Frågor om Cantors teorem

[Rorschach]

Om det vore sant att bortplockandet av de udda talen från N inte minskade N, och om det även vore sant att bortplockandet av de jämna talen från N inte heller minskade N, skulle N förbli oförändrat efter bortplockandet av först de udda talen och sedan de jämna talen.

Nej.

Jag anar ett problem: N är definierat som alla de naturliga talen - inklusive de jämna. Därför tror man kanske lätt att man måste låta den definitionen fortsätta gälla för N oavsett hur mycket man än påstår att de jämna talen "plockats bort från N". Låt oss därför införa en variabel, som för säkerhets skull tydliggör att den mängd vi pratar om, och som vi hittills kallat N, faktiskt blir berövad de jämna talen, så att den därefter inte innehåller dem.

Anta att N (mängden naturliga tal) bollar, numrerade från 1 och uppåt, står på rad i nummerordning. Låt oss tilldela antalet bollar i den raden en variabel V vars värde hädanefter kommer att förändras i den mån antalet bollar i raden förändras. (Om man t.ex. plockar bort alla bollar med nummer 100 och uppåt, förändras V från N till 99. Men det ska vi inte göra, det var bara ett exempel.)

Låt oss kalla handlingen att plocka bort alla bollar med udda nummer för H1, och handlingen att plocka bort alla bollar med jämna nummer för H2. Du skulle anse att enbart H1 inte påverkar storleken på V, och att enbart H2 inte påverkar storleken på V, men att "H1 och därefter H2" påverkar storleken på V.

Det går inte hop. Ty att säga att storleken på V inte påverkas av att H1 utförts är ju detsamma som att säga att (för V:s storleks del) H1 lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras. Men H1 hade inte (för V:s storleks del) lika gärna kunnat underlåtas att utföras; att H1 utförts är av yttersta vikt för huruvida ett därpå följande utförande av H2 skulle påverka storleken på V eller inte.

Skippa bollarna och handlingarna samt inför en ny beteckning för varje ny mängd som du bildar.

[scirocco]

Mängd eller tal ,siffror. Ni är matematiker ,åtminstonde tror jag ni har studerat det. Det förefaller mig lättare att förstå energi som oändligt. Matematiken snöar in i siffrorna.skriv eller säg aändligt stort tal.meningslöst

[scirocco]

Råkade läsa i tråden- skillnaden mellan det oändligt lilla och noll. Jo det är en skillnad då något oändligt litet fortfarande är något medans noll är intet. Problemet för matematiken att beskriva detta är i att det oändligt lilla är i rörelse ständigt mot det mindre .

[Justin Case]

Om det vore sant att bortplockandet av de udda talen från N inte minskade N, och om det även vore sant att bortplockandet av de jämna talen från N inte heller minskade N, skulle N förbli oförändrat efter bortplockandet av först de udda talen och sedan de jämna talen.

Nej.

Jag anar ett problem: N är definierat som alla de naturliga talen - inklusive de jämna. Därför tror man kanske lätt att man måste låta den definitionen fortsätta gälla för N oavsett hur mycket man än påstår att de jämna talen "plockats bort från N". Låt oss därför införa en variabel, som för säkerhets skull tydliggör att den mängd vi pratar om, och som vi hittills kallat N, faktiskt blir berövad de jämna talen, så att den därefter inte innehåller dem.

Anta att N (mängden naturliga tal) bollar, numrerade från 1 och uppåt, står på rad i nummerordning. Låt oss tilldela antalet bollar i den raden en variabel V vars värde hädanefter kommer att förändras i den mån antalet bollar i raden förändras. (Om man t.ex. plockar bort alla bollar med nummer 100 och uppåt, förändras V från N till 99. Men det ska vi inte göra, det var bara ett exempel.)

Låt oss kalla handlingen att plocka bort alla bollar med udda nummer för H1, och handlingen att plocka bort alla bollar med jämna nummer för H2. Du skulle anse att enbart H1 inte påverkar storleken på V, och att enbart H2 inte påverkar storleken på V, men att "H1 och därefter H2" påverkar storleken på V.

Det går inte hop. Ty att säga att storleken på V inte påverkas av att H1 utförts är ju detsamma som att säga att (för V:s storleks del) H1 lika gärna hade kunnat underlåtas att utföras. Men H1 hade inte (för V:s storleks del) lika gärna kunnat underlåtas att utföras; att H1 utförts är av yttersta vikt för huruvida ett därpå följande utförande av H2 skulle påverka storleken på V eller inte.

Skippa bollarna och handlingarna samt inför en ny beteckning för varje ny mängd som du bildar.

