Är universum oändligt?

[Johan Ågren]

Så en längd som ständigt ökar kan inte bli hur lång som helst?

[Andreas]

Jo så länge den ökar med en fix längd, hur liten denna än är (tex en miljarddels plancklängd) varje gång så blir den oändligt lång om den adderas till ett oändligt antal gånger. Men om den nya längd som adderas alltid är en bråkdel av den förra som adderades så innebär en fortsatt addering endast att den närmar sig en fix storhet.

[Johan Ågren]

Jo så länge den ökar med en fix längd, hur liten denna än är (tex en miljarddels plancklängd) varje gång så blir den oändligt lång om den adderas till ett oändligt antal gånger. Men om den nya längd som adderas alltid är en bråkdel av den förra som adderades så innebär en fortsatt addering endast att den närmar sig en fix storhet.

Så då kan inte fraktalstjärnans omkrets vara oändlig?

[Andreas]

Jo omkretsen blir oändlig, men man måste zooma utav bara helvete och ändå så kan man aldrig se hela dess finhet.

Omkretsen är oändlig så länge fraktalprocessen fortgår. Arean fortsätter också öka så länge fraktalprocessen fortgår, men den närmar sig då längre och längre i decimalen endast en fix storhet. Var det 1.6 gånger triangeln som Dura sa?

ps. Misstänker att du spelar med mig och förstår detta, bara att det är jobbigt att ha rätt ensam hela tiden.

[Rorschach]

Jo så länge den ökar med en fix längd, hur liten denna än är (tex en miljarddels plancklängd) varje gång så blir den oändligt lång om den adderas till ett oändligt antal gånger. Men om den nya längd som adderas alltid är en bråkdel av den förra som adderades så innebär en fortsatt addering endast att den närmar sig en fix storhet.

Vilken "fix storhet" närmar sig 1+1/2+1/3+1/4... ?

[Andreas]

Misstänker att jag inte landar helt, har ledsnat på att anstränga mig med matte mm. Men jag skrev ju i och för sig en bråkdel av den förra som adderades, vilket inte din additionsserie uppfyller. Om det jag skrev tolkas riktigt välvilligt med betoning på en bråkdel av föregående dvs som mest 1/2 av föregående så konvergerar serien mot ett tal. Inte sant?

Någon vänlig kan säkert länka till någon pedagogisk sida om vilka talserier som går mot oändligheten och vilka som konvergerar mot ett tal.

Men det jag skrev ger så länge en bildlig om än fackmässigt haltande förklaring till fraktalarea/omkrets och den omtalade långsamt växande pinnen.

[Justin Case]

Justin,

Det är ju skillnad: Fraktalstjärnans omkrets är bunden till dess area.

Nej, inte när den är oändlig och denna oändlighet behandlas som ett kardinaltal (enligt de flesta matematiker, tror jag). Hade omkretsen varit bunden till arean, hade en fraktalstjärna med en oändligt stor omkrets och en area på t.ex. 20 kvadratmeter haft en omkrets av en större oändlighetskardinalitet än vad en dito fraktalstjärna med en area på t.ex. 10 kvadratmeter hade haft - men att den förstnämnda fraktalstjärnan skulle ha en i kardinaltal uttryckt större omkrets skulle väl de flesta matematiker bestrida? Alltså är inte fraktalstjärnans omkrets bunden till dess area när den väl kommit upp i oändlig omkrets - enligt de flesta matematiker, och enligt kardinaltalsmatte, alltså.

Dock tycks behandling av oändliga mängder som ordinaltal, så att det finns oändligt många olika stora oändligheter mellan t.ex. antalet naturliga tal (w, omega, ordinaltalens motsvarighet till alef0, mängden naturliga tal) och antalet reella tal, ge dig rätt i att fraktalstjärnans omkrets är bunden till dess area; varje nytt steg i fraktalprocessen ger fraktalstjärnan en omkrets den, givet den använda fraktalekvationen, bara kan ha om den har exakt den area den samtidigt har. Men detta medför inte i sin tur att man inte kan addera omkrets utan att samtidigt just addera area. Adderande är som bekant inte det enda sättet att förändra; även minskning sker stundom. Att vandra w gånger fram och tillbaka på en 1 kilometer lång strand innebär en kortare promenad än att vandra w gånger fram och tillbaka på en två kilometer lång strand. Detsamma måste gälla för omkretsen på en fraktalstjärna med omkretsen w respektive en fraktalstjärna med omkretsen w+w. Strängt taget påverkas fraktalstjärnans area av att omkretsen går från w till w+w meter, men mycket, mycket lite, och inte nödvändigtvis så att den ökar, den kan istället minska. Huruvida den ökar eller minskar (av att arean går från w till w+w meter) beror på hur fraktalstjärnans ekvation ser ut och på exakt vad, ned till minsta detalj, ytterligare exakt w steg efter de första exakt w stegen gör att den ekvationen uträttar på stjärnan.

