorts skäl som vi t.ex. ibland för enkelhets skull kallar 3,14 för Pi - det är lite fel, det är en avrundning, man gör det för att det är praktiskt. Det verkar som att du och andra anser att det är av ett annat skäl, än att det är praktiskt, som man säger att N:s storlek inte påverkas av om man tar bort talen 1, 2, 3, 4, 5 från den eller inte - samt att det inte ens är det minsta fel (även om man bortser från vad som ibland av pragmatiska skäl kan vara befogat) att säga det. Jag påstår, och har visat, att det är lite fel (om man bortser från vad som av pragmatiska skäl ibland kan vara befogat att säga). Talet 5 förhåller sig inte riktigt likadant till en oändlig mängd som talet 0 förhåller sig till samma oändliga mängd. Skillnaden är "oändligt liten", men inte noll. "Oändligt lite" är inte nödvändigtvis noll, det kan vara lite mer än noll. Talserien 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... går mot en teoretisk nolla, men når aldrig exakt noll. Med tanke på att de reella talen mellan t.ex. 0 och 1 är oändligt många gånger fler än de naturliga talen från 1 och uppåt, tycks det mig att det i nämnda talserie måste finnas oändligt många steg kvar innan kvoten blivit noll även långt efter att nämnaren uppnått w, så att 1/w är större än noll. Och då 1/w är större än 0, är rimligen t.ex. 2/w större än 1/w, och så vidare. Av liknande skäl är t.ex. w-5 mindre än w.

Från det drar du slutsatsen att oavsett vilket element du tar bort så har den resulterande mängden samma storlek som den tidigare mängden.

Nej, jag bestrider att det är så.

Sen trasslar du till det och får för dig att du då kan sluta dig till att du kan plocka bort alla elementen.

Och du menar att man inte kan plocka bort alla elementen, eller vadå? Alltså teoretiskt plocka bort dem (underförstod jag naturligtvis, eftersom de är oändligt många). Vad jag påstår är att om man skulle plocka bort dem, så skulle man få 0 kvar. Det borde man inte kunna få om det var sant att den ursprungliga mängden inte påverkas av att man plockar bort endast "delar av elementen". Det enda man någonsin skulle plocka bort om man plockade bort några naturliga tal från N vore ju just "delar av elementen i N", inget annat. Om man plockar bort alla udda tal i N, och därefter alla jämna tal i N, blir det inget kvar. Om det vore sant att bortplockandet av de udda talen från N inte minskade N, och om det även vore sant att bortplockandet av de jämna talen från N inte heller minskade N, skulle N förbli oförändrat efter bortplockandet av först de udda talen och sedan de jämna talen. Att så skulle vara fallet är emellertid orimligt, det måste du väl hålla med om? Alltså måste bortplockandet av de udda talen från N och/eller bortplockandet av de jämna talen från N minska N. (Och då rimligtvis bådadera, eftersom de udda talen och de jämna talen är lika många.)

Du och andra utgår från att "den uppräkneligt oändliga mängden" N är lika stor oavsett om man räknar upp N från sitt första tal 1 eller utesluter några av talen (t.ex. så att man börjar räkna från 6). Jag visade i mitt förra inlägg att det ger absurda implikationer att utgå från det, och anser därför att man inte bör utgå från det.

[Rorschach]

Rorschach skrev:
Vad är w-1 för mängd?
Justin Case skrev:
w-1.  
Rorschach skrev:
Det gjorde inte saken tydligare.


Så här då: Mängden w-1 är:

de naturliga talen från 1 och uppåt men utan ett av de talen (vilket som helst).

Är det en tillfredsställande beskrivning?

Nej, det är oklart vilken mängd du avser.

Anta att du vet hur det ofattbart groteskt stora men ändock ändliga talet BB(100) är definierat (nämligen utifrån Busy Beaver), och någon frågar dig "Vad är BB(100)-1 för mängd?". Skulle du då anse det meningsfullt att försöka beskriva vad BB(100)-1 är för mängd på något sätt utöver just sättet "BB(100)-1"?

ehh? Var skulle jag påstått att N är olika mängder? Dina olika exempel på uppräkningar, "6, 7, 8, 9,..." räknar inte upp N utan en äkta delmängd av N.

...som enligt dig och andra emellertid ändå är lika stor som N. Detta, att denna äkta delmängd av N (talen 6, 7, 8, 9...) skulle vara lika stor som N (talen 1, 2, 3, 4...), det bestrider jag, och i mitt förra inlägg visade jag varför de två mängderna inte bör betraktas som lika stora.

Nej, det visade du inte.