För det första: varför ska jag skippa bollarna och handlingarna?
Jag bollade till dig mitt sätt att tänka på oändliga mängder. Vad fick jag tillbaka? Ett "skippa ditt sätt att tänka!" fick jag tillbaka. Utan motivering, dessutom.
Varför vill du att jag ska skippa bollarna och handlingarna? Klarar du inte av att argumentera emot det jag påstår när jag lägger fram det som jag just la fram det, med bollar och handlingar? Är det något i mitt sätt att argumentera med bollar och handlingar som du inte förstår, eller vad är problemet? Jag hade hoppats på antingen en bekräftelse på att det är rimligt att tänka som jag tänker, så som jag tänker med bollar och handlingar ovan, eller en argumentation som förklarar varför det sättet att tänka är orimligt. Är du inte intresserad av att förmedla någotdera? Är du bara intresserad av att diskutera på dina egna premisser, utifrån dina egna sätt att tänka? Är du inte öppen för nya sätt att tänka överhuvudtaget?

Om du inte är det, återstår väl för mig att antingen dra mig tillbaka eller argumentera på dina premisser. Om jag satte min stolthet framför kommunikation skulle jag antagligen dra mig tillbaka. Men jag ska gå dig till mötes. Jag ska, som du föreslår, införa en ny beteckning för varje ny mängd som jag bildar:

(Men då förväntar jag mig att du besvarar denna vänlighet från min sida med att gå mig till mötes och diskutera på mina premisser också, som återgäldande/tack!)

Vi skulle kunna kalla den mängd, som V förvandlas till genom handling H1, för V1, och den mängd, som V förvandlas till genom handling H2, för V2.

Nu kanske du invänder att det är oklart om jag menar att V2 utgörs av den mängd som V förvandlas till genom enbart H2 eller om V2 är den mängd som V förvandlas till genom H2 efter att H1 utförts.

Men om det är sant att H1 inte påverkar (storleken på) V (d.v.s. inte gör V1 mindre än V), borde det inte spela någon roll om man säger "V2 är den mängd som H2 (utan föregående H1) förvandlar V till" eller "V2 är den mängd som H2 förvandlar V1 till". Om det är sant att V1=V borde alltså V2 betyda detsamma om H1 utförts som om H1 inte utförts.

Problemet uppstår när man upptäcker att H2 faktiskt påverkar V1 på ett annat sätt än vad H2 enligt dig skulle påverka V, om det (vilket din matematik implicerar) vore så att ett bortplockande av de udda talen från en variabel mängd V som från början utgörs av mängden naturliga tal inte skulle minska storleken på V.

[Justin Case]

Vilka är elementen i w

De naturliga talen.

vad betyder "nästan oändligt många"?

Färre än oändligt många men ändå så många att man (oftast, ja kanske alltid) av praktiska skäl med fördel kan behandla det (ungefär eller exakt) som om det vore oändligt många.

Så när är då en mängd oändlig?

När den faktiskt inte tar slut någonstans.

En kvasi-oändlig mängd är till skillnad från en verkligt oändligt mängd sådan att man av praktiska skäl lika gärna kan låtsas som om den inte tar slut någonstans, trots att den faktiskt gör det.

I den mån och i de sammanhang kvasi-oändliga mängder för våra syftens uppnåendes skull lika gärna kan behandlas som oändliga som ändliga, är risken stor för att det är (både t.ex. moraliskt och hedonistiskt-egoistiskt sett) fel att inte behandla dessa kvasi-oändliga mängder som om de vore oändliga.

[Rorschach]

Skippa bollarna och handlingarna samt inför en ny beteckning för varje ny mängd som du bildar.

För det första: varför ska jag skippa bollarna och handlingarna?

För att de leder dig fram till alla möjliga konstiga slutsatser.

Vi skulle kunna kalla den mängd, som V förvandlas till genom handling H1, för V1, och den mängd, som V förvandlas till genom handling H2, för V2.

Nu kanske du invänder att det är oklart om jag menar att V2 utgörs av den mängd som V förvandlas till genom enbart H2 eller om V2 är den mängd som V förvandlas till genom H2 efter att H1 utförts.

Nejdå, du har precis skrivit "...och den mängd, som V förvandlas till genom handling H2, för V2".

Men om det är sant att H1 inte påverkar (storleken på) V (d.v.s. inte gör V1 mindre än V), borde det inte spela någon roll om man säger "V2 är den mängd som H2 (utan föregående H1) förvandlar V till" eller "V2 är den mängd som H2 förvandlar V1 till".

Givetvis spelar det roll: "V2 är den mängd som H2 (utan föregående H1) förvandlar V till" och  "V2 är den mängd som H2 förvandlar V1 till" definierar inte samma mängd.