Jag menar att man inte kan addera omkrets utan att samtidigt addera area.

Jo, det kan man. Se nedan.

Om man säger att ett oändligt upprepande av fraktalen i mindre delar ger en oändlig omkrets, så borde det även addera oändlig area. Det har jag svårt att se.

Varför då? Om din mun har normal storlek och form och du tar en första tugga med arean 5 kvadratcentimeter på en helt cirkelrund macka med arean 1 meter, minskar arean på mackan samtidigt som omkretsen på mackan ökar. Ser du något paradoxalt i det? Tillräckligt många av de förändringar som fraktalekvationen ställer till med på fraktalstjärnan vid oändlig körning är av den typen - en typ av förändring som minskar arean, så att areaminskningarna neutraliserar areaökningarna även på oändligt lång sikt. Det finns därför inget paradoxalt i att arean förblir ändlig när "omkretsen görs oändlig". Förutom möjligen om man utgår från att föreställningen att "omkretsen görs oändlig" kanske inte kan ha någon motsvarighet i verkligheten, på grund av den gräns plancklängden sätter för fraktaler i verkligheten. Om man accepterar att det finns hur små saker som helst, ser jag ingen paradox.

[Dura M]

Valet beträffande hur stor del av universum som ska kallas "synlig" är därför en fullständigt godtyckligt val.

Alla begrepp är i någon mening godtyckligt valda. Förstår därför inte vad din invändning gäller. Med "synlig" menas i det här sammanhanget att ljus från dessa delar av universum har haft tid nog att nå fram till oss så att vi i princip (med ett tillräckligt starkt teleskop och förutsatt att de inte skyms av något annat) kan se ljuset från dem här och nu. Ljus från delar som ligger längre bort har inte hunnit hit. Godtyckligt eller ej, detta är vad som avses med begreppet.

Vad du emellertid gör när du säger "vi kan inte veta" är att vägra berätta hur stor sannolikhet du (spontant eller mindre spontant) bedömer det vara för det det är fråga om. Vi människor gör hela tiden sannolikhetsbedömningar, även om vi inte alltid klär dem i siffror. Jag är nyfiken på hur dina sannolikhetsbedömningar beträffande universums tänkbara universumstorlekar ser ut, och vad du grundar dem på. Jag har berättat hur mina ser ut och vad jag grundar mina på.

Jag har inget underlag att grunda sannolikhetsbedömningar på i den frågan och gör därför inga sådana bedömningar. Sedan har jag inte sagt "vi kan inte veta" utan bara att vi inte vet.

alltså storleksordningen 93 miljarder ljusår i diameter. Ändå sägs det ofta att "universum är" ungefär så stort.

Vad man säger är alltså att den för oss synliga delen av universum är 93 miljarder ljusår i diameter. En del kanske missförstår detta som ett påstående att hela universum har denna storlek.

[Justin Case]

Jag har inget underlag att grunda sannolikhetsbedömningar på i den frågan och gör därför inga sådana bedömningar. Sedan har jag inte sagt "vi kan inte veta" utan bara att vi inte vet.

Min poäng är att det är vilseledande att blanda in begreppet "veta" i sammanhanget, när allt man kan göra är olika välgrundade sannolikhetsbedömningar. Liksom det inte finns något sådant som 100% säkerhet, finns det inget sådant som 100% osäkerhet. Liksom det inte finns några sannolikhetsbedömningar som är 100% välgrundade, finns det heller inga sannolikhetsbedömningar som enligt vår egen innersta ärliga bedömning är 100% godtyckliga. Detta visas av att vi, när mycket står på spel, tenderar vara beredda att avslöja även de minst säkra sannolikhetsbedömningar vi gått och ruvat på och som vi i normala fall inför omvärlden vägrar avslöja (genom att låtsas att de, trots att de utgörs av något mindre än 100% osäkerhet, lika gärna kan betraktas som 100% osäkerhet) för att slippa bli betraktade som "ovederhäftiga" eller liknande.

Om du vore övertygad om att du kommer att få något du extremt gärna skulle vilja ha och som du hittills aldrig trott att du skulle kunna få, låt oss kalla detta extremt eftertraktade för E - om och endast om du inom en timme från nu gissar universums storlek rätt med 25% felmarginal (vi antar att någon allsmäktig domare kommer att veta om ditt svar är inom den felmarginalen eller inte, och ge dig E om och endast om det är det), vad skulle du då gissa på för storlek? Om du svarar "jag vet inte", vad säger då att du skulle svara något annat än "jag vet inte" om situationen i fråga uppkom? Om du skulle göra det (om situationen verkligen uppkom), skulle du ha noll chans att få E. Och det är väl onödigt? Du skulle ju ha större chans att vinna E om du åtminstone drog till med någon siffra, vilken som helst. Då får du ju åtminstone mer än noll chans att få E, till skillnad från om du svarar "jag vet inte". Så varför inte låtsas att du nu befinner dig i den situationen och svara utifrån den fantasin?