Vidare är resonemanget snurrigt som vanligt. Du utgår från en oändlig mängd A. Ur A tar du bort ett godtyckligt element a. A\{a} är då fortfarande en oändlig mängd.

Sen trasslar du till det och får för dig att du då kan sluta dig till att du kan plocka bort alla elementen.

Och du menar att man inte kan plocka bort alla elementen, eller vadå?

Klart du kan plocka bort alla om du vill. Om du har en oändlig mängd A och tar bort alla elementen ur A så kommer den resulterande mängden inte att vara en oändlig mängd utan den tomma mängden.

Alltså teoretiskt plocka bort dem (underförstod jag naturligtvis, eftersom de är oändligt många). Vad jag påstår är att om man skulle plocka bort dem, så skulle man få 0 kvar.

Jo, i den mening vi tolkar 0 som den tomma mängden.

Det borde man inte kunna få om det var sant att den ursprungliga mängden inte påverkas av att man plockar bort endast "delar av elementen". Det enda man någonsin skulle plocka bort om man plockade bort några naturliga tal från N vore ju just "delar av elementen i N", inget annat.

Vad betyder "Delar av elementen"? Antag att vi har mängden {1, 2, 3}, vad betyder det att plocka bort delar av elementen?

Om man plockar bort alla udda tal i N, och därefter alla jämna tal i N, blir det inget kvar.

Ja.

Om det vore sant att bortplockandet av de udda talen från N inte minskade N, och om det även vore sant att bortplockandet av de jämna talen från N inte heller minskade N, skulle N förbli oförändrat efter bortplockandet av först de udda talen och sedan de jämna talen.

Nej.

[Justin Case]

Om det vore sant att bortplockandet av de udda talen från N inte minskade N, och om det även vore sant att bortplockandet av de jämna talen från N inte heller minskade N, skulle N förbli oförändrat efter bortplockandet av först de udda talen och sedan de jämna talen.

Nej.

Jag anar ett problem: N är definierat som alla de naturliga talen - inklusive de jämna. Därför tror man kanske lätt att man måste låta den definitionen fortsätta gälla för N oavsett hur mycket man än påstår att de jämna talen "plockats bort från N". Låt oss därför införa en variabel, som för säkerhets skull tydliggör att den mängd vi pratar om, och som vi hittills kallat N, faktiskt blir berövad de jämna talen, så att den därefter inte innehåller dem.

Anta att N (mängden naturliga tal) bollar, numrerade från 1 och uppåt, står på rad i nummerordning. Låt oss tilldela antalet bollar i den raden en variabel V vars värde hädanefter kommer att förändras i den mån antalet bollar i raden förändras. (Om man t.ex. plockar bort alla bollar med nummer 100 och uppåt, förändras V från N till 99. Men det ska vi inte göra, det var bara ett exempel.)

Låt oss kalla handlingen att plocka bort alla bollar med udda nummer för H1, och handlingen att plocka bort alla bollar med jämna nummer för H2. Du skulle anse att enbart H1 inte påverkar storleken på V, och att enbart H2 inte påverkar storleken på V, men att "H1 och därefter H2" påverkar storleken på V.

Det går inte hop. Ty att säga att storleken på V inte påverkas av att H1 utförts är ju detsamma som att säga att (för V:s storleks del) H1 lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras. Men H1 hade inte (för V:s storleks del) lika gärna kunnat underlåtas att utföras; att H1 utförts är av yttersta vikt för huruvida ett därpå följande utförande av H2 skulle påverka storleken på V eller inte. Vi har här alltså en skriande motsägelse: för att kunna hålla fast vid den sorts matematik du håller fast vid, måste du både 1) anse att H1 lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras och 2) anse att H1 inte lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras.

Redan detta talar för min matematik (som motsägelsefritt och entydigt säger att H1 inte lika gärna hade kunnat underlåtas) snarare än din matematik (som ger motsägelsefulla besked om huruvida H1 lika gärna kan underlåtas eller inte).

Vi kan även göra en grej till. Efter att ha utfört H1 men innan man utför H2 borde man, enligt Hilberts-Hotell-logik, kunna numrera om alla bollar som är kvar i raden (och som nu alla har jämna nummer) efter serien naturliga tal (2->1, 4->2, 6->3, 8->4, osv) tills alla bollar är omnumrerade och alla naturliga tal finns representerade i bollraden. Låt oss kalla detta omnumrerande av bollarna för Omnum. Efter att H1 följt av Omnum utförts, skulle man kunna utföra H2 utan att storleken på V påverkas (enligt dig). Men det tycks förutsätta att Omnum "neutraliserar den negativa effekt som den redan utförda H1 skulle 'retroaktivt i samverkan med H2' komma att ha på V:s storlek om H2 skulle utföras i framtiden".