Om det är sant att V1=V borde alltså V2 betyda detsamma om H1 utförts som om H1 inte utförts.

Det är ingen som påstår att V1=V.

[Justin Case]

Skippa bollarna och handlingarna samt inför en ny beteckning för varje ny mängd som du bildar.

För det första: varför ska jag skippa bollarna och handlingarna?

För att de leder dig fram till alla möjliga konstiga slutsatser.

Varför döma ut dem som konstiga? Sedan när blev något automatiskt fel bara för att det verkar konstigt? Att något verkar konstigt kan bero på att en felaktighet i ens hittillsvarande föreställningar snarare än på en felaktighet i den slutsats man uppfattar som konstig.

Om det blir 20 grader varmt i Kiruna i morgon är det en "konstig" händelse, men likafullt borde vi inte avfärda det som en felaktig observation bara för att den verkar konstig.

Om det är sant att V1=V borde alltså V2 betyda detsamma om H1 utförts som om H1 inte utförts.

Det är ingen som påstår att V1=V.

Man påstår ju att mängden udda tal är lika stor som mängden naturliga tal, att antalet element är samma i båda mängderna. Därav likhetstecknet. Att det bara är antalet element som är relevant (och inte sortens element, eller exakt vilka element) är underförstått, liksom det exempelvis är underförstått (bland mycket annat) att det inte spelar någon roll (för slutsatsen om storleksrelationerna mellan V, V1 och V2) huruvida det som finns i ett oändligt antal i V är t.ex. bananer eller äpplen, till exempel. V äpplen och V bananer är lika många. Det kan skrivas V=V. Om V7 definieras som V äpplen och V8 definieras som V bananer, kan vi skriva V7=V8, så länge det finns lika många äpplen i V7 som det finns bananer i V8, och så länge det bara är antalet frukter i respektive mängd vi är intresserade av. På samma sätt borde man kunna skriva V1=V om V1 definierats som antalet udda tal och V definierats som antalet naturliga tal, och om de udda talen är lika många som de naturliga talen, och om det bara är antalet element i respektive mängd vi är intresserade av.

Du verkar utgå från att jag ser något egenvärde i att veta exakt vilka element som ingår respektive inte ingår i V, V1 och V2. Det gör jag inte. Jag är till syvende och sist bara intresserad av hur många element respektive mängd innehåller, och vilka storleksrelationer som råder mellan mängderna.

[Justin Case]

Eller, enklare uttryckt:

Om V, som är antalet naturliga tal, och V1, som är antalet udda tal, är två lika stora antal tal, och om "=" står för "utgörs av lika många tal som" (och inget annat), borde V1=V ge att V-V1=0.

Påståendet V-V1=0 vore inte sant, och alltså kan V1 inte vara =V, d.v.s. antalet tal i V1 kan inte vara lika stort som antalet tal i V.

Ärligt talat, känns verkligen försanthållandet "de udda talen är lika många som de naturliga talen" inte minst lika konstigt som försanthållandet "de udda talen är färre än de naturliga talen trots att båda antalen är oändligt stora"? På sin höjd är det så att vi har att välja mellan två ungefär lika konstiga försanthållanden. Givet att vi befinner oss i ett sådant dilemma, ser jag inte varför man självklart ska föredra just det förstnämnda försanthållandet. Varför inte lika gärna föredra det sistnämnda istället?

[Rorschach]

Skippa bollarna och handlingarna samt inför en ny beteckning för varje ny mängd som du bildar.

För det första: varför ska jag skippa bollarna och handlingarna?

För att de leder dig fram till alla möjliga konstiga slutsatser.

Varför döma ut dem som konstiga? Sedan när blev något automatiskt fel bara för att det verkar konstigt? Att något verkar konstigt kan bero på att en felaktighet i ens hittillsvarande föreställningar snarare än på en felaktighet i den slutsats man uppfattar som konstig.

Om det blir 20 grader varmt i Kiruna i morgon är det en "konstig" händelse, men likafullt borde vi inte avfärda det som en felaktig observation bara för att den verkar konstig.

"konstiga" ska i det här sammanhanget förstås som felaktiga. Eventuellt tänker du inte lika mycket fel om du struntar i att blanda in bollar och handlingar.

Om det är sant att V1=V borde alltså V2 betyda detsamma om H1 utförts som om H1 inte utförts.

Det är ingen som påstår att V1=V.

Man påstår ju att mängden udda tal är lika stor som mängden naturliga tal, att antalet element är samma i båda mängderna. Därav likhetstecknet.

Visst är antalet element i N och mängden av de udda talen lika stora; det man dock påstår med likhetstecknet är att de två mängderna har samma element. Avser man något annat är det inte lämpligt att låta det vara underförstått då det lätt leder till missförstånd.