Så vad skulle du dra till med för siffra, och varför?

alltså storleksordningen 93 miljarder ljusår i diameter. Ändå sägs det ofta att "universum är" ungefär så stort.

Vad man säger är alltså att den för oss synliga delen av universum är 93 miljarder ljusår i diameter.

Att säga (ordagrant): "universum är 93 miljarder ljusår i diameter" är inte att säga att den för oss synliga delen av universum är 93 miljarder ljusår i diameter, det är på sin höjd att mena det. Att den som uttalar "universum" menar "den för oss synliga delen av universum" är inget åhöraren har någon anledning att utgå från. Jag tror att det är fler än jag som blivit vilseledda av den sortens slarviga formuleringar, och även om vilseledandet säkert är oavsiktligt, har det likväl potentiellt mycket negativa konsekvenser för mänsklighetens framtid. Hur ska man kunna veta att någon syftar på endast den för oss synliga delen av universum när han bara säger "universum" rätt och slätt?

En del kanske missförstår detta som ett påstående att hela universum har denna storlek.

Tacka fan för det. Att säga "universum är 93 miljarder ljusår" när man menar "den för oss synliga delen av universum är 93 miljarder ljusår" är som att säga "min bostad utgörs av en toalett" bara för att det enda man för tillfället ser av sin bostad är det rum man för tillfället befinner sig i och som råkar vara toaletten.

[Justin Case]

Misstänker att jag inte landar helt, har ledsnat på att anstränga mig med matte mm. Men jag skrev ju i och för sig en bråkdel av den förra som adderades, vilket inte din additionsserie uppfyller. Om det jag skrev tolkas riktigt välvilligt med betoning på en bråkdel av föregående dvs som mest 1/2 av föregående så konvergerar serien mot ett tal. Inte sant?

Kan inte "en bråkdel" syfta på t.ex. 3/4? Jag har för mig att någon matematiker skrivit i en bok om vanliga missförstånd av matematik att när en försäljare kom fram till honom och erbjöd honom att köpa något för "en bråkdel av" det ordinarie priset, svarade han med ett leende "vad för bråkdel, 3/4 av det ordinarie priset eller?" eller något sådant. Jag reagerade på det när jag läste boken, men slöt mig till att "en bråkdel" kan vara t.ex. 3/4 av något. Hur ligger det till med den saken egentligen? Tänkte författaren till nämnda bok fel?

Om man äter upp en fjärdedel av en tårta, blir 3/4 av tårtan kvar. Vad kallar man det som återstår av tårtan, om man vill hitta ett uttryck som ersätter "en bråkdel av tårtan", om det inte är korrekt att kalla 3/4 för "en bråkdel av tårtan"? Återstår då bara att säga "bråkdelar av tårtan"? Men att säga "bråkdelar" (plural) känns ju inte heller rätt, för där finns inte flera delar; det som är kvar av tårtan utgörs ju av endast ett (1) enda sammanhållet stycke - ett stycke vars storleks relation till tårtans utsprungliga storlek går att beskriva i bråkform. Så vad ska den kallas, om man inte vill berätta exakt vilken storleksrelationen är, bara att den går att beskriva i bråkform?

[Lufier]

Om man delar en sten i två delar får man inte två halva stenar, man får två stenar.

[Johan Ågren]

Om man delar en sten i två delar får man inte två halva stenar, man får två stenar.

Absolut inte om det är en kvarnsten. Är det däremot makadam så stämmer det. Överför denna princip på andra exempel, och ta hänsyn till intressekonflikter.

[Lufier]

Jo det är klart. Men kvarnstenen var också bara en sten från början eller något som satt i berget.

En tårta är inte en tårta förrän man satt ihop den till en tårta. Från början är den olika delar som kallas
mjöl grädde etc

[Andreas]

Jajomän Justin, det är just vad det kan och för det mesta gör också. Blev osäker på hur det är med större bråkdelar därför brasklappen. Hur blir det med pinnen om man adderar 9/10 av föregående längd tex?

1 + 9/10 + 81/100 + 729/1000 + ... + (9/10)^n

n --> jättestora tal

Blir den hur lång som helst då? Spontant känns det inte så. Skjuter jag från höften så tror jag det landar under 1000. Fasen länge sedan jag fascinerades av matte, nästan så jag blir sugen att tänka över detta på djupet.

Men visst känner man sig lite fraktallik så där någonstans inimellan?

[Rorschach]

Misstänker att jag inte landar helt, har ledsnat på att anstränga mig med matte mm. Men jag skrev ju i och för sig en bråkdel av den förra som adderades, vilket inte din additionsserie uppfyller. Om det jag skrev tolkas riktigt välvilligt med betoning på en bråkdel av föregående dvs som mest 1/2 av föregående så konvergerar serien mot ett tal. Inte sant?

Ah, med den riktigt välvilliga tolkningen av bråkdel så blir det lite bättre.