freddemalte skrev:Vad menar du med "vilket värde som helst"?
Förmodligen det du tror. Vad skulle jag annars mena?
Jag menar det som menas i påståendet "Om jag kastar en sexsidig tärning kan utfallet bli vilket tal som helst mellan 1 och 6."
Om jag säger att universum kan ha vilken storlek som helst från 93 miljarder ljusår och uppåt, underförstår jag samma sorts "definition" av "vilken som helst" där, som i tärningsexemplet, med den skillnaden att de tal som finns att välja på sträcker sig från 93 miljarder och utan ände uppåt, medan tärningens möjliga utfall sträcker sig mellan 1 och 6.
Justin Case skrev:Anta att det finns ett lotteri med oändligt många lotter. Endast en av lotterna är en ren nitlott, varje annan lott ger minst insatsen tillbaka. Du drar en lott. Vad är sannolikheten för att du enligt den lotten ska få minst insatsen tillbaka? Den är så nära 100% att man av praktiska skäl kan betrakta den som exakt 100%. Det går att tänka sig många saker som är mindre nära 100% än så, och som ändå skulle kallas 100-procentiga.
Nu gör du ju samma misstag igen! Det kan inte finnas en "andel" av oändligheten på ett sådant sätt att den utgör en viss % eller sannolikhet av oändligheten.
Varför inte? Du accepterar säkert att det kan finnas en andel av BB(100)*, t.ex. B(100)/7. Att vi bör utgå från att det finns något sådant som BB(100)/7 förutsätter inte att vi kan föreställa oss storleken på BB(100), och tur är det, för det kan vi inte. Vi kan det lika lite som vi kan föreställa oss storleken på en oändlighet. BB(100) är förvisso inte oändligt stort, men dess storlek är lika svår för oss att föreställa sig, som storleken på oändligheten är. Ergo, om vi trots detta anser att det är rimligt att prata om andelar av BB(100), borde vi i konsekvensens namn även anse det rimligt att prata om andelar av oändliga mängder.
*) Busy Beaver number
Om vi tänker oss in i ditt tankeexperiment med ett oändligt antal lotter så spelar det inte någon roll om vi har G vinstlotter eller 1 vinstlott, ty eftersom det är oändligt många lotter är G* relativt oändligheten av samma dignitet som 1.
Jag håller inte med om det. Om det är som du säger, skulle det vara sant att 1*alef0=G*alef0. Ta nu bort båda "alef0" och du får 1=G, vilket är falskt. Alltså kan 1*alef0 inte vara detsamma som G*alef0. Alltså kan inte 1 och G förhålla sig på samma sätt till alef0.
Men observera att jag inte skriver under på tankeexperimentet över huvud taget då jag anser att man inte kan hantera oändligheten som ett tal.
Anta att jag inte som utgångspunkt förutsätter att man kan hantera oändligheten som ett tal. Då kan man ändå komma till den slutsats jag kommer till, men via en lite annorlunda väg. Istället för att säga att universum kan ha vilken storlek som helst från 93 miljarder ljusår och uppåt, skulle jag kunna börja med att säga: universum kan ha vilken storlek som helst mellan 93 miljarder ljusår och BB(100) ljusår. Det finns inget som talar för att universum skulle ha någon specifik storlek i detta spann snarare än någon annan av storlekarna i detta spann. Jag bör därför tilldela varje storlek i detta spann samma prima facie sannolikhet. Jag kan sedan göra likadant med storlekarna i spannet 93 miljarder ljusår till BB(200) ljusår, och med spannet 93 miljarder ljusår till BB(300) ljusår, och så vidare. Jag kan fortsätta så här i oändlighet, den princip jag skisserat slutar aldrig gälla. Anta nu att två personer för följande dialog.
- Vad bedömer du sannolikheten vara för att universum är mindre än BB(100) ljusår?
- En på miljonen?
- Det är en obefogat hög siffra. De tänkbara universumstorlekarna under BB(100) ljusår utgör långt mindre än t.ex. 1/BB(100) av de tänkbara universumstorlekarna under t.ex. BB(101) ljusår (BB(101) är ett oerhört mycket större tal än BB(100), tack vare Busy Beaver-funktionens oerhört snabba växande). Och inget säger att någon specifik tänkbar universumstorlek skulle vara mer sannolikt universums verkliga storlek än någon annan. Alltså är det obefogat att tilldela de tänkbara universumstorlekarna under BB(100) så stor sannolikhet som du underförstått gör när du säger att sannolikheten är minst 1% för att universum är mindre än BB(100).
- Okej, då svarar jag att sannolikheten är en på BB(101).
- Även det är en obefogat hög siffra.De tänkbara universumstorlekarna under BB(100) ljusår utgör långt mindre än t.ex. 1/BB(102) av de tänkbara universumstorlekarna under t.ex. BB(103) ljusår. Och inget säger att någon specifik tänkbar universumstorlek skulle vara mer sannolikt universums verkliga storlek än någon annan. Alltså är det obefogat att tilldela de tänkbara universumstorlekarna under BB(100) så stor sannolikhet som du underförstått gör när du säger att sannolikheten är minst en på BB(101) för att universum är mindre än BB(100).
...och så vidare, utan ände.
Genom extrapolering av ovanstående dialog inser man att det inte spelar någon roll hur liten sannolikhet man säger att det är för att universum är mindre än BB(100) ljusår, man säger alltid en alltför stor sannolikhet ändå - så länge man inte säger en infinitesimal sannolikhet eller noll. Alltså är sannolikheten infinitesimal eller noll för att universum är BB(100). Samma resonemang kan föras för att visa att detsamma gäller sannolikheten för att universum är mindre än BB(1000000), för att universum är mindre än BB(10^10^10^10^10), och så vidare, utan ände. Extrapolera detta, och du får att hur stort man än påstår att universum är, är det med oändligt nära 100% säkerhet större än man påstår.
Alltså är det helt säkert att universum är oändligt stort.
Det visade jag nu utan att behöva förutsätta att oändligheten ska hanteras som ett tal, och utan att förutsätta att det är rimligt att tänka i termer av andelar av oändligheten.
Hur stor är sannolikheten att hitta en fyrkantig sfär?
En fyrkantig sfär låter som en självmotsägelse, men man kanske kan tolka "fyrkantig" på ett okonventionellt men ändå bokstavstroget sätt, nämligen så att det bara betyder "något som har fyra kanter"? I så fall är sannolikheten 100% för att hitta en "fyrkantig sfär"; det finns nämligen säkerligen på sina håll i universum en sfär i vars innanmäte det sitter en fyrkantig skiva som inte syns utifrån. Men att en sådan tingest får kallas "fyrkantig sfär" förutsätter förstås även att en på utsidan sfärisk tingest får vara beskaffad på nämnda sätt inuti och ändå kallas sfär. Det vet jag inte om definitionen av sfär medger. Gör den det? Om sådana här tricks inte är tillåtna, är väl sannolikheten 0 för att hitta en fyrkantig sfär, antar jag.