Naturligtvis innebär H2 inte ett bortplockande av exakt samma bollar om [H1 följt av Omnum följt av H2] utförs som om endast [H1 följt av H2] utförs. I det förstnämnda fallet kommer inte alla de bollar plockas bort i H2 som plockas bort i H2 i det sistnämnda fallet. Men H2 borde enligt din matematik ändå utgöras av ett bortplockande av lika många bollar i båda fallen, så det borde ändå inte spela någon roll om Omnum utförts eller inte. Vad spelar det för roll att det inte är samma bollar som plockas bort i de två olika scenarierna, när samma antal bollar plockas bort i båda scenariorna? Är det inte bara antalet som är det relevanta? Då H2 utgör ett bortplockande av samma antal bollar med jämna nummer från V i båda scenariorna, och då (enligt din matematik) V just när H2 ska utföras är lika stort i båda scenariorna, kan V inte rimligen minska till noll i det ena scenariet och förbli oförändrat oändligt stort i det andra scenariet.

Men det gör det. Den rimligaste förklaringen till varför det gör det är, enligt min mening, att Omnum faktiskt inte ger lika många bollar jämna nummer som det fanns bollar med jämna nummer innan H1 utfördes - så att när H2 utförs (efter H1 och Omnum) endast hälften så många bollar med jämna nummer blir bortplockade som hade blivit bortplockade med H2 om Omnum inte hade utförts mellan H1 och H2.

[Justin Case]

Om det vore sant att bortplockandet av de udda talen från N inte minskade N, och om det även vore sant att bortplockandet av de jämna talen från N inte heller minskade N, skulle N förbli oförändrat efter bortplockandet av först de udda talen och sedan de jämna talen.

Nej.

Jag anar ett problem: N är definierat som alla de naturliga talen - inklusive de jämna. Därför tror man kanske lätt att man måste låta den definitionen fortsätta gälla för N oavsett hur mycket man än påstår att de jämna talen "plockats bort från N". Låt oss därför införa en variabel, som för säkerhets skull tydliggör att den mängd vi pratar om, och som vi hittills kallat N, faktiskt blir berövad de jämna talen, så att den därefter inte innehåller dem.

Anta att N (mängden naturliga tal) bollar, numrerade från 1 och uppåt, står på rad i nummerordning. Låt oss tilldela antalet bollar i den raden en variabel V vars värde hädanefter kommer att förändras i den mån antalet bollar i raden förändras. (Om man t.ex. plockar bort alla bollar med nummer 100 och uppåt, förändras V från N till 99. Men det ska vi inte göra, det var bara ett exempel.)

Låt oss kalla handlingen att plocka bort alla bollar med udda nummer för H1, och handlingen att plocka bort alla bollar med jämna nummer för H2. Du skulle anse att enbart H1 inte påverkar storleken på V, och att enbart H2 inte påverkar storleken på V, men att "H1 och därefter H2" påverkar storleken på V.

Det går inte hop. Ty att säga att storleken på V inte påverkas av att H1 utförts är ju detsamma som att säga att (för V:s storleks del) H1 lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras. Men H1 hade inte (för V:s storleks del) lika gärna kunnat underlåtas att utföras; att H1 utförts är av yttersta vikt för huruvida ett därpå följande utförande av H2 skulle påverka storleken på V eller inte. Vi har här alltså en skriande motsägelse: för att kunna hålla fast vid den sorts matematik du håller fast vid, måste du både 1) anse att H1 lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras och 2) anse att H1 inte lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras.

Redan detta talar för min matematik (som motsägelsefritt och entydigt säger att H1 inte lika gärna hade kunnat underlåtas) snarare än din matematik (som ger motsägelsefulla besked om huruvida H1 lika gärna kan underlåtas eller inte).

Vi kan även göra en grej till. Efter att ha utfört H1 men innan man utför H2 borde man, enligt Hilberts-Hotell-logik, kunna numrera om alla bollar som är kvar i raden (och som nu alla har jämna nummer) efter serien naturliga tal (2->1, 4->2, 6->3, 8->4, osv) tills alla bollar är omnumrerade och alla naturliga tal finns representerade i bollraden. Låt oss kalla detta omnumrerande av bollarna för Omnum. Efter att H1 följt av Omnum utförts, skulle man kunna utföra H2 utan att storleken på V påverkas (enligt dig). Men det tycks förutsätta att Omnum "neutraliserar den negativa effekt som den redan utförda H1 skulle 'retroaktivt i samverkan med H2' komma att ha på V:s storlek om H2 skulle utföras i framtiden".

Naturligtvis innebär H2 inte ett bortplockande av exakt samma bollar om [H1 följt av Omnum följt av H2] utförs som om endast [H1 följt av H2] utförs. I det förstnämnda fallet kommer inte alla de bollar plockas bort i H2 som plockas bort i H2 i det sistnämnda fallet. Men H2 borde enligt din matematik ändå utgöras av ett bortplockande av lika många bollar i båda fallen, så det borde ändå inte spela någon roll om Omnum utförts eller inte. Vad spelar det för roll att det inte är samma bollar som plockas bort i de två olika scenarierna, när samma antal bollar plockas bort i båda scenariorna? Är det inte bara antalet som är det relevanta? Då H2 utgör ett bortplockande av samma antal bollar med jämna nummer från V i båda scenariorna, och då (enligt din matematik) V just när H2 ska utföras är lika stort i båda scenariorna, kan V inte rimligen minska till noll i det ena scenariet och förbli oförändrat oändligt stort i det andra scenariet.

Men det gör det. Den rimligaste förklaringen till varför det gör det är, enligt min mening, att Omnum faktiskt inte ger lika många bollar jämna nummer som det fanns bollar med jämna nummer innan H1 utfördes - så att när H2 utförs (efter H1 och Omnum) endast hälften så många bollar med jämna nummer blir bortplockade som hade blivit bortplockade med H2 om Omnum inte hade utförts mellan H1 och H2.

[Justin Case]

Rorschach skrev:
Vad är w-1 för mängd?
Justin Case skrev:
w-1.  
Rorschach skrev:
Det gjorde inte saken tydligare.


Så här då: Mängden w-1 är:

de naturliga talen från 1 och uppåt men utan ett av de talen (vilket som helst).

Är det en tillfredsställande beskrivning?

Nej, det är oklart vilken mängd du avser.

På vilket sätt är det mer oklart än w självt?

Ett exempel på mängden w-1 är "alla de naturliga talen utom talet 17". Talet 17 kan bytas ut mot vilket naturligt tal som helst; det finns inte en (1) samling tal som är mängden w-1, det finns oändligt många möjliga. Men varje sådan samling tal är lika stor, och varje sådan samling tal är mindre än w. Varje sådan samling tal är mindre än w per definition, genom att den kan definieras som "alla de naturliga talen utom ett av dem". Att w-1 inte specificerar vilket tal som tagits bort gör det inte i mina ögon oklart vilken mängd som avses med w-1 - i varje fall inte mer oklart än hur stort w är. En liknelse: om en cigarettstump faller ned och bränner sönder ett grässtrå på en gräsmatta minskar antalet (obrända) grässtrån på gräsmattan även om man inte vet exakt vilket grässtrån som blev sönderbränt och även om man inte vet exakt hur många grässtrån det fanns på gräsmattan från början.

[Rorschach]

Rorschach skrev:
Vad är w-1 för mängd?
Justin Case skrev:
w-1.  
Rorschach skrev:
Det gjorde inte saken tydligare.


Så här då: Mängden w-1 är:

de naturliga talen från 1 och uppåt men utan ett av de talen (vilket som helst).

Är det en tillfredsställande beskrivning?

Nej, det är oklart vilken mängd du avser.

På vilket sätt är det mer oklart än w självt?

Om du har en mängd, exempelvis A={1,2,3,4} och sedan tillämpar ditt "-1", så vet man inte om du syftar på mängden {1,2,3}, mängden {1,2,4}, mängden {1,3,4} eller mängden {2,3,4}. Vilken mängd som avses med A är tydligt, dock inte vilken mängd som avses med A-1.

[Justin Case]

Om du har en mängd, exempelvis A={1,2,3,4} och sedan tillämpar ditt "-1", så vet man inte om du syftar på mängden {1,2,3}, mängden {1,2,4}, mängden {1,3,4} eller mängden {2,3,4}. Vilken mängd som avses med A är tydligt, dock inte vilken mängd som avses med A-1.

Jag förstår det, och i vissa fall kan sådan osäkerhet säkert medföra problem, men i sammanhang som w-1 ser jag det inte ens som ett problem (och därför upplevde jag det först inte ens som en oklarhet) eftersom jag inte ens har något begrepp om en googoltedel av elementen i w och alltså förmodligen inte skulle märka om fel tal hade tagits bort. Oklarhet är en gradfråga. Man kan veta att mängden A-1 står för antingen mängden {1,2,3}, mängden {1,2,4}, mängden {1,3,4} eller mängden {2,3,4}. Det utgör faktiskt ganska mycket klarhet, redan att veta dessa saker. Beroende på vad man har för syften med att ha att göra med A-1 kan den informationen vara fullt tillräcklig för ens syften. Den information du gett om A berättar t.ex. att A-1 inte kan stå för mängden {1}, mängden {10,27,48,584,2334253,3231366573,2300034352} eller mängden {17,37,alef0, alef1, alef24873}. Man kan utesluta de flesta möjligheter man kan tänka ut, och snäva ned möjligheterna till så lite som fyra till antalet (de fyra möjligheter du uppger). Det är ganska bra! Utanför matematiken har man ofta att göra med mycket större osäkerhet än så, och klarar även det ganska bra.

När det gäller exakt vilka tal w-1 står för är möjligheterna visserligen w till antalet, men oavsett vilket tal som tagits bort, är ju nästan oändligt många gånger fler tal kvar, och om det bara är antalet element i w-1 man är intresserad av, är osäkerheten kring exakt vilket element som tagits bort inget att bråka om. Vad man är säker på är att w-1 är 1 mindre än w, och om det bara är det som är relevant för ens syften, spelar det ingen roll att w-1 är en aningens oklart definierad mängd i det avseende du pekar på.

Det finns ju mycket i matematiken som är oklart och som man ändå accepterar att arbeta med. Vissa variabler i vissa ekvationer går t.ex. inte att bestämma det exakta värdet på; man nöjer sig då ofta med att bestämma det ungefärliga värdet. Motsvarigheten till det, när vi har att göra med w-1, är att nöja sig med att w-1 står för de naturliga talen utom ett av dem, utan att bry sig om vilket, liksom man t.ex. om man vid lösandet av en ekvation lyckas komma fram till att 40<x<50 nöjer sig med att konstatera att x måste vara ett tal mellan 40 och 50 utan att man kan veta exakt vilket av de talen.

[Rorschach]

Om du har en mängd, exempelvis A={1,2,3,4} och sedan tillämpar ditt "-1", så vet man inte om du syftar på mängden {1,2,3}, mängden {1,2,4}, mängden {1,3,4} eller mängden {2,3,4}. Vilken mängd som avses med A är tydligt, dock inte vilken mängd som avses med A-1.

Jag förstår det...

Bra.

När det gäller exakt vilka tal w-1 står för är möjligheterna visserligen w till antalet, men oavsett vilket tal som tagits bort, är ju nästan oändligt många gånger fler tal kvar, och om det bara är antalet element i w-1 man är intresserad av, är osäkerheten kring exakt vilket element som tagits bort inget att bråka om. Vad man är säker på är att w-1 är 1 mindre än w, och om det bara är det som är relevant för ens syften, spelar det ingen roll att w-1 är en aningens oklart definierad mängd i det avseende du pekar på.

Vilka är elementen i w samt vad betyder "nästan oändligt många"?

[Justin Case]

Vilka är elementen i w

De naturliga talen.

vad betyder "nästan oändligt många"?

Färre än oändligt många men ändå så många att man (oftast, ja kanske alltid) av praktiska skäl med fördel kan behandla det (ungefär eller exakt) som om det vore oändligt många.

Liksom man ibland bör behandla Pi som 3,14159 och ibland av praktiska skäl hellre avrunda det till 3,14, bör man ibland helst behandla w-1 som just w-1 och ibland hellre som om det vore w. Sammanhanget avgör. Om t.ex. den där 1:an i w-1 står för att jag skulle gå miste om ett år av konstant stark lycka i mitt oändligt långa liv i en del scenarior men inte i andra scenarion, avrundar jag kanske inte w-1 till w, för jag vill kanske undvika varje ansenlig lyckoförlust jag kan undvika, och vill kanske då ha så bra koll som möjligt på hur framtidsutsikterna ser ut, så att jag kan förbättra dem maximalt. Men om jag av någon anledning bara behöver veta på ett ungefär hur stort ett av våra oändligt stora parallelluniversa är och om 1:an i w-1 står för att t.ex. en extra väteatom riskerar förvandlas till en heliumatom i ett sådant parallelluniversum i en del scenarior jämfört med i andra scenarior, dock utan att det skulle påverka min lyckonivå det minsta, struntar jag i att ta med den 1:an; då avrundar jag w-1 till w för enkelhets skull. Sammanhanget avgör.

[Rorschach]

Vilka är elementen i w

De naturliga talen.

vad betyder "nästan oändligt många"?

Färre än oändligt många men ändå så många att man (oftast, ja kanske alltid) av praktiska skäl med fördel kan behandla det (ungefär eller exakt) som om det vore oändligt många.

Så när är då en mängd oändlig?