[Justin Case]

Visst är antalet element i N och mängden av de udda talen lika stora; det man dock påstår med likhetstecknet är att de två mängderna har samma element. Avser man något annat är det inte lämpligt att låta det vara underförstått då det lätt leder till missförstånd.

Då vill jag ha ett tecken som bara uttrycker att det som står till vänster om det (det tecknet, vilket det nu är) är lika stort som det som står till höger om det. Gå gärna tillbaka och tolka mina likhetstecken så.

[Justin Case]

"konstiga" ska i det här sammanhanget förstås som felaktiga. Eventuellt tänker du inte lika mycket fel om du struntar i att blanda in bollar och handlingar.

För mig verkar det rådet helt bakvänt. Mitt syfte med att skapa tankeexperimentet med bollar och handlingar var att mer överskådligt visa något som jag redan hade tänkt. Om jag tänker fel, är det inte bollarna och handlingarna som orsakar det, de tjänar bara som pedagogiska redskap, redskap för att visa läsaren hur jag tänker, inte i någon mån som redskap för mitt tänkande kring oändligheter. Jag tror att du upplever mitt tankeexperiment med bollar och handlingar som "konstigt" eftersom det implicerar att jag inte accepterar den sorts bijektionstänkande som t.ex. ger att de udda talen skulle kunna "paras ihop" ett-till-ett med de naturliga talen.

[Rorschach]

Eller, enklare uttryckt:

Om V, som är antalet naturliga tal, och V1, som är antalet udda tal, är två lika stora antal tal, och om "=" står för "utgörs av lika många tal som" (och inget annat), borde V1=V ge att V-V1=0.

Fundera över hur '-' och '+' definieras för oändliga tal, exempelvis genom att googla eller läsa någon lämplig bok.

[Rorschach]

Visst är antalet element i N och mängden av de udda talen lika stora; det man dock påstår med likhetstecknet är att de två mängderna har samma element. Avser man något annat är det inte lämpligt att låta det vara underförstått då det lätt leder till missförstånd.

Då vill jag ha ett tecken som bara uttrycker att det som står till vänster om det (det tecknet, vilket det nu är) är lika stort som det som står till höger om det. Gå gärna tillbaka och tolka mina likhetstecken så.

Jag har ingen aning om vad du menar med att något är lika stort som något annat då du verkar ha förkastat den vanliga definitionen och inte behagat ge någon ny.

[Justin Case]

Jag upptäckte en fråga jag missat att svara på:

Så när är då en mängd oändlig?

En mängd är oändlig när den, rent faktiskt, inte har någon ände. En mängd är endast kvasi-oändlig när den visserligen har en ände men av praktiska skäl lika gärna kan behandlas som om den inte hade någon ände.

[Justin Case]

Jag har ingen aning om vad du menar med att något är lika stort som något annat då du verkar ha förkastat den vanliga definitionen och inte behagat ge någon ny.

Låt mig då i fri form försöka mig på en ny "definition", eller i varje fall en förklaring. Vad jag menar med att något är lika stort som något annat kan jag enklast beskriva med exempel.

Antalet udda tal är lika stort som antalet jämna tal. Varje udda tal kan bijekteras med ett jämnt tal, på t.ex. detta sätt:

1 - 2
3 - 4
5 - 6
7 - 8
osv.

Det är uppenbart att ingen av kolumnerna växer snabbare än den andra. Det, i kombination med bijektionstänk, säger oss att de udda talen är lika många som de jämna. (Eller möjligen ett tal fler. Ett enda tal är väl dock inte mycket att bråka om?)

Däremot är de udda talen inte lika många som de naturliga talen. Man kan visserligen påbörja bijektion mellan de två mängdernas element:

1 - 1
3 - 2
5 - 3
7 - 4
osv.

Men det faktum att talet till vänster bara blir mer och mer större än talet till höger ju längre man fortsätter säger oss att det alltid kommer att finnas tal kvar att "beta av" i den högra kolumnen innan denna kommit ikapp den vänstra. Den kommer alltså aldrig ikapp en vänstra. Det innebär att den helt enkelt inte är lika lång som den vänstra.

De två kolumnerna kan inte vara lika långa om båda kolumnerna innehåller alla de udda talen och den högra kolumnen till skillnad från den vänstra dessutom innehåller alla de jämna talen, och om antalet naturliga tal antas vara detsamma vid uppbyggandet av den högra kolumnen som vid uppbyggandet av den vänstra.

Därför är antalet udda tal mindre än antalet naturliga tal.

Jag vet inte hur detta borde formuleras för att kunna klassificieras som just definition. Men det är i alla fall en förklaring. Och är inte det gott nog